1、專題六空間向量簡單幾何體一能力培養(yǎng)1,空間想象能力2,數(shù)形結(jié)合思想3,轉(zhuǎn)化能力4,運算能力二問題探討問題 1(如圖 )在棱長為 1 的正方體 ABCD -A 1B1C1 D1 中 ,(1)求異面直線 A1 B 與 B1 C 所成的角的大小 ;(2)求異面直線 A1 B 與 B1 C 之間的距離 ;DCAB(3)求直線 A 1 B 與平面 B1 CD 所成的角的大小 ;(4)求證 :平面 A 1BD/ 平面 C B1 D1 ;DCAB(5)求證 :直線 A C1平面 A 1BD;(6) 求證 :平面 AB C1平面 A1BD;(7)求點 A 1 到平面 C B1 D1的距離 ;(8)求二面角 A

2、 1B1C D1 的大小 .問題 2 已知斜三棱柱 ABCDA1B1C1D1 的側(cè)面 A1 AC C1與底面垂直 , ABC 900BC2,AC 2 3,B,C且 A A1 A1 C, A A1= A1C.A(1)求側(cè)棱 A A1 和底面 ABC所成的角的大小 ;(2)求側(cè)面 A1 AB B1 和底面 ABC所成二面角的大小 ;BAC(3)求頂點 C 到側(cè)面 A1AB B1 的距離 .三習題探討選擇題1 甲烷分子由一個碳原子和四個氫原子組成,其空間構(gòu)型為一正四面體,碳原子位于該正四面體的中心 ,四個氫原子分別位于該正四面體的四個頂點上.若將碳原子和氫原子均視為一個點 (體積忽略不計 ),且已知

3、碳原子與每個氫原子間的距離都為a ,則以四個氫原子為頂點的這個正四面體的體積為A,8 a3B, 8 3 a3C, 1 a3D, 8 a32727392 夾在兩個平行平面之間的球,圓柱 ,圓錐在這兩個平面上的射影都是圓,則它們的體積之比為A,3:2:1B,2:3:1C,3:6:2D,6:8:33 設(shè)二面角a的大小是600 ,P 是二面角內(nèi)的一點,P 點到,的距離分別為 1cm,2cm,則點 P 到棱 a 的距離是A,2 21 cmB,21 cmC,2cmD,421 cm33334 如圖 ,E,F 分別是正三棱錐ABCD 的棱 AB,BCA的中點 ,且 DEEF.若 BC= a ,則此正三棱錐的體

4、積是A,a3B,2a3E2424DB23C,3D,a3Fa12C125 棱長為的正八面體的外接球的體積是A,43822B,C,D,62733填空題6 若線段 AB 的兩端點到平面的距離都等于 2,則線段 AB 所在的直線和平面的位置關(guān)系是.7 若異面直線 a, b 所原角為 600,AB 是公垂線 ,E,F 分別是異面直線 a, b 上到 A,B 距離為2 和平共處的兩點 ,當 EF3 時 ,線段 AB 的長為.8 如圖 (1),在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中 ,當?shù)酌嫠倪呅?ABCD 滿足條件時,有 A1C B1D1 (注 :填上你認為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形 )

5、ADBDA CDFCBBC圖 (1)ENAM 圖(2)9 如圖 (2),是一個正方體的展開圖,在原正方體中 ,有下列命題 : AB 與 EF 所連直線平行 ; AB 與 CD 所在直線異面 ; MN 與 BF 所在直線成 600 ; MN 與 CD 所在直線互相垂直 .其中正確命題的序號為.(將所有正確的都寫出)解答題10 如圖 ,在ABC 中 ,AB=AC=13,BC=10,DE/BC 分別交 AB,AC于 D,E. 將ADE 沿DE 折起來使得 A 到 A1 ,且 A1DE B 為 600 的二面角 ,求 A1 到直線 BC 的最小距離 .AAEDOCBO11 如圖 ,已知矩形 ABCD中

6、 ,AB=1,BC=a (a 0) ,PA 平面 ABCD, 且 PA=1.(1)問 BC 邊上是否存在點Q使得 PQQD?并說明理由 ;(2)若邊上有且只有一個點Q, 使得 PQQD, 求這時二面角 Q PDA的正切 .PADBQC參考答案:問題1(1)解 :如圖 ,以D 為原點建立空間直角坐標系,有A1 (1,0,1),B(1,1,0),B1 (1,1,1),C(0,1,0)得 A1B(0,1,1) , BC1(1,0,1),設(shè) A1B 與 B1C 所成的角為,則cosA1BB1C11,又 001800 ,得600A1BB1C222所以異面直線 A 1 B 與 B1 C 所成的角的大小為6

7、00.(2) 設(shè)點 M 在 A 1 B 上 ,點 N 在 B1 C 上,且 MN 是 A1B 與 B1 C 的公垂線 ,令 M (1,m,1m) ,N ( n,1, n)則 MN(n1,1m, mn1),A1B MN0(0,1, 1) (n1,1m, mn1)0m2n2由,得解得,B1C MN0(1,01) (n1,1m, mn1)033所以 MN(1, 1,1),得 MN3,即異面直線 A1B 與 B1 C 之間的距離為3.33333(3) 解 :設(shè)平面 B1 CD 的法向量為 n( x, y, z,) ,而 DC(0,1,0) ,由 nDC , nB C ,1111( x, y, z,)(

8、0,1,0)0xz(1,0,1) ,有(1,0,1),得0,于是 n1( x, y, z,)0y設(shè) n 與 A B 所成的角為,則11cosA1B n1(0,1, 1) ( 1,0,1)1,又 001800 ,有1200 .A1Bn1222所以直線 A 1 B 與平面 B1 CD 所成的角為600.(4)證明 :由 A1 B /C D1 ,C D1平面 CB1D1 ,得 A1B /平面 C B1 D1 ,又 BD/ B1 D1 , B1 D1平面 C B1 D1,得 BD/ 平面 C B1 D1,而 A1BBDB ,于是平面 A 1 BD/ 平面 C B1 D1.(5) 證明 :A(1,0,0

9、), C1 (0,1,1), AC1 (1,1,1) , DB(1,1,0),有 AC1A1 B(1,1,1) (0,1,1)0及 AC1DB(1,1,1) (1,1,0)0 ,得AC1A1B , AC1DB,A1B BD B,于是 ,直線 A C1 平面 A 1BD.(6) 證明 :由 (5) 知 AC1平面 A1BD, 而 AC1平面 AB C1 ,得平面 AB C1平面 A1 BD.(7)解 :可得 B1 C=C D1 = D1B1 =2,有SBCD11( 2)2sin 6003122由VA BCDVC ABD ,得1 SB CDh1(1 1 1) 1,即3 h1 ,得 h3111 1

10、1332223113所以點 A1到平面 CB1 D1 的距離為.3(8) 解 :由 (3) 得平面 B1 CD 的法向量為 n1 = ( 1,0,1) ,它即為平面 A1B1C 的法向量 .設(shè)平面 B1CD1 的法向量為 n(x, y, z,) ,則 nB C ,nB D221211又 B D(0,0,1) (1,1,1)( 1, 1,0)11由( x, y, z,)(1,0,1)0yx,所以 n2(1,1,1)( x, y, z,)(1, 1,0)0,得xz設(shè) n 與 n 所成的角為,則12cosn1 n2( 1,0,1)(1, 1,1)6n1n2233所以二面角 A1B1CD1 的大小為

11、arccos6.3問題 2 解 :建立如圖所示的空間直角坐標系,由題意知 A (22,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0).又由面 A1AC C1面 ABC, 且 A A1= A1C,知點 A1 (2,1, 3) , AA(2,1, 3) ,1平面 ABC 的法向量 n(0,0,1) .(1) cosAA1 , nAA1 n(2,1,3)(0,0,1)2,得AA1, n0AA1 1(2) 212( 3)2245于是 ,側(cè)棱 AA1 和底面 ABC所成的角的大小是450 .(2)AB( 22,0,0),設(shè)面 A1AB B1 的法向量 n1( x, y, z,) ,則由n1AA1( x,

12、y, z,) (2,1, 3)2xy3z0n1AB( x, y, z,)( 22,0,0)22x0得 x0, y3z .于是 , n1(0,3,1) ,又平面 ABC 的法向量 n (0,0,1),得cosn1 ,nn1n(0,3,1) (0,0,1)1,有n1 ,n600.n1n4 12所以側(cè)面 A1 AB B1 和底面 ABC 所成二面角的大小是 600 .(3) 從點 C 向面 A1 AB B1 引垂線 ,D 為垂足 ,則CBD600CDBCDCBCkn1(0, 2,0)(0,3k, k )3DCkn14k 2所以點 C 到側(cè)面 A1 AB B1 的距離是3 .習題1 過頂點 A,V 與

13、高作一截面交BC 于點 M, 點 O 為正四面體的中心, O1 為底面 ABC 的中心 ,設(shè)正四面體 VABC的棱長為 m ,則 AM=3 m =VM, O1M =1 AM3 m ,236O1 A2 AM3 m ,VO1VM 2O1M 26 m ,得 OO1VO1VO6 m a3333在 RtAOO1 中 , AO2OO12AO12,即 a2(6 ma) 2( 3 m)2,得 m26 a .333則 VO14a ,有 VVABC1(1m 2sin 600 ) VO18 3a3.選 B.33227溫馨提示 :正四面體外接球的半徑VO :內(nèi)切球的半徑 OO1 = a : 1 a3:1 .( 4R2

14、 2R): (132V1 :V2 :V3R3):(R2 2R)2 :3:1 ,選 B.333設(shè)PA棱a 于點A,PM平面于點M,PN平面于點N,PA= t ,PAM,則t sin1,得3 cos5sin,有 sin3或3t sin(600)2 7(舍去 ),227所以 t121 cm ,選 B.sin34 由 DEEF,EF/AC, 有 DEAC, 又 ACBD,DEBD=D, 得 AC平面 ABD.由對稱性得BACCADBAD900 ,于是 ABACAD2 a .2VB ACD1(12 a2 a)2 a2 a3,選 B.32222245 可由兩個相同的四棱錐底面重合而成,有 2r2 ,得 r

15、2,2外接球的體積 V4r 32,選 D.336當 AB2 時,AB/;當 AB2 時 ,AB/或 AB;當 AB2 時 ,AB/或與斜交 .7由 EFEAABBF ,得 EF2EA2AB222 EABFcosBF600 時,有 94212211,得 AB2 ;(1) 當AB21200 時 ,有 94212211,得 AB6 .(2) 當AB28 AC BD.( 或 ABCD是正方形或菱形等 )9 將展開的平面圖形還原為正方體NACF EMBD ,可得只 ,正確 .10 解:設(shè)ABC 的高 AO 交 DE 于點 O1 ,令 AO1x ,由 AO=1325212 ,有 OO112x ,在 A1O

16、O1 中 ,A1O1O600,有 A1O2A1O12O1O22 A1O1O1O cos600得 AO13(x6)236 .當 x 6時 , A1到直線 BC 的最小距離為 6.11 解 :(1)( 如圖 )以 A 為原點建立空間直角坐標系,設(shè) BQx ,則Q (1, x,0) ,P(0,0,1),D (0, a,0) 得 PQ(1,x,1),QD (1, ax,0)由 PQQD ,有 (1,x,1) (1,ax,0)0 ,得 x2ax10若方程有解 ,必為正數(shù)解 ,且小于 a .由(a)240 , a0 ,得 a 2 .(i) 當 a2 時 ,BC 上存在點 Q,使 PQQD;(ii) 當 0a2 時 , BC 上不存在點 Q,使 PQQD.(2) 要使 BC 邊上有且只有一個點Q,使 PQQD, 則方程有兩個相等的實根,這時 ,