1、工程問題1甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別需要20小時，16小時.丙水管單獨開，排一池水要10小時，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管，5小時后，再打開排水管丙，問水池注滿還是要多少小時？解：1/20+1/169/80表示甲乙的工作效率9/80×545/80表示5小時后進水量1-45/8035/80表示還要的進水量35/80÷（9/80-1/10）35表示還要35小時注滿答：5小時后還要35小時就能將水池注滿。2修一條水渠，單獨修，甲隊需要20天完成，乙隊需要30天完成。如果兩隊合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來的五分之四，乙隊工作效率只

2、有原來的十分之九。現在計劃16天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數盡可能少，那么兩隊要合作幾天？解：由題意得，甲的工效為1/20，乙的工效為1/30，甲乙的合作工效為1/20*4/5+1/30*9/107/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。又因為，要求“兩隊合作的天數盡可能少”，所以應該讓做的快的甲多做，16天內實在來不及的才應該讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊合作的天數盡可能少”。設合作時間為x天，則甲獨做時間為（16-x）天1/20*（16-x）+7/100*x1x10答：甲乙最短合作10天3一件工作，甲、乙合做需4小時完成，乙、丙合做需5小時完成。現在先請甲、丙

3、合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成。乙單獨做完這件工作要多少小時？解：由題意知，1/4表示甲乙合作1小時的工作量，1/5表示乙丙合作1小時的工作量（1/4+1/5）×29/10表示甲做了2小時、乙做了4小時、丙做了2小時的工作量。根據“甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成”可知甲做2小時、乙做6小時、丙做2小時一共的工作量為1。所以19/101/10表示乙做6-42小時的工作量。1/10÷21/20表示乙的工作效率。1÷1/2020小時表示乙單獨完成需要20小時。答：乙單獨完成需要20小時。4一項工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這

4、樣交替輪流做，那么恰好用整數天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，那么完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做這項工程需17天完成，甲單獨做這項工程要多少天完成？解：由題意可知1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲11/乙+1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲×0.51（1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后結束必須如上所示，否則第二種做法就不比第一種多0.5天）1/甲1/乙+1/甲×0.5（因為前面的工作量都相等）得到1/甲1/乙×2又因為1/乙1/17所以1/甲2/17，甲等于17÷28.5天5師徒

5、倆人加工同樣多的零件。當師傅完成了1/2時，徒弟完成了120個。當師傅完成了任務時，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個？答案為300個120÷（4/5÷2）300個可以這樣想：師傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，兩次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，剛好是120個。6一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵；如果單份給女生栽，平均每人栽10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？答案是15棵算式：1÷（1/6-1/10）15棵7一個池上裝有3根水管。甲管為進水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完，丙管也

6、是出水管，30分鐘可將滿池水放完。現在先打開甲管，當水池水剛溢出時，打開乙,丙兩管用了18分鐘放完，當打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水放完？答案45分鐘。1÷（1/20+1/30）12 表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數。1/12*（18-12）1/12*61/2 表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水，也就是甲18分鐘進的水。1/2÷181/36 表示甲每分鐘進水最后就是1÷（1/20-1/36）45分鐘。8某工程隊需要在規定日期內完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去做，要超過規定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單

7、獨做，恰好如期完成，問規定日期為幾天？答案為6天解：由“若乙隊去做，要超過規定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，”可知：乙做3天的工作量甲2天的工作量即：甲乙的工作效率比是3：2甲、乙分別做全部的的工作時間比是2：3時間比的差是1份實際時間的差是3天所以3÷（3-2）×26天，就是甲的時間，也就是規定日期方程方法：1/x+1/（x+2）×2+1/（x+2）×（x-2）1解得x69兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要2小時，而點完一根細蠟燭要1小時，一天晚上停電，小芳同時點燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來點了，小芳將兩支蠟燭同時

8、熄滅，發現粗蠟燭的長是細蠟燭的2倍，問：停電多少分鐘？答案為40分鐘。解：設停電了x分鐘根據題意列方程1-1/120*x（1-1/60*x）*2解得x40二雞兔同籠問題1雞與兔共100只,雞的腿數比兔的腿數少28條,問雞與兔各有幾只?解：4*100400，400-0400 假設都是兔子，一共有400只兔子的腳，那么雞的腳為0只，雞的腳比兔子的腳少400只。400-28372 實際雞的腳數比兔子的腳數只少28只，相差372只，這是為什么？4+26 這是因為只要將一只兔子換成一只雞，兔子的總腳數就會減少4只（從400只變為396只），雞的總腳數就會增加2只（從0只到2只），它們的相差數就會少4+2

9、6只（也就是原來的相差數是400-0400，現在的相差數為396-2394，相差數少了400-3946）372÷662 表示雞的只數，也就是說因為假設中的100只兔子中有62只改為了雞，所以腳的相差數從400改為28，一共改了372只100-6238表示兔的只數三數字數位問題1把1至2005這2005個自然數依次寫下來得到一個多位數123456789.2005,這個多位數除以9余數是多少?解：首先研究能被9整除的數的特點：如果各個數位上的數字之和能被9整除，那么這個數也能被9整除；如果各個位數字之和不能被9整除，那么得的余數就是這個數除以9得的余數。解題：1+2+3+4+5+6+7+

10、8+9=45；45能被9整除依次類推：11999這些數的個位上的數字之和可以被9整除1019，20299099這些數中十位上的數字都出現了10次，那么十位上的數字之和就是10+20+30+90=450 它有能被9整除同樣的道理，100900 百位上的數字之和為4500 同樣被9整除也就是說1999這些連續的自然數的各個位上的數字之和可以被9整除；同樣的道理：10001999這些連續的自然數中百位、十位、個位 上的數字之和可以被9整除（這里千位上的“1”從10001999千位上一共999個“1”的和是999，也能整除；最后答案為余數為0。2A和B是小于100的兩個非零的不同自然數。求A+B分之A

11、-B的最小值.解：(A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B)前面的 1 不會變了，只需求后面的最小值，此時 (A-B)/(A+B) 最大。對于 B / (A+B) 取最小時，(A+B)/B 取最大，問題轉化為求 (A+B)/B 的最大值。(A+B)/B = 1 + A/B ，最大的可能性是 A/B = 99/1(A+B)/B = 100(A-B)/(A+B) 的最大值是： 98 / 1003已知A.B.C都是非0自然數,A/2 + B/4 + C/16的近似值市6.4,那么它的準確值是多少?答案為6.375或6.4375因為A/2 + B/

12、4 + C/168A+4B+C/166.4，所以8A+4B+C102.4，由于A、B、C為非0自然數，因此8A+4B+C為一個整數，可能是102，也有可能是103。當是102時，102/166.375當是103時，103/166.43754一個三位數的各位數字 之和是17.其中十位數字比個位數字大1.如果把這個三位數的百位數字與個位數字對調,得到一個新的三位數,則新的三位數比原三位數大198,求原數.答案為476解：設原數個位為a，則十位為a+1，百位為16-2a根據題意列方程100a+10a+16-2a100（16-2a）-10a-a198解得a6，則a+17 16-2a4答：原數為476。

13、5一個兩位數,在它的前面寫上3,所組成的三位數比原兩位數的7倍多24,求原來的兩位數.答案為24解：設該兩位數為a，則該三位數為300+a7a+24300+aa24答：該兩位數為24。6把一個兩位數的個位數字與十位數字交換后得到一個新數,它與原數相加,和恰好是某自然數的平方,這個和是多少?答案為121解：設原兩位數為10a+b，則新兩位數為10b+a它們的和就是10a+b+10b+a11（a+b）因為這個和是一個平方數，可以確定a+b11因此這個和就是11×11121答：它們的和為121。7一個六位數的末位數字是2,如果把2移到首位,原數就是新數的3倍,求原數.答案為85714解：設

14、原六位數為abcde2，則新六位數為2abcde（字母上無法加橫線，請將整個看成一個六位數）再設abcde（五位數）為x，則原六位數就是10x+2，新六位數就是200000+x根據題意得，（200000+x）×310x+2解得x85714所以原數就是857142答：原數為8571428有一個四位數,個位數字與百位數字的和是12,十位數字與千位數字的和是9,如果個位數字與百位數字互換,千位數字與十位數字互換,新數就比原數增加2376,求原數.答案為3963解：設原四位數為abcd，則新數為cdab，且d+b12，a+c9根據“新數就比原數增加2376”可知abcd+2376=cdab,

15、列豎式便于觀察abcd2376cdab根據d+b12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。再觀察豎式中的個位，便可以知道只有當d3，b9；或d8，b4時成立。先取d3，b9代入豎式的百位，可以確定十位上有進位。根據a+c9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。再觀察豎式中的十位，便可知只有當c6，a3時成立。再代入豎式的千位，成立。得到：abcd3963再取d8，b4代入豎式的十位，無法找到豎式的十位合適的數，所以不成立。9有一個兩位數,如果用它去除以個位數字,商為9余數為6,如果用這個兩位數除以個位數字與十位數字之和,則商為5余數為3,求這個兩位數.解：設這個兩位數為

16、ab10a+b9b+610a+b5（a+b）+3化簡得到一樣：5a+4b3由于a、b均為一位整數得到a3或7，b3或8原數為33或78均可以10如果現在是上午的10點21分,那么在經過28799.99(一共有20個9)分鐘之后的時間將是幾點幾分?答案是10：20解：（287999（20個9）+1）/60/24整除，表示正好過了整數天，時間仍然還是10：21，因為事先計算時加了1分鐘，所以現在時間是10：20四排列組合問題1有五對夫婦圍成一圈，使每一對夫婦的夫妻二人動相鄰的排法有（ ）A 768種 B 32種 C 24種 D 2的10次方中解：根據乘法原理，分兩步：第一步是把5對夫妻看作5個整體

17、，進行排列有5×4×3×2×1120種不同的排法，但是因為是圍成一個首尾相接的圈，就會產生5個5個重復，因此實際排法只有120÷524種。第二步每一對夫妻之間又可以相互換位置，也就是說每一對夫妻均有2種排法，總共又2×2×2×2×232種綜合兩步，就有24×32768種。2 若把英語單詞hello的字母寫錯了,則可能出現的錯誤共有 ( )A 119種 B 36種 C 59種 D 48種解：5全排列5*4*3*2*1=120有兩個l所以120/2=60原來有一種正確的所以60-1=59五容斥原理問

18、題1 有100種赤貧.其中含鈣的有68種,含鐵的有43種,那么,同時含鈣和鐵的食品種類的最大值和最小值分別是( )A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11解：根據容斥原理最小值68+43-10011最大值就是含鐵的有43種2在多元智能大賽的決賽中只有三道題.已知:(1)某校25名學生參加競賽,每個學生至少解出一道題;(2)在所有沒有解出第一題的學生中,解出第二題的人數是解出第三題的人數的2倍:(3)只解出第一題的學生比余下的學生中解出第一題的人數多1人;(4)只解出一道題的學生中,有一半沒有解出第一題,那么只解出第二題的學生人數是( )A，5 B，6 C，7 D，8解：根據

19、“每個人至少答出三題中的一道題”可知答題情況分為7類：只答第1題，只答第2題，只答第3題，只答第1、2題，只答第1、3題，只答2、3題，答1、2、3題。分別設各類的人數為a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a12325由（2）知：a2+a23（a3+ a23）×2由（3）知：a12+a13+a123a11由（4）知：a1a2+a3再由得a23a2a3×2再由得a12+a13+a123a2+a31然后將代入中，整理得到a2×4+a326由于a2、a3均表示人數，可以求出它們的整數解：當a26、5、4

20、、3、2、1時，a32、6、10、14、18、22又根據a23a2a3×2可知：a2>a3因此，符合條件的只有a26，a32。然后可以推出a18，a12+a13+a1237，a232，總人數8+6+2+7+225，檢驗所有條件均符。故只解出第二題的學生人數a26人。3一次考試共有5道試題。做對第1、2、3、4、5題的分別占參加考試人數的95%、80%、79%、74%、85%。如果做對三道或三道以上為合格，那么這次考試的合格率至少是多少？答案：及格率至少為71。假設一共有100人考試100-955100-8020100-7921100-7426100-85155+20+21+26

21、+1587（表示5題中有1題做錯的最多人數）87÷329（表示5題中有3題做錯的最多人數，即不及格的人數最多為29人）100-2971（及格的最少人數，其實都是全對的）及格率至少為71六抽屜原理、奇偶性問題1一只布袋中裝有大小相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種，問最少要摸出幾只手套才能保證有3副同色的？解：可以把四種不同的顏色看成是4個抽屜，把手套看成是元素，要保證有一副同色的，就是1個抽屜里至少有2只手套，根據抽屜原理，最少要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后4個抽屜中還剩3只手套。再根據抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有一副手套是同色的，以此類推。把四種顏色看做

22、4個抽屜，要保證有3副同色的，先考慮保證有1副就要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后，4個抽屜中還剩下3只手套。根據抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有1副是同色的。以此類推，要保證有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）答：最少要摸出9只手套，才能保證有3副同色的。2有四種顏色的積木若干，每人可任取1-2件，至少有幾個人去取，才能保證有3人能取得完全一樣？答案為21解：每人取1件時有4種不同的取法,每人取2件時,有6種不同的取法.當有11人時,能保證至少有2人取得完全一樣:當有21人時,才能保證到少有3人取得完全一樣.3某盒子內裝50只球，其中10只是紅色，10只是綠色，10只

23、是黃色，10只是藍色，其余是白球和黑球，為了確保取出的球中至少包含有7只同色的球，問：最少必須從袋中取出多少只球？解：需要分情況討論，因為無法確定其中黑球與白球的個數。當黑球或白球其中沒有大于或等于7個的，那么就是：6*4+10+1=35(個)如果黑球或白球其中有等于7個的，那么就是：6*5+3+134（個）如果黑球或白球其中有等于8個的，那么就是：6*5+2+133如果黑球或白球其中有等于9個的，那么就是：6*5+1+1324地上有四堆石子，石子數分別是1、9、15、31如果每次從其中的三堆同時各取出1個，然后都放入第四堆中，那么，能否經過若干次操作，使得這四堆石子的個數都相同?（如果能請說

24、明具體操作，不能則要說明理由）不可能。因為總數為1+9+15+315656/41414是一個偶數而原來1、9、15、31都是奇數，取出1個和放入3個也都是奇數，奇數加減若干次奇數后，結果一定還是奇數，不可能得到偶數（14個）。七路程問題1狗跑5步的時間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現在狗已跑出30米，馬開始追它。問：狗再跑多遠，馬可以追上它？解：根據“馬跑4步的距離狗跑7步”，可以設馬每步長為7x米，則狗每步長為4x米。根據“狗跑5步的時間馬跑3步”，可知同一時間馬跑3*7x米21x米，則狗跑5*4x20米。可以得出馬與狗的速度比是21x：20x21：20根據“現在狗已跑出30米”，可以知

25、道狗與馬相差的路程是30米，他們相差的份數是21-201，現在求馬的21份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21630米2甲乙輛車同時從a b兩地相對開出，幾小時后再距中點40千米處相遇？已知，甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時，求a b 兩地相距多少千米？答案720千米。由“甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時”可知，相遇時甲行了10份，乙行了8份（總路程為18份），兩車相差2份。又因為兩車在中點40千米處相遇，說明兩車的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）×（10+8）720千米。3在一個600米

26、的環形跑道上，兄兩人同時從同一個起點按順時針方向跑步，兩人每隔12分鐘相遇一次，若兩個人速度不變，還是在原來出發點同時出發，哥哥改為按逆時針方向跑，則兩人每隔4分鐘相遇一次，兩人跑一圈各要多少分鐘？答案為兩人跑一圈各要6分鐘和12分鐘。解：600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和（50+150）÷2=100，表示較快的速度，方法是求和差問題中的較大數（150-50）/2=50，表示較慢的速度，方法是求和差問題中的較小數600÷100=6分鐘，表示跑的快者用的時間600/50=12分鐘，表示跑得慢者用的時間4慢車

27、車長125米，車速每秒行17米，快車車長140米，車速每秒行22米，慢車在前面行駛，快車從后面追上來，那么，快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車需要多少時間？答案為53秒算式是（140+125)÷(22-17)=53秒可以這樣理解：“快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車”就是快車車尾上的點追及慢車車頭的點，因此追及的路程應該為兩個車長的和。5在300米長的環形跑道上，甲乙兩個人同時同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前幾米？答案為100米300÷（5-4.4）500秒，表示追及時間5×5002500米，表示甲追到

28、乙時所行的路程2500÷3008圈100米，表示甲追及總路程為8圈還多100米，就是在原來起跑線的前方100米處相遇。6一個人在鐵道邊，聽見遠處傳來的火車汽笛聲后，在經過57秒火車經過她前面，已知火車鳴笛時離他1360米，(軌道是直的),聲音每秒傳340米，求火車的速度（得出保留整數）答案為22米/秒算式：1360÷(1360÷340+57）22米/秒關鍵理解：人在聽到聲音后57秒才車到，說明人聽到聲音時車已經從發聲音的地方行出1360÷3404秒的路程。也就是1360米一共用了4+5761秒。7獵犬發現在離它10米遠的前方有一只奔跑著的野兔，馬上緊追上

29、去，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動作快，獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步，問獵犬至少跑多少米才能追上兔子。正確的答案是獵犬至少跑60米才能追上。解：由“獵犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知當獵犬每步a米，則兔子每步5/9米。由“獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步”可知同一時間，獵犬跑2a米，兔子可跑5/9a*35/3a米。從而可知獵犬與兔子的速度比是2a：5/3a6：5，也就是說當獵犬跑60米時候，兔子跑50米，本來相差的10米剛好追完8 AB兩地,甲乙兩人騎自行車行完全程所用時間的比是4:5,如果甲乙二人分別同時從AB兩地相對行使,40分鐘后兩人相遇,相遇后各自繼續前

30、行,這樣，乙到達A地比甲到達B地要晚多少分鐘?答案：18分鐘解：設全程為1,甲的速度為x乙的速度為y列式40x+40y=1x:y=5:4得x=1/72 y=1/90走完全程甲需72分鐘,乙需90分鐘故得解9甲乙兩車同時從AB兩地相對開出。第一次相遇后兩車繼續行駛，各自到達對方出發點后立即返回。第二次相遇時離B地的距離是AB全程的1/5。已知甲車在第一次相遇時行了120千米。AB兩地相距多少千米？答案是300千米。解：通過畫線段圖可知，兩個人第一次相遇時一共行了1個AB的路程，從開始到第二次相遇，一共又行了3個AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分別是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即

31、甲共走的路程是120*3360千米，從線段圖可以看出，甲一共走了全程的（1+1/5）。因此360÷（1+1/5）300千米從A地到B地，甲、乙兩人騎自行車分別需要4小時、6小時，現在甲乙分別AB兩地同時出發相向而行，相遇時距AB兩地中點2千米。如果二人分別至B地，A地后都立即折回。第二次相遇點第一次相遇點之間有（）千米10一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時;逆流8小時。如果水流速度是每小時2千米，求兩地間的距離？解：（1/6-1/8）÷21/48表示水速的分率2÷1/4896千米表示總路程11快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出，快車每小時行33千米，相遇

32、是已行了全程的七分之四，已知慢車行完全程需要8小時，求甲乙兩地的路程。解：相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3時間比為3：4所以快車行全程的時間為8/4*36小時6*33198千米12小華從甲地到乙地,3分之1騎車,3分之2乘車;從乙地返回甲地,5分之3騎車,5分之2乘車,結果慢了半小時.已知,騎車每小時12千米,乘車每小時30千米,問:甲乙兩地相距多少千米?解：把路程看成1，得到時間系數去時時間系數：1/3÷12+2/3÷30返回時間系數：3/5÷12+2/5÷30兩者之差：（3/5÷12+2/5÷30）-（1/3÷12+2/3÷30）=1/75相當于1/2小時去時時間：1/2×（1/3÷12）÷1/75和1/2×（2/3÷30）1/75路程：12×1/2×（1/3÷1