1、功和機械能復習、功:1、力學里所說的功包括兩個必要因素：一是作用在物體上的力；二是物體在 力的方向上通過的距離。2、不做功的三種情況：有力無距離、有距離無力、力和距離垂直。鞏固：某同學踢足球，球離腳后飛出10m遠，足球飛出10m的過程中人不做功。（原因 是足球靠慣性飛出）。3、力學里規定：功等于力跟物體在力的方向上通過的距離的乘積。公式：W=FS4、功的單位：焦三，1J= 1N m 。把一個雞蛋舉高1m ,做的功大約是 O5J 。5、應用功的公式注意：分清哪個力對物體做功，或者說哪個施力物體對哪個受力物體做 了功，計算時F就是這個力；公式中S 一定是在力的方向上通過的距離，強調對應。 功的單位

2、“焦” （1牛米=1焦）。二、功的原理：1、內容：使用機械時，人們所做的功，都不會少于直接用手所做的功：即：使用任何機械 都不省功。2、說明：功的原理是一個普遍的結論，對于任何機械都適用。功的原理告訴我們： 使用機械要 省力必須費距離，要省距離必須 重力_,既省力又省距 邕的機械是沒有的。使用機械雖然不能省功， 但人類仍然使用，是因為使用機械或者可以省力、或者可以 省距離、也可以改變力的方向，給人類工作帶來很多方便。功的原理包括兩層含義（一）、對于理想機械（忽略摩擦和機械本身的重力）：使用機械時，人們所做的功（FS）=直接用手對重物所做的功 ；（二）、對于非理想機械而言，人 們利用機械所做的功

3、要大于不用機械而直接用手做的功，多做的那部分功就是克服機械自重和摩擦所做的功。3、應用：斜面理想斜面：斜面光滑理想斜面遵從功的原理；理想斜面公式： FL=Gh其中：F:沿斜面方向的推力 ；L:斜面長；G:物重；h: 斜面Wj度。如果斜面與物體間的摩擦為f ,則：FL=fL+Gh ;這樣F做功就大于直接對物體做功 Gh 。三、機械效率：1、有用功：定義：對人們有用的功。公式： W有用=Gh （提升重物）=W總一W額=y W總斜面：W有用=Gh2、額外功：定義：并非我們需要但又不得不做的功公式：W額=W總一W有用=G動h （忽略輪軸摩擦的動滑輪、滑輪組）斜面：W額=f L3、總功： 定義：有用功加

4、額外功或動力所做的功公式：W “W有用+ W額=FS= W有用/刀斜面： W - fL+Gh=FL4、機械效率： 定義：有用功跟總功的比值 。IV有用公式：n =Gh斜面：FLGit Gh G定滑輪：一-Gh GhG動滑輪：, 一一Gh GhG滑輪組：n二麗二而i二病（豎直方向提升重物） 有用功總小于總功，所以機械效率總小于 i 。通常用 百分數 表示。某滑輪機 械效率為60%表示有用功占總功的 60% 。提高機械效率的方法：盡可能滿載來增大有用功；減小機械自重、減小機械部件間的摩擦來減小額外功。5、機械效率的測量：小有用。卜原理： n =而應測物理量：鉤碼重力 G、鉤碼提升的高度 h、拉力F

5、、繩的自由端移動的距離 S器材：除鉤碼、鐵架臺、滑輪、細線外還需刻度尺、彈簧測力計。步驟：必須勻速拉動彈簧測力計使鉤碼升高，目的：保證測力計示數大小不變。結論：影響滑輪組機械效率高低的主要因素有：A動滑輪越重，個數越多則額外功相對就多。B提升重物越重，做的有用功相對就多。C摩擦，若各種摩擦越大做的額外功就多。繞線方法和重物提升高度不影響滑輪機械效率 。6、斜面機械效率的測量：原理：應測物理量：器材：步驟：勻速拉動彈簧測力計，結論：影響斜面機械效率高低的主要因素有：斜面的傾斜程度摩擦力的大小四、功率：1、定義：單位時間內所做的功2、物理意義： 表示做功快慢的物理量 。3、公式： P = = Fv

6、P t4、單位：主單位 W_常用單位 kW、MW、 馬力換算：1kW=103w 1MW=106 W 1 馬力=735W某小轎車功率 66kW它表示：小轎車1 s內做功66000J5、機械效率和功率的區別：功率和機械效率是兩個不同的概念。功率表示做功的快慢，即單位時間內完成的功；機械效率表示機械做功的效率，即所做的總功中有多大比例的有用功。五、機械能（一）、動能和勢能1、能量：一個物體能夠做功，我們就說這個物體具有能理解：能量表示物體做功本領大小的物理量；能量可以用能夠做功的多少來衡量。一個物體“能夠做功”并不是一定“要做功”也不是“正在做功”或“已經做功”如：山上靜止的石頭具有能量，但它沒有做

7、功。也不一定要做功。2、知識結構：3、探究決定防植、的因素:定義：物體由于運動而具有的能量猜想：動能大J跳定則硼j困糜度有關 物體速度越大、質量越大,朗 多驗研究：研究對象： 小鋼球 方法：,%何4斷動能/gj力看小鋼o推蒯卷被通姍菊城具有的能量，口何控制速度大變能 如何&I輜擲/度：,則到達簿嘛裁翻M度鄭斶幗爵,勢能就越大分析歸納：保郵鋼球產量檢時榷生形蝴物斕圾確能晌；。速度越大動能越大; 保持鋼球速度不鸞驊格吉諾,用w卷瞿沙同時；質罩郵懶順緘越大、彈性勢 得出結論：右體動能與滯闌!品理邛素速度越大磷瞅麒氏質量越大動能也越大。練習：右表中給出了一頭牛漫步 行走和一名中學生百米賽跑時的 一些數

8、據：分析數據，可以看出對 物體動能大小影響較大的是速度你判斷的依據：人的質量約為牛的倍說明速度對動能影響大物體質量m/kg速度 v/(m.s -1)動能E/J牛約600約0.5約75中學生約50約6約9001/12 ,而速度約為牛的12倍此時動能為牛的124、機械能：動能和勢能統稱為機械能。理解：有動能的物體具有機械能；有勢能的物體具有機械能；同時具有動能和 勢能的物體具有機械能。（二卜動能和勢能的轉化1、知識結構：動能2、動能和重力勢能間的轉化規律:轉化彈性勢能 勢能轉化重力勢能質量一定的物體，如果加速下降，則動能增大，重力勢能減小，重力勢能轉化為動能；質量一定的物體，如果減速上升，則動能減

9、小，重力勢能增大，動能轉化為重力勢能；3、動能與彈性勢能間的轉化規律：如果一個物體的動能減小，而另一個物體的彈性勢能增大，則動能轉化為彈性勢能；如果一個物體的動能增大，而另一個物體的彈性勢能減小，則彈性勢能轉化為動能。4、動能與勢能轉化問題的分析：首先分析 決定動能大小的因素，決定重力勢能（或彈性勢能） 大小的因素 看動能 和重力勢能（或彈性勢能）如何變化。還要注意動能和勢能相互轉化過程中的能量損失和增大 -_如果除重力和彈力外沒有其 他外力做功（即：沒有其他形式能量補充或沒有能量損失），則動能勢能轉化過程中機械能不變。題中如果有“在光滑斜面上滑動”則“光滑”表示沒有能量損失一一機械能守恒；“

10、斜面上勻速下滑”表示有能量損失一一機械能不守恒。（三）、功和能的關系物體做功過程就是能的轉化過程，物體做功越多，說明某種能轉化為別的形式的能就越多，如重物從高處下落的過程就是重力做機械功的過程，從而實現重力勢能轉化為動能的過程；彎弓射箭的過程就是通過彈力做功從而將弓的彈性勢能轉化為箭的動能的過程；用電器工作時的過程就是通過電流做功將電能轉化其它能的過程。一、掌握恒力做功的計算，判斷某個力F是否做功，是正功還是負功(或克服力F做功).提 高對物理量確切含義的理解能力【例1】用水平恒為F作用于質量為 M的物體，使之在光滑的水平面上沿力的方向移動位移s,該恒力做功為 W1再用該恒力F作用于質量m (

11、m90 ,所以M對m的彈力對 m物塊做負功，即W年0,而m對M彈力N對三角劈的 水平位移的夾角小于 90 ,因而 m對M的彈力N對M所做的功 W20,做正功，即 W身0, 所以選D項是正確的.該題也可由系統的機械能守恒來研究.M與m組成一個系統，系統內只有重力和彈力做功，系統的機械能守恒.由于 M在m壓緊下向右運動，M的動能不斷增大，而由機械能守恒可知 m的機械能不斷減小，因而M對m的彈力一定對 m做負功，m對M的彈力對M一定做正功.所 以，正確答案為 D項.【例3】以一定的初速度豎直向上拋出一個小球，小球上升的最大高度為h， 運動中空氣阻力大小恒為f ，則小球從拋出點拋出到再回到原拋出點的過

12、程中，空氣阻力對小球做的功應為A 0B -fhC -2fhD -4fh正確答案：C說明 有些同學錯選A項，其原因是認為整個過程位移為零，由公式W=Fscos。可得Wf=0.錯 誤的另一原因是，沒有準確掌握公式W=Fscos。直接計算時，F必須是恒力（大小和方向均不變）；另外，缺乏對物理過程的分析小球在上升和下降過程中空氣阻力都是做負功，所以全過程空氣阻力對小球所做的功應為Wf=Wf上+Wf下=加+ （加）=-2fh .【例4】如圖5-6所示，某力F=10N作用于半徑R=1m的轉盤的邊緣上，力 F的大小保持不變，但方向始終保持與作用點的切線方向一致，則轉動一周這個力F 做的總功應為A. 0JB.

13、 20 兀 JC 10JD 20J正確答案：B說明 某個力做功，其大小不變而方向改變在計算這個力所做功時，切莫把初末位置的位移s直接代入 WF=F s - cos 0來計算總功.由于力 F的方向始終保持與作用點的速度方 向（切線方向）一致.因此，這個力做功不能為零，此時應把圓周劃分很多小段As研究.如圖5-7所示，當各小段弧長 Asi足夠小（Asi-0）時，在這Asi內，F方向幾乎與該小段 位移方向重合WF=FA s1+FAs2+ - +FA si=F2 兀 R通過該題，能提高準確理解功這基本量的物理意義的能力【例5】質量為M的長木板放在光滑的水平面上，如圖 5-8所示，一質量為 m的滑塊，以

14、某一速度v沿長木板表面從 A點滑至B點在木板上前進了 Lm,而長木板前進了 sm,若滑 塊與木板間動摩擦因數為科，問：a）摩擦力對滑塊所做的功多大b）摩擦力對木板所做的功多大解 a ） 滑塊受力情況如圖5-9（ a） 所示， 滑塊在摩擦力的方向上相對地面的位移為（ s+L） ，摩擦力對滑塊所做的功為Wm=-f（ s+L）sb）木板受力情況如圖 5-9 （b）所示，木板在摩擦力的方向上相對地面位移為，摩擦力對木板所做的功為WM=fs說明：滑動摩擦力可以做正功，滑動摩擦力也可以做負功在滑塊與長木板組成的系統中，這一對滑動摩擦力所做的總功一定為負值.請同學們思考，這是為什么若該題改為，m與M疊放在水

15、平地面上， 對M施加一水平力F作用，使m和M一起沿水平地面加速運動中，則靜摩擦力對m做正功，靜摩擦力對M做負功，但這一對靜摩擦力在對 m和M組成的系統內所做 的總功一定為零請同學們思考，這又是為什么【例6】 如圖5-10所示，定滑輪至滑塊高度為 H,已知細繩的拉力為 FN （恒定），滑塊 沿水平地面由A點前進s米至B點.滑塊在初、末位置時細繩與水平方向夾角分別為“和3 ,求滑塊由A點運動到B點過程中，拉力 F對滑塊所做的功.解 拉力F 做功等于該力乘以細繩經過滑輪的長度（即力的作用點在F 方向上的位移大小）【例7】在光滑水平面上有一靜止的物體。現以水平恒力甲推這一物體，作用一段時間后，換成相反

16、方向的水平恒力乙推這一物體。當恒為乙作用時間與恒為甲作用時間相同時，物體恰好回到原處，此時物體的動能為32J。 則在整個過程中，恒力甲做的功等于J，恒力乙做的功等于J。解 如圖5-11所示，OA段作用力為F甲，ABO段作用力為F乙。設AB=s,向右為正，則 有由牛頓第二定律另有將、代入得所以有F 乙 =3F 甲顯然，恒力甲做正功，W甲二F甲s；恒力乙的方向和物體在恒力乙作用下的位移的方向相同， 所以，恒力乙也做正功，W乙二5乙so則所以W 甲 =8JW 乙 =24J說明 此題較為復雜，對學生的分析綜合能力要求較高。解決本題要分析清楚物理過程，且要對恒力做功公式有非常深刻的理解，兩恒力先后作用下

17、物體的兩位移的大小是相等的，兩位移的方向是與對應的恒力方向相同的，兩力都做正功。這樣，兩個力所做功的關系問題圖 5-12就轉化為求兩個力的大小關系問題。例8如圖5-12所示，質量為 m的物體P放在光滑的、傾角為 0的直角劈上，同時用力 F向右推劈，使P與劈保持相對靜止，當前進水平位移為 s時，劈對P做的功為多少P進行受力分析，如解 物體P相對光滑斜面靜止，說明它們具有相同的水平加速度.對 圖5-12所示，P所受支持力N和重力mg的合力一定水平向右劈對P做的功為【例9】如圖5-13所示，質量為2kg的物體水平放置在運貨滾梯上，沿AB方向以加速度a=4m/s2從A點移到B點，AB間距離為2m, A

18、B連線與豎直方向夾角為 60 .求1)摩擦力對物體所做的功；2)彈力對物體所做的功.解 如圖5-14對物體進行受力分析，將沿AB方向的加速度a沿水平圖5r 13方向和豎直方向分解，根據牛頓第二定律列方程圖5T4由、式解得 根據功的定義式【例10】 某人用恒力F=100N通過滑輪把物體 M拉上斜面，如圖5-15所示，作用力F的方向與斜面的夾角為 60。，若物體沿斜面運動 1m則力對物體做功為A. 100JB. 150JC. 200JD.條件不足無法確定解 如圖5-15所示，拉力T=F.T做功為WT=T- S=100X 1=100 (J)F做功為則拉力對物體做功為W=WT+W=100+50=150

19、 (J)二、掌握功率的確切含義，能正確區分平均功率和即時功率【例11】一質量為m的滑塊靜止在光滑水平地面上.從 t=0開始，將一個大小為 F的水平拉力作用在滑塊上，如圖5-16 所示，在t=t 1 時刻力 F 的功率應是答案：C說明該題要求的是t1 時刻 的即時功率，應使用公式P=Fvt ，必須分清是求平均功率還是即時功率【例12】質量mkg的物塊從離地面高 H米處作自由落體運動，取地面為參考平面，求：a）前ns內重力所做的功；b）第ns內重力對物體做功的平均功率；c）第ns末重力做的功的即時功率.解 a）在前ns內，物塊在重力方向上的位移為s,重力所做的功為 W1,b）第n s內重力所做的功

20、為 W2其平均功率為 P,c）第n秒末即時速度為 vn,即時功率為P.vn=gt=gn （ m/s）P =mgvn=nm2 （W【例13】汽車質量為m,額定功率為P,在水平長直路面上從靜止開始沿直線行駛，設行駛中受到恒定阻力f 求：a）汽車所能達到的最大速度vm;b）汽車從一開始以加速度 a勻加速起動，汽車能保持勻加速運動的最長時間tm;c）汽車在tm后，加速度和速度變化.解 a）汽車運動中牽引力 F與阻力f相等時，加速度a=0.此時速度vm最大，汽車輸出 功率即為額定功率 P額，P出=5引v=fmvm=P額.b）汽車以加速度 a勻加速起動.F 引 -f = ma維持勻加速運動的牽引力F 引

21、=f + ma汽車作勻加速運動時， a不變，又知阻力f不變，此時汽車牽引力 F不變，依公式 P=Fv可 知，汽車運動速度 v=at在不斷增大，欲保持 F不變，必須增大汽車的輸出功率，當 P出=P 額時，汽車的勻加速運動將結束，其保持勻加速運動時間為tmP 額 =F 牽 vt=F 牽 at m汽車在勻加速運動中，發動機所做的功，即牽引力F 所做的功為c）當汽車勻加速運動階段結束后t tm,汽車在水平方向受力由 5牽變至5牽二八 在這一過程中汽車在其運動方向上作變加速運動，運動的加速度變小，其運動速度增大當F牽=時，汽車運動的加速度為零（a=0）,此時，運動速度達最大vm.【例14 質量為m的集裝

22、箱被額定功率為 P的升降機提起，集裝箱的最大速度能達到 v0, 那么，當集裝箱的速度為v （vvv0）時，它能獲得的最大加速度am等于多少解 依題意，設運動阻力為f ，升降機對集裝箱的拉力為F，F-f=maP 額 =fv 0P 額 =Fv【例15】以初速度v0 做平拋運動的物體，重力在第1s 末和第 2s 末的功率之比為a， 重力在第1s內和第2s內的平均功率之比為b,則 解 做平拋運動的物體，在豎直方向上做自由落體運動，設第1s 末和第 2s 末物體在豎直方向上的速度分別為v1和v2, 1s內和2s內在豎直方向的位移分別為hl和h2 ,則v1=gt 1=gX 1=g, v2=gt 2=gX

23、2=2g所以第 1s 末和第 2s 末重力的瞬時功率為P1=mgv1=mg， P2=mgv2=2mg2第 1s 內和第 2s 內重力的平均功率為本題應選A【例16】保持機車的功率不變，列車從車站出發沿平直的鐵路行駛5min,速度增大到72km/h 在這段時間內，列車行駛的距離s A 一定等于3000mB 一定大于3000mC. 一定小于3000mD.條件不足，無法判定解 解這個問題常見的錯誤認為，機車功率不變，則列車做勻加速直線運動v0=0 , vt=72km/h=20m/s ,t=5 min=300s于是車行駛的距離為實際上，由于功率 P=Fv,機車提供的牽引力可見，P 一定時，F 隨列車速

24、度v 的增大而減小，根據牛頓第二定律，列車的加速度即使是列車受到的阻力f 大小不變（實際上f 還會隨速度v 的增大而增大），其加速度a也要隨v 的增大而減小因此，在功率不變的條件下，列車做的不是勻加速直線運動，其速度圖象也不是圖5-17 中的直線1 列車做的是加速度逐漸減小的加速運動，當速度增大到使其牽引力減至與阻力大小相等時，列車達到最大速度，此后將做勻速直線運動列車的速度圖象如圖5-17 中的曲線2，其斜率（表示加速度的大小）逐漸減小曲線 2 與橫軸及縱坐標線t=300s 圍成的面積（表示位移大小）大于直線1 與橫軸及縱坐標線t=300s所圍成的面積（大小為 300m）.即5min內列車行

25、駛的距離 s 3000m.由此可見應選B【例17】一跳繩運動員質量 m=50kg, 1min跳N=180次.假設運動員跳繩時克服重力做功的平均功率多大每次跳躍人克服重力做功克服重力做功的平均功率三、正確理解動能定理及掌握動能定理的一般應用，凡動力學問題，涉及位移、動能、功，應考慮應用動能定理來解題【例18質量為m的金屬塊，當初速度為v0時，在水平面上滑行白勺最大距離為s.如果將金屬塊質量增加到2m， 初速度增大到2v0， 在同一水平面上該金屬塊最多能滑行的距離為解當質量為m,速度為v0時，根據動能定理 當質量為2m,速度為2vo時，根據動能定理由/式得s : s=1 : 4故選C.【例19如圖

26、5-18所示，兩個物體用輕繩經光滑的滑輪拴在一起，質量分別為 ml和m2, m2在地面上，ml離地面的高度為 h, m1m2由靜止釋放，則ml落地后，m2還能上升的高度為解 設ml落地瞬間，ml和m2的共同速度為v,對ml、m2分別受力分析，如圖5-18所示，根據動能定理此后m2做豎直上拋運動，設還能上升的高度為10m/s增加到最大速度 20m/s , 求汽車發動機的額定功率是多少故應選A【例20】 質量為5噸的汽車，以額定功率行駛，速度由行程為3km,用時3min ,設汽車行駛過程中所受阻力不變，解根據動能定理并且知道，當F=f時，速度最大，即解得P 額=25000 (W =25 (kW圖

27、5-19【例21 質量為m的滑塊由仰角9=30。的斜面底端 A點沿斜面上滑, 如圖5-19所示，已知滑塊在斜面底端時初速度 v0=4m/s,滑塊與接觸面 的動摩擦因數為 0.2,且斜面足夠長.求滑塊最后靜止時的位置.解依動能定理列方程.sAB=1.2 (m)由A點運動到B點 得由B點運動至nC點mgsin30 - sAB-科 mgcos30 - sAB-科 mgsAC=0sAC=1.96 (nD【例22】物塊質量為 m由高H斜面上端靜止開始沿斜面下滑，滑至水平面C點處停止, 測得水平位移s,若物塊與接觸面間動摩擦因數相同，求動摩擦因數.解以滑塊為研究對象，其受力分析如圖5-20所示，根據動能定

28、理有H-s=0【例23 如圖5-21所示，斜面傾角為0 ,質量為m的滑塊(距擋板 P的距離為s0)以 初速度v0沿斜面上滑.滑塊與斜面間動摩擦因數為科.若滑塊每次與擋板相碰均無機械能損失.求滑塊停止時經過的路程.解 以小球為研究對象，其受力分析如圖所示，小球往復多次最后停止在擋板處.根據動能定理列方程圖 5-21【例24總質量為M的列車，沿水平直線軌道勻速前進，其末節車廂質量為m,中途脫節，司機發覺時，機車已行駛L的距離，于是立即關閉油門, 除去牽引力；設運動的阻力與質量成正比，機車牽引力是恒定的.求當列車 的兩部分都停止時，它們間的距離為多少解依題意，畫草圖5-22 ,標明各部分運動的位移.

29、對車頭(M-砧 脫鉤后的全過程，依動能定理列方程.設阻力f=k (M-mj)g對末節車廂，依動能定理列方程又,: A s=s1-s2由于原來列車勻速運動，所以牽引力F=kMg由、聯立得說明如果物體運動有幾個過程,末狀態的動能.關鍵是分清楚整個過程有幾個力做功及其研究對象的初、另一解法：依題意列方程kMg L=k(M-m)g A s說明假設機車脫鉤時，立即關閉油門，由于運動阻力與其質量成正比，所以兩部分同時分別做加速度相同的勻減速運動，勻減速運動的初速度也相同，故兩部分停止相距的距離為零.若以末節車廂為參照物，機車在運動L段時牽引力kMg所做的功為kMgL,使機車動能其阻力相增加.那么，機車所增

30、加的動能全部消耗在機車相對末節車廂克服阻力做功之中, 對末節車廂所做的功為 k(M-m)g A s ,故有方程kMgL=k(M-m)g A s成立.【例25如圖5-23所示，在一個固定盒子里有一個質量為m的滑塊，它與盒子底面動摩擦因數為科，開始滑塊在盒子中央以足夠大的初速度v0向右運動，與盒子兩壁碰撞若干次后速度減為零，若盒子長為 L,滑塊與盒壁碰撞沒有能量損失，求整個過程中物體與兩壁 碰撞的次數.解 以滑塊為研究對象，滑塊在整個運動過程中克服摩擦力做功消耗了滑塊的初始動能, 依動能定理列方程，設碰撞 n次，有四、用動能定理求變力做功，加深理解和靈活運用動能定理解題【例26】 用汽車從井下提重

31、物，重物質量為 m,定滑輪高H,如圖5-24所示，已知汽車 由A點靜止開始運動至 B點時速度為vB,此時細繩與豎直方向夾角為 0 .這一過程中細繩 的拉力做功多大解 細繩對重物的拉力為變力，應用動能定理列方程.以重物為研 究對象，列方程由圖所示，v/為vB的分速度，按vB分解得聯立、，解得【例27 如圖5-25所示，一質量為 m的小球用長為L的細繩懸 掛于。點，小球在始終保持水平方向 F力作用下緩慢地由 P位置移到 Q位置，求力F所做的功.解小球移動過程中水平力 F的大小在變化(變大).依題意，小球在運動(上升) 上中只有兩個力做功，應用動能定理列方程WF-mgL(1-cos 0 )=0-0

32、. WF=mg(1-cos 0).【例28如圖5-26所示，質量為 m小球被細繩經過光滑小孔而牽引在光滑水平面上做圓周運動，拉力為 F1值時，勻速轉動，半徑為 R1,當細繩拉力為 F2值，小球仍作勻速圓 周運動，轉動半徑為 R2,求此過程中拉力 F所做的功.解細繩的拉力是變力，提供小球作勻速圓周運動的向心力，應用動能定理列方程 由，式得五、掌握重力做功的特點、機械能概念、機械能守恒的判斷及一般應用, 提高分析、綜合能力【例29如圖5-27所示，桌面高度為 h,質量為m的小球從離桌面高H處自由落下.不計空氣阻力，假設桌面處的重力勢能為零.小球落到地面前的瞬間的機械能應為A . mghB. mgH

33、C. mg(H+h)D. mg(H-h)正確答案：B.說明機械能是動能和勢能的總和，因選取桌面為參考平面. 所以，開始時機械能為 mgH由于小球在下落過程中只有重力做功，所以，小球在未碰地之前機械能守恒，也就是說，在任一時刻的機械能都與初始時刻的機械能相等，都為 mgH所以，選B項是正確的.有些同 學錯選D項，原因是對機械能及參考平面的性質沒有掌握準確.機械能是動能和勢能的總和，即E=Ep+Ek小球在自由落下過程中重力勢能減小而動能增大，但機械能沒有減小.【例30】物體在地面附近以 2m/s2的加速度勻減速豎直上升，在上升過程中，物體的機械能的變化應是A.不變B.減小C.增大D.無法確定正確答

34、案：C.說明若物體只受重力作用，在地面附近其加速度應為g=9.8m/s2 ,而該題中物體上升時的加速度小于g,這說明該物體受有向上的拉力，在上升過程中，這個力做正功，因此物體 的機械能增大，故選 C項是正確的.有些同學錯選B項，A項，其原因是沒有準確掌握機械能及如何判斷物體受幾個力作用，是做正功還是做負功.【例31 如圖5-28所示，光滑半圓上有兩個小球，質量分別為m和M,由細繩掛著.今圖 5-23由靜止開始釋放，求小球 m至C點時的速度.解 以兩球和地球組成的系統為研究對象.在過程中只有重力做功，機械能守恒，選取初態位置為參考平面，有說明做機械能守恒定律的應用問題，必須會畫出示意圖一一畫出各

35、物體初態位置和末態位置，選好參考平面.找準初態系統總的機械能和末態系統總的機械能. 該題只有重力做功， 系統的機械能守恒， 列方程 也可應用動能定理列方程【例32質量均為m的三個小球 A B、C用兩條長均為L的細繩連接著，置高為 h的光滑水平平臺上，且 Lh,如圖5-29所示，在平臺邊緣的軌道恰好能使小球無摩擦地通過， A球剛好跨過平臺邊緣.若 A球、B球相繼落地后均不彈起，求 C小球剛離開桌面邊緣時的 速度.解 在運動過程中，只有重力做功，根據機械能守恒定律列方 程，取水平地面為參考平面.圖 5-29當A球著地時， 小球C以v2離開桌面為所求.式、式聯立解得說明要正確建立物理模型，當 A球著

36、地前細繩總是牽連著小球運動；當A球著地，AB間細繩處于松弛狀態，僅有 BC間細繩牽連著 B球、C球，重力對A球做功使三個球的動能增 加，重力對B球做功使B和C二個球的動能增加.通過訓練提高分析問題的能力.【例33】有三個質量均為 m的物體A B C, C物體在OO細繩中點處，如圖5-30所示.細繩與滑輪摩擦不計，OO=L.令將C物體由靜止開始釋放，求 C物體能下落的最大高度.解法一以三個物體為一整體作為研究對象，系統只受重力作用.設C物體下落最大距離為 s時，A、B二物體上升距地面高度為 h.mgs-2mgh=0解法二以動能定理列方程：以A物體為研究對象，列方程有Th-mgh=0以B物體為研究

37、對象，列方程有Th-mgh=0以C物體為研究對象，列方程有mgs-2Th=0由+得mgs-2mgh=0說明該題是求最大下落距離，即速度達到零時，物體下落距離最大.反映了物體在外力作用下，在一段位移上速度發生了變化，可應用動能定理處理.但是該題所研究對象并非單一物體而是三個物體，若將三個物體視為一整體應用機械能守恒定律來解題極為方便.【例34】下列實例（均不計空氣阻力）中的運動物體，機械能守恒的應是A .被起重機吊起的貨物正在勻加速上升B.物體做平拋運動C.物體沿粗糙斜面勻速下滑D. 一個輕質彈簧上端固定，下端系一重物，重物沿豎直方向作上下振動正確答案：B, D.說明判斷系統的機械能是否守恒，必

38、須依據機械能守恒的條件.具體步驟：a）確定研究對象. b）進行受力分析.c）分析這些力做功的情況.d）對照機械能守恒的條件加以判斷.有 些同學錯選A項和C項，其原因是機械能守恒的條件不清楚.A.取貨物和地球組成的系統為研究對象，貨物在豎直方向上受到重力和拉力作用，在勻加 速上升的過程中，除了重力做功外，拉力也做功，系統機械能增加，所以，機械能不守恒.B.取物體和地球組成的系統為研究對象，僅受重力，只有重力做功，故系統機械能守恒.C.取物體和地球組成的系統為研究對象，物體受重力、斜面對它的支持力和摩擦力，由于 摩擦力參與做功，故系統機械能不守恒.D.取彈簧、重物和地球組成的系統為研究對象.在重物

39、沿豎直方向上做上下振動時，重力 和彈力對物體做功，故系統機械能守恒【例35 如圖5-31所示，質量為 m的小球由長為L的細繩（質量不 計）固定在。點，令將小球水平拉至 A點靜止釋放，在 O點正下方何處 釘一鐵釘O方能使小球繞O點在豎直平面內做圓周運動解由題意求O位置，即確定圓周運動的半徑r（OO= L-r）.根據小球在豎直平面維持圓周運動的條件： 以小球為研究對象，根據動能定理，得由，式得【例36 如圖5-32所示，一根輕質細桿的兩端分別固定著A B兩個小球，。點是一光滑轉軸，細桿能繞O點在豎直平面內自由轉動.已知AO長為l ,BO長為21,A球質量為m,B球質量為M,使細桿從水平位置由靜止開

40、始轉動.求當 B球轉到O點正下方時，它對細桿 的拉力，并就 m值的變化情況討論這個拉力的變化范圍.解 取A B（包括細桿）兩球與地球組成系統為研究對象，由于。軸作用于桿的力不做功（沒有位移）.內力只有重力和彈力（桿與球間的作 用力），故系統機械能守恒. 取。軸所在水平面為參考面，即重力勢能 為零，依機械能守恒定律，列方程A、B兩球轉動角速度相同，有方程vB=co - 2l vA= 3 lB球作圓周運動，有方程由、聯立解得討論：1）當m 2M時，B球不可能向下擺.3）當m 2M時，TB最小，此時TB Mg這時B球以接近零的速率慢慢下擺.說明a）應用機械能守恒定律時只需考慮始末狀態的機械能，不必考

41、慮中間過程，這對解決變力做功、變加速運動等復雜的力學問題較為方便.b）零勢能的參考平面可以任意選取.本題若選取最高點 A為零勢點，則有方程上述方程所解得的結果相同.不過，選取恰當的零勢能位置將給解題帶來方便.c）注意分析問題：沒有 A球時，桿對B球的作用力始終指向圓心O,它對B球不做功，B球與地球所組成的系統機械能守恒.但有A球時，桿對B球的作用力不再指向圓心 O,它對B球做功，B球與地球所組成的系統機械能不守恒.或理解為：當B球下擺時，A球要向上轉，A球的重力勢能與動能都增加， 能量由B球提供，故B球與地球組成的系統機械能不守恒.由上述分析，取以A、B（包括細桿）兩球和地球所組成的系統.由于

42、O軸作用于桿的力不做功（沒有位移），內力只有重力和彈力（桿與球間彈力），故系統機械能守恒.由上述分析，可見選取研 究對象的重要性.【例37 如圖5-33所示，均勻鐵鏈長為 L,平放在距地面高為圖 5-33鐵鏈械能全部離開桌面的瞬間，其速度為取地面為零勢面，則釋放時和鐵鏈全部離開桌面的瞬間，的重力勢能分別為設鐵鏈全部離開桌面的瞬間，鐵鏈的速度為v,則根據機守恒定律 故應選C.【例38如圖5-34所示的裝置中，木塊 M與地面間無摩擦，子彈以一定的速度沿水平方向射向木塊并留在其中，然后將彈簧壓縮至最短.現將木塊、子彈、彈簧作為研究對象， 從子彈開始射入木塊到彈簧壓縮至最短的過程中系統的圖 5-34A

43、.機械能守恒B.機械能不守恒C.產生的熱能等于子彈動能的減少量D.彈簧壓縮至最短時，動能全部轉化成勢能解 子彈以一定的速度沿水平方向射向木塊并留在其中這一過程中，摩擦力對M做的功（M位移小）小于子彈克服摩擦力做的功，機械能減少，機械能不守恒，子彈減少的動能一部分 轉化成熱能，另一部分轉化成M的動能和彈簧的勢能.然后將彈簧壓縮至最短這一過程中只 有系統內彈力做功， 機械能守恒.但全過程機械能不守恒， 從子彈射向木塊直至彈簧被壓縮 至最短，動能一部分轉化成熱能，另一部分轉化成勢能.B正確【例39】一個人把重物加速上舉到某一高度，則下列說法正確的是A .物體所受合外力對它所做的功等于它的動能的增量B

44、 .人對物體所做的功等于物體機械能的增量C .人對物體所做的功和重力對物體所做的功的代數和等于物體機械能的增量D.克服重力所做的功等于物體的重力勢能的增量解 根據動能定理可知物體加速上升的過程中，合外力對物體做的功等于動能的增量，A正確.對于重物和地球組成的系統，人對物體的作用力是外力， 人對物體做正功，物體的機械能增加，且等于人對物體所做的功，B正確.根據WG=AEp,克服重力所做的功等于物體重力勢能的增量，D正確.此題選A、B、D【例40如圖5-35所示，長為2L的輕桿上端及其正中央固定兩個質量均為m的小球,桿豎直立在光滑的水平面上，桿原來靜止，現讓其自由倒下，設桿在倒下過程中著地端始終不

45、離開地面，則 A著地時的速度為“Or解 將A B球視為系統.此系統在運動過程中，只有重力做功，系m T統機械能守恒，則有LB葉系統在運動過程中，受地面豎直向上的彈力，重力也在豎直方向上，m lL因此落地時其速度只可能豎直向下，沒有水平分量.它們繞共同軸O點轉動，其角速度相同，有匕,，-【例41 如圖5-36所示，用長為L的細繩懸掛一質量為 m的小球，再把小球拉到 A點， 使懸線與水平方向成 30。，然后松手，問小球運動到懸點正下方B點時懸線中的張力多大解 小球自A點到B點應分為兩個階段.小球從 A釋放后，由于繩松弛，所以球做自由落 體運動，直到將繩拉直，即關于釋放位置的對稱點C處，如圖5-37

46、所示.以后進入圓軌道，小球進入圓形軌道時只有切向速度，而自由落體的小球在 C點的速度是向下的，故徑向分量由于繩的作用而變為零，因此該連接點處有能量損失.在以后運動中只有重力做功，機械能 守恒.球從A到C下落位移為L,由自由落體運動規律知從C到B過程中，根據機械能守恒定律，選B點所在水平面為零勢面，有在B點對球受力分析，由牛頓第二定律得【例42如圖5-38所示，勁度系數為k1的輕質彈簧兩端分別與質量為ml m2的物塊1、2拴接；勁度系數為 k2的輕質彈簧上端與物塊 2拴接，下端壓在桌面上（不拴接），整個系 統處于平衡狀態.現施力將物塊1緩慢地豎直上提，直到下面那個彈簧的下端剛脫離桌面.在此過程中

47、，物塊 2的重力勢能增加了 ,物塊1的重力勢能增加了 . （1996 年高考題）解以桌面為零重力勢能面，上提前系統處于靜止狀態，設彈簧k2的壓縮量為Al 2,則有1處 圖5-30F 彈 2=k2 A l 2=（m1+m2）g當彈簧k2剛離開桌面時，物塊 2上升的高度為A h2=A l 2設上提之前，彈簧 k1的壓縮量為Al 1,取物塊1為研究對象，物塊 于平衡狀態，則有F 彈 1=k1 A l 1=m1g設上提到彈簧k2剛離開桌面時，彈簧 k1的伸長量為Al1 ,取物塊2為研究對象，物塊 2 處于平衡狀態，則有F彈 1=k1 A l 1=m2g設彈簧k1和彈簧k2的原長為l 1和l 2,則將物

48、塊1、2提起前后，物塊1距桌面的高度分 別為h1=(l 1+l 2)-( A l 1 + A l 2)h2=(l 1+l 2)+ A l1所以，物塊1上提前后的高度差 A hl為所以Ah1=h2-h1= A l 1+ Al 1 + A l 2A Ep1=m1g hl【例43一質量m=2kg的小球從光滑斜面上高 h=3.5m處由靜止滑下，斜面底端緊接著圖 5-39一個半徑R=1m的光滑圓環，如圖 5-39.求： 1）小球滑至圓環頂點時對環的壓力；2）小球至少應從多高處靜止滑下才能越過圓環最高點；3）小球從h=2m處靜止滑下時將在何處脫離圓環（g=10m/s2）.解 1）設小球滑至環頂時速度為 v

49、,所受環的彈力為 N,以軌道最低點所在水平面為零勢面, 由機械能守恒和圓周運動條件得 由、式聯立解得 則小球滑至圓環頂點時對環的壓力為N=N=40（N）2）剛好越過圓環時，在環頂球與環間的彈力為零，只有重力提供向心力，設小球至少應從 h1高處靜止下滑，由機械能守恒和圓周運動條件得由、式聯立解得3）由于h=2m2.5m,故環在還沒有到達環頂前即與環脫離，設脫離時圓環的位置半徑與豎 直方向夾角為0 （如圖5-40）,由機械能守恒和圓周運動條件有 由、式聯立解得【例44如圖5-41所示，質量為m的小球用輕繩系住繞 。點在豎直平面內做圓周運動.當小球運動到與 。點在同一水平面上的右端p.二抽I二腳最二

50、月解當小球運動到P點時依題繩恰好在水平位置，即繩的張力M圖 5-41T=mg又球在P點時繩的張力為向心力，設P點小球的速度為v1,則有所以小球在P點的速度和動能分別為取最低點M所在水平面為零重力勢能面，則小球在P點的重力勢能和總能量為設小球到M點時速度為v2,在M點小球總能量為根據機械能守恒E1=E2在M點向心力F向2=T-mg,則T=4mg由、式聯立解得【例45】一內壁光滑的環形細圓管，位于豎直平面內，環的半徑為R（比細管的半徑大得多）.在圓管中有兩個直徑與細管內徑相同的小球（可視為質點），A球的質量為ml, B球的質量為m2它們沿環形圓管順時針運動，經過最低點時的速度都為v0.設A球運動到最低點時，B球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么ml、m2 R與v0應滿足的關系式為.解 A球在最低點，對 A球受力分析，如圖 5-42所示.根據牛頓第二定律圖 5-42則A球對圓管向下的壓力為對B球，選圓管最低點所在水平面為零重力勢能面，根據機械能守恒定律由、式聯立得則B球對圓管向上的壓力為 兩球作用于圓管的合力為零，則NA-NB=0將、式代入式得六、熟練運用能量守恒定律解決有關的動力學問題；尤其應特別注意，摩擦力做功與產生 熱能間的關系【例46 如圖5-43所示，有一個固定在水平面上的具有凹形表面的物體，滑塊m從A點由