1、利用導數證實不等式的九大題型題型一：構造函數法把不等式的證實轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值的問題,從而證實不等式,而如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數是利用導數證實不等式的關鍵.例1.(人教版選修2-2第32頁B組1題)利用函數的單調性,證實以下不等式.(1)sinx<g(0,7c);(2)x-x2>0,xe(0,l);(3) e>l+x,xw0;(4) lnx<x<er,x>0.這四道題比擬簡單,證實過程略.概括而言,這四道題證實的過程分三個步驟：一是構造函數：二是對函數求導,判斷函數的單調性；三是求此函數的最值,得出結論.例2.當x>

2、-l時,求證：1一一<ln(x+l)<x.x+1【證實】令/(x)=ln(x+l)-x,1 Y那么八)二-7一1=一三x+lX+1二當1VXV0時,r(x)>0,當4>0時,fx)<0,/(X)在(t,+8)上的最大值為/皿=/(o)=o,/./(x)</(0)=0,即ln(x+l)-xVO,Aln(x+l)<x(右面得證).再證左面,令ga)=ln(x+l)+1,那么g'(x)=7+l-(x+l)2=(x+l)2,當xw(1,0)時,g'(x)vo,當xw(0,+8)時,g'(x)>0,:.函數g(x)在(-l,+oo)

3、上的最小值2(%)面=g(0)=0,Ag(x)>g(0)=0,即ln(x+l)+!-1>0,x+Aln(x+l)>l一一(左面得證).x+1綜匕當x>1時,有1一+.x+l【啟示】證實分三個步驟：一是構造函數；二是對函數求導,判斷函數的單調性：三是求此函數的最值,得出結論.題型二：通過對函數的變形,利用分析法,證實不等式例3.版工)=lnx+bx有兩個不同的零點再,2,(1)求b的取值范圍；(2)求證：牛>1.(1)【解】h(x)=nxbx,其定義域為(0,+oo).令3)=0,得6=-也,xiCx)=-,那么“二必%,XX7所以(p(x)=-叱在(0,e)單調遞

4、減,在(e,+00)單調遞增,x所以當時,奴工)=一叱取得最小值一1.xe又8(1)=0,所以當xe(0,1)時,(p(x)>0,而當xw(l,yo)時,嶺)<0,所以b的取值范圍是(-1,0).e(2)【證實】由題意得In再十如=0,lnx2+6叫=0,所以如工丫2+嶺|+x2=0,lnx2-Inx,+bx2一%=0,所以1n中2lnx2-In.只需證Inx/z=五土乜(Inx?-lnx)>2,即證加4-1>亞二毛+不設,=卬>1),令F«)=ln£-生心=+'-2,須Z+lZ+1所以尸,=1-了二1>0,t(/+1)2/(/+

5、1),所以函數尸(.在(1,+8)上單調遞增,而產=0,所以F(r)>0,即Inr>如二2,/+1所以工A>e2.【啟示】解答第一問用的是別離參數法,解答第二問用的是分析法、構造函數,對函數的變形水平要求較高,大家應記住下面的變形：lnxx2_x+x2lnx2-lux,x2-x.,2(x2-x)=>lnx2_InX>-+修=Ini>2(匕/十1題型三：求最值解決任意、存在性變量問題解決此類問題,關鍵是將問題轉化為求函數的最值問題,常見的有下面四種形式:由/(x)=(f-2)e*可知,當xe(0,2時,g(x)在區間(0,出)上單調遞減,在區間(血,2上單調遞

6、增,g(0)=g(2)=0,故g(x)m=0,所以只需證實/a)m<o即可.對函數/(X)來說,、八1、2(ax-l)(x-2)J(x)=ax-(2a+1)+=-xx當時,即0<,<2時,函數/(%)在區間(0,9)2aa上單調遞增,在區間(,2上單調遞減,a/fd)=-21na；2.a2a當a21時,顯然f(x)小于0,滿足題意；當1<<1時,令力(口)=-2111.一-2,22a門t、14a貝ijh(a)=2,2a可知該函數在=va<1時單調遞減,2故力<%(；)=2m2-3<0,滿足題意.綜上,原命題得證.VX,VX2,/(X)<g(

7、X2)O/(X,4g(乙濡；Vx,Hr2,f(x1)<g(x2)<=>f(x1Kg(X2)g；期,依JO)<g(x2)=/(再)1nm<g(x2)mm；3x1,3x2,/(x1)<g(x2)<=>/(x1)mm<g(x2)max.只要分別求左右兩邊函數的最值就可以了.例4.函數/(x)=-ax2-(2a+l)x4-2hx(agR).2(1)當.=,時,求函數/(x)的單調區間；(2)當時,設或九)=(/-2乃",求證：對任2意玉e(0,2,均存在x2e(0,2,使得/(匹)<g(x2)成立.33(1)【解】增區間為(0,；)

8、,(2,+oo),減區間為(；,2).(2)【證實】假設要命題成立,只需當xe(0,2時,<g(x)皿故力(a)<力(；)=211123<0,滿足題意.綜上,原命題得證.題型四：分拆成兩個函數研究要證實/(x)>g(x),如果能證實f(x)ma>g(x)w,便可證/(x)Ng(x),大家可以看到此處不等號左右兩邊都是相同的x,而上一種題型中不等號兩邊分別為玉/2由/COnin之gWnax=>f)>g(X),但由f(x)>g(x)推不出/(x)mn>g(x)皿；比方ex>l+x,推不出©:U之(X+1)皿,由于無+1沒有最大值

9、,所以/(%),»g(x)皿比/«»g(x)更嚴格EX1例5.(2021新課標1理)設函數/(%)=畫Inx+,x曲線y=/")在點(1,/(I)處的切線方程為y=e(x-l)+2,(1)求a,b；(2)證實：/(x)>1.(1)【解】a=,b=2.(2)如果按題型一的方法構造函數求導,會發現做不下去,只好半途而廢,所以我們在做題時需要及時調整思路,改變思考方向.2(2)【證實】/(幻>1等價于田11%>定-'一±,e設g(x)=xlnx,貝ijg'a)=l+lnx,當xe(02)時,gx)<0,e當XE

10、(l,+8)時,gx)>0,e故g(x)在(o,l)單調遞減,在(l,g)單調遞增,ee從而g(x)在(0,小)的最小值為g(l)=ee2設a)=xe',那么力口)=,7(1-幻.e當xe(0,1)時,hx)>0,當X£(h+oo)時,hx)<0,從而入(X)在(0,欣)上的最大值為版1)=e由于g.)與(%)極值點不相同,所以恒有g(x)>/(x).綜上,當x>0時,g(x)>h(x),B|J/(x)>1.【啟示】掌握以下八個函數的圖像和性質,對我們解決不等式的證實問題很有幫助,這八個函數分別為Wy=xext(2)y=xlnx,(3

11、)7=,(4)y=,Xx(7)y=,(8)y=In要求會畫它們的圖像,以后見到這種類型的函數,就能想到它們的性質.題型五：設而不求當函數的極值點(最值點)不確定時,可以先設出來,只設不解,把極值點代入,求出最值的表達式而證實.例6.(2021新課標I卷文)設函數f(x)=e2x-ainx.(1)討論/(x)的導函數/'(X)的零點的個數；2(2)證實：當a>0時,f(x)>2a+aln-.a(1)【解】/(%)的定義域為(0,38),Ax)=2e2x-(x>0).X當.40時,/'(幻>0,故尸(X)沒有零點；當4>0時,由于y單調遞增,丁=一色單

12、調遞增,X所以廣.)在(0,+8)單調遞增.又fa)>0,當b滿足0<6<3且時,442eZh-<2e故當a>0時,/x>2a+aln-.【啟示】設而不求,整體代換是一種常用的方法,在解析幾何中表達很多.在本例第2問中,只設出了零點而沒有求出零點,這是一種非常好的方法,同學們一定要認真體會,靈活應用.-=2e2-2<0,ba4所以rs<o.故當a>0時,1x存在唯一零點.解此問的關鍵是利用放縮技巧,對x范圍的限制2【證實】由1知,可設/%在0,+oo的唯-零點為升,當X£0,Xo時,fx<0,當X£Xo<H&

13、#187;時,frx>0,故/X在0,%單調遞減,在今,田單調遞增,所以當=%時,/X取得最小值,最小值為/%.由于2e?&-色=0,得92"=_£_,.24所以2%=lna-ln2x0,2ax0=aInaaIn2x0=a2aInaInx0=-aInaIn,2a2-ahixQ=2axQ+aIn,no所以/、o=+2tzx0+ah>2a+“In,2x0aa112又由于Xo£(5,h2)(或者為9(/)>夕(In2)=hi2+-2«0.13>,即(%)：.J(x)>g(x)十,題型七：利用圖象的特點,證實不等式X1例8.

14、函數/(x)=F(xeR).e(1)函數y=g(x)對任意x滿足g(x)=/(4-x),證實：當x>2時,/(x)>g(x)；如果玉,旦/(Xl)=fCX2),證實：X1+工2>4,【證實】由于g(x)=/(4x),所以g(x)=R.e令/x)=/(%)g(x),即歹(%)=一娑,ee那么戶口)=2r2rex"1c"x(2-x-e2)當x>2時,2-x<0,2x-l>3,從而/'T<0,那么函數F(x)>0,F(x)在(2,+2是增函數.所以尸Q)>尸(2)=l_,=0,故當x2時,/xgx成立.2由于/x在-8

15、,2內是增函數,在2,4-00內是減函數,XI且/%=/工2,所以不,4不可能在同一單調區間內.不妨設不2工2,由可知/工28工2,又8工2=/4-2,所以/電/4一電,由于/再=/工2,所以/不/4一,由于122,4-22,再2,/x在區間一8,2內為增函數,故玉4一%,即玉+4.【啟示】第2問的證實也是一種常規方法,由于函數在兩個單調區間上增減的速度不一樣,導致出現了玉+W4,如果是二次函數/%=工-22+1,/再=/吃,那么可得到玉+W=4,玉+Z正好是對稱軸的2倍.此題的證實思路是要證玉+W4,需證玉4一%,需證/不/4一%2題型八：證實數列不等式證實數列不等式時,常利用以下不等式：（

16、1） 1-Inxx-lx0；（2） x-ln(x+l)<-x2(x>0)；22一1所以下二>:h2-12上式中=1,2,個不等式相加,->-ln(2n+l)+2n-22/1+1例9.根據不等式Inxs/a-L),證實：2x,1111,八一n1十一十一十+>-/«f2n+lJ+-352丁122十1【證實】由InxW(工一,),可得不一1221nx.2xx入2w+1,令x=>1,neN*,2m-1/口2+12«-1個t2n+1得>21n,2-12/z+l2n-l2、2n+l)>21n,2/7+12-12n+1z11、1().2-1

17、22入12n+Y3,n.題型九：利用放縮法證實不等式例10.設函數/(x)=£(常數awK),在x=0處取x+a得極小值,gQ)="1+竽(.為自然對數的底數).Mx2(1)求/(功在Q/(D)處的切線方程；(2)對任意X(l,欣),求證:/(X)>g(x).(1)【解】易得.=1,/(X)在(1,/)處的切線方程為y=：(x+i).4【江】在解決第(2)問時,用構造函數法證不出來,又試著分開兩個函數仍然不行,正當我一籌莫展時,突然想到與第一問題的切線聯系,如果左邊的函數的圖像在切線的上方,右邊函數的圖像在切線的下方,這樣問題不就得證了嗎？心里非常快樂,馬上付諸行動.

18、(2)【證實】令A(x)=(x+1),x6(1,+<»)x+14,xe*e(x那么m(x)=2ebx-4(=XXX"令w(x)=2exlnx-4x+4,xg(15+qo)那么n(x)=2e(lnx+l)-4=2elnx+2e-4>0,那么n(x)遞增,n(x)>n(l)=0,mx)>0,那么m(x)遞增,m(x)>m(l)=0./.I'M>0,那么«x)遞增,.(1)不存在,由洛比達法那么,得lim7=limyT=lini7=1,x>1xx->i(mx),x>i2.X/.r(l)->0,.,(%)>r(l),.=t(x)>0,eze-2二+1)2TZ-Inx2+1>an(x+1)4(x+1)所以l(x)遞增,Y(x)>Q)=O,所以力(x)遞增,力(幻(1)=0,故一之£(工+1).x+14x-1e-2Inx2lnx+-le(lnx)2-4(lnx+'-1)x%Onx)24(ln工工2erlnx-4x+4令m(x)=e(tax)2一4(lnx+-1),xg(