1、變量之間的關(guān)系知識(shí)梳理1概念變量：在某一變化過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量是變量。自變量、因變量：一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量和，其中隨的變化而變化，我們就說(shuō)是自變量，是因變量。常量：在某一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值始終保持不變的量是常量。2自變量與因變量的區(qū)別自變量因變量區(qū) 別先發(fā)生變化或主動(dòng)發(fā)生變化的量后發(fā)生變化或隨著自變量的變化而變化的量聯(lián) 系（1） 兩者都是某一變化過(guò)程中的變量；（2） 兩者因研究的側(cè)重點(diǎn)或無(wú)先后順序不同可以互相轉(zhuǎn)化3表示方法：表格法：借助表格，可以表示因變量隨自變量的變化而變化的情況。表格法的基本特征是：表示兩個(gè)變量之間的表格，一般第一欄表示自變量，第二欄表示因變量，從

2、表格中可以發(fā)現(xiàn)因變量隨自變量變化而存在一定的變化規(guī)律，從而可以利用變化趨勢(shì)對(duì)結(jié)果作出預(yù)測(cè)。 關(guān)系式法：利用等式表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。關(guān)系式的基本特征是：（1）等式的左邊是因變量，等式的右邊是關(guān)于自變量的代數(shù)式；（2）等式中只含有自變量和因變量?jī)蓚€(gè)變量，其他的量都是常數(shù)；（3）自變量可在允許的范圍內(nèi)任意取值。圖像：將一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化的情況繪制成一條曲線，這條曲線稱(chēng)為兩個(gè)變量之間關(guān)系的圖像。圖像法：用圖像來(lái)表示一個(gè)變量與另一個(gè)變量之間關(guān)系的方法，叫做圖像法。4變式變量之間關(guān)系的方法的優(yōu)缺點(diǎn)方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)列表法對(duì)于表中自變量的每一個(gè)值，可以不通過(guò)計(jì)算，直接把因變量的值找到，查詢(xún)時(shí)很

3、方便，于是一些數(shù)學(xué)用表應(yīng)運(yùn)而生只能列出部分自變量與因變量的對(duì)應(yīng)值，難以反映變量之間變化的全貌，而且從表中看不出變量間的對(duì)應(yīng)規(guī)律關(guān)系式法簡(jiǎn)明扼要，規(guī)范準(zhǔn)確有些變量之間的關(guān)系很難或不能用關(guān)系式表示，求對(duì)應(yīng)值也需要逐個(gè)計(jì)算，比較麻煩。圖像法形象直觀，可以形象地反映出食物變化的全過(guò)程、變化的趨勢(shì)和某些性質(zhì)（如因變量的增減變化、點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)、最大或最小值等）圖像是近似的、局部的，由觀察圖像確定的因變量的值往往不夠準(zhǔn)確。例題精講考點(diǎn)1變量、自變量、因變量、常量 例1甲、乙兩城市相距300千米，在甲城市有一列火車(chē)以每小時(shí)100千米的速度向乙城市行駛，小時(shí)后火車(chē)與乙城市的距離為千米，在這個(gè)問(wèn)題中，是常量，是自變量

4、，是因變量。變式1.下列各題中，哪些量在發(fā)生變化？其中的自變量與因變量各是什么？（1）用總長(zhǎng)為60m的籬笆圍城一個(gè)邊長(zhǎng)為(m)、面積為S（）的矩形場(chǎng)地；（2）正方形邊長(zhǎng)是3，若邊長(zhǎng)增加x，則面積增加y。 變式2小明幫媽媽預(yù)算家庭4月份電費(fèi)的開(kāi)支情況，下表是小明家4月處連續(xù)8天每天早上電表顯示的讀數(shù)。日 期12345678電表讀數(shù)2124283339424649（1）表格中反映的變量是，自變量是，因變量是 。（2）估計(jì)小明家4月份（按30天計(jì)）用電量是，若每度電0.55元，估計(jì)他家4月份應(yīng)交電費(fèi)元。小結(jié)：考點(diǎn)2.表格法表示變量之間的關(guān)系 例2.下表是一次秋汛期某河流在一天內(nèi)漲水情況，警戒水位是2

5、5米。時(shí)間（時(shí)）04812162024超警戒水位（米）+0.2+0.25+0.35+0.5+0.7+0.9+1.0 （1）上表反映了與之間的關(guān)系，其中是自變量，是因變量；（2）估計(jì)上午10時(shí)的超警戒水位是；（3）從0時(shí)到24時(shí)，水位從上升到；（4）借助表格，從時(shí)到時(shí)，水位上升最快。變式1.一輛汽車(chē)在公路上行駛，其所走的路程和所用的時(shí)間可用下表表示：路程s（km）25102040100時(shí)間t（min）12.55102050(1) 說(shuō)出自變量，因變量；(2) 當(dāng)汽車(chē)行駛路程s為20km時(shí)所花的時(shí)間t是多少分鐘？(3) 從表中說(shuō)出路程s隨時(shí)間t變化的趨勢(shì)；(4) 按照這一行駛規(guī)律估計(jì)當(dāng)路程s=400

6、km時(shí)，所需時(shí)間t是多少分鐘？變式2. 在一次試驗(yàn)中，小明把一根彈簧的上端固定，在其下端懸掛物體，下面是測(cè)得的彈簧長(zhǎng)度y（cm）與所掛物體質(zhì)量x(kg)的幾組對(duì)應(yīng)值。所掛物體質(zhì)量x(kg)012345彈簧長(zhǎng)度y（cm）182022242628（1）上表反映哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？（2）當(dāng)所掛重物為3kg時(shí)，彈簧多長(zhǎng)？不掛重物時(shí)呢？（3）若所掛重物為7kg時(shí)（在允許范圍內(nèi)），你能說(shuō)出此時(shí)的彈簧長(zhǎng)度嗎？變式3.心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x（單位：分）之間有如下關(guān)系（其中）：提出概念所用時(shí)間（x）257101213141720對(duì)概念的接受能力（

7、y）47.853.556.35959.859.959.858.355（1）上表中反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？那個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為提出概念所用時(shí)間為幾分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？（3）從表格中可知，當(dāng)提出概念所用時(shí)間x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？當(dāng)提出概念所用時(shí)間x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步降低？（4）根據(jù)表格大致估計(jì)當(dāng)提出概念所用時(shí)間為23分鐘時(shí)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力是多少小結(jié)：考點(diǎn)3.關(guān)系式法表示變量之間的關(guān)系 例3.一輛汽車(chē)油箱內(nèi)有油48升，從某地出發(fā)，每行駛1km，耗油0.6升，如果設(shè)剩油量為y（升），行駛路程為x(km).(1) 上

8、述的哪些量發(fā)生變化？自變量和因變量分別是什么？(2) 寫(xiě)出y與x之間的關(guān)系式；(3) 用表格表示汽車(chē)從出發(fā)地行駛10km、20km、30km、40km、50km時(shí)的剩油量；(4) 根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)說(shuō)明剩油量是怎樣隨著路程的變化而變化的；(5) 這輛汽車(chē)行駛35km時(shí)，剩油多少升？汽車(chē)剩油12升時(shí)，行駛了多少千米？(6) 請(qǐng)你估計(jì)這車(chē)在中途不加油的情況下最遠(yuǎn)能運(yùn)行多少千米？變式1.有一種粗細(xì)均勻的電線，為了確定其長(zhǎng)度，從一捆上剪下1米，稱(chēng)得它的質(zhì)量是60克。（1）寫(xiě)出這種電線長(zhǎng)度與質(zhì)量之間的關(guān)系式；（2）如果一捆電線剪下1米后的質(zhì)量是b(千克)，請(qǐng)寫(xiě)出每捆電線的總長(zhǎng)度。變式2.某市出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)

9、如下：3km以?xún)?nèi)（含3km）收費(fèi)8元；超過(guò)3km的部分每千米收費(fèi)1.6元（1）寫(xiě)出應(yīng)收費(fèi)用y（元）與出租車(chē)行駛路程x（km）之間的關(guān)系式（其中）（2）小亮乘出租車(chē)行駛4km，應(yīng)付多少元？（3）小波付車(chē)費(fèi)16元，那么出租車(chē)行駛了多少千米？小結(jié)：考點(diǎn)4.圖像法表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系例4.如圖65所示的曲線表示某人騎一輛自行車(chē)時(shí)離家的距離與時(shí)間的關(guān)系騎車(chē)者九點(diǎn)離開(kāi)家，十五點(diǎn)回家根據(jù)這個(gè)曲線圖，回答下列問(wèn)題：(1)到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方是什么時(shí)間?離家多遠(yuǎn)?(2)何時(shí)開(kāi)始第一次休息?休息多長(zhǎng)時(shí)間?(3)第一次休息時(shí)離家多遠(yuǎn)?(4)11:00到12:00他騎了多少千米?(5)他在9:00到10:00和10:

10、00到10:30的平均速度是多少?(6)他在何時(shí)至何時(shí)停止前進(jìn)并休息用午餐?(7)他在停止前進(jìn)后返回，騎了多少千米?返回時(shí)的平均速度是多少?變式1.某種洗衣機(jī)在洗滌衣服時(shí)，經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)的過(guò)程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量（升）與時(shí)間（分鐘）之間的關(guān)系如折線圖所示. 根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：（1）洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是多少分鐘？清洗時(shí)洗衣機(jī)中水量的多少升？（2）已知洗衣機(jī)的排水速度為每分鐘19升。求排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量（升）與時(shí)間（分鐘）與之間的關(guān)系式；如果排水時(shí)間為2分鐘，求排水結(jié)束時(shí)洗衣機(jī)中剩下的水量。 變式2.如圖，表示一騎自行車(chē)者與一騎摩托車(chē)者沿相同路線由甲地到

11、乙地行駛過(guò)程的圖象，兩地間的距離是100千米，請(qǐng)根據(jù)圖象回答或解決下面的問(wèn)題.（1）誰(shuí)出發(fā)的較早？早多長(zhǎng)時(shí)間？誰(shuí)到達(dá)乙地早？早到多長(zhǎng)時(shí)間？（2）兩人在途中行駛的速度分別是多少？（3）指出在什么時(shí)間段內(nèi)兩車(chē)均行駛在途中；在這段時(shí)間內(nèi)，自行車(chē)行駛在摩托車(chē)前面；自行車(chē)與摩托車(chē)相遇；自行車(chē)行駛在摩托車(chē)后面？小結(jié)：過(guò)關(guān)檢測(cè)一.填空題1.在變化過(guò)程中，我們把變化著的量叫做變量，其中一個(gè)叫_，一個(gè)叫_.2.若某長(zhǎng)方體底面積是60，高為hcm，則體積V與h的關(guān)系式為_(kāi)若h從1cm變化到10cm時(shí)，長(zhǎng)方體的體積由_變化到_.3.小明用40元錢(qián)購(gòu)買(mǎi)5元/件的某商品，則他剩余的錢(qián)y（元）與購(gòu)買(mǎi)這種商品的件數(shù)x（件）

12、之間的關(guān)系式為_(kāi).4.某文具商店進(jìn)一批精制的數(shù)學(xué)練習(xí)本，銷(xiāo)售數(shù)量與銷(xiāo)售價(jià)格如下表：數(shù)量/本123456售價(jià)/元1.22.43.64.86.07.2（1）小明買(mǎi)10本時(shí)，商店收入為_(kāi)；（2）若用x表示銷(xiāo)售練習(xí)本的數(shù)量，y表示銷(xiāo)售額，則y與x的關(guān)系式為_(kāi)；（3）在這個(gè)變化過(guò)程中，自變量是_，因變量是_；（4）小明買(mǎi)10本比小強(qiáng)買(mǎi)5本需多付_元錢(qián).5.已知兩個(gè)變量x、y，滿(mǎn)足3x-2y=4，則y=_（用含x的代數(shù)式表示），x=_（用含y的代數(shù)式表示）.6.已知關(guān)系式y(tǒng)=kx-2，當(dāng)自變量x=-2時(shí)，因變量y=4，則當(dāng)因變量y=7時(shí)，自變量x的值是_.7.一個(gè)小球由靜止在一個(gè)斜坡上向下滾動(dòng)，通過(guò)儀器觀

13、察測(cè)得小球滾動(dòng)的距離s（m）與時(shí)間t（s）的數(shù)據(jù)如下表，則s與t的關(guān)系式為_(kāi).時(shí)間t/s1234距離s/ms（m）50020010 50 60 t（min） 8.“龜兔賽跑”是同學(xué)們熟悉的寓言故事，如圖表示路程s與時(shí)間t之間的關(guān)系，那么知道：（1）賽跑中，兔子共睡了_min；（2）烏龜在這次賽跑中的平均速度為_(kāi)m/min.二.選擇題：1.一輛汽車(chē)以30千米/時(shí)的速度行駛，下面有關(guān)行駛的路程s（千米）與行駛的時(shí)間t（時(shí)）之間的關(guān)系（）A.路程、時(shí)間、速度都是變量 B.路程s隨時(shí)間t的增大而減小C.s=30t D.當(dāng)行駛的時(shí)間為10小時(shí)時(shí),行駛的路程為3千米2.一種豆子的總售價(jià)y（元）與所售豆子的

14、質(zhì)量x（千克）之間有如下關(guān)系：x（千克）00.511.522.533.5y （元）01234567則下列有關(guān)敘述中錯(cuò)誤的是( ) A.y=2x B.豆子的質(zhì)量是4.5千克時(shí),豆子的總售價(jià)為8元 C.x是自變量,y是因變量 D.豆子的總售價(jià)隨豆子的質(zhì)量的增大而增大3.拒報(bào)道，某省人均耕地已從1951年的2.93畝減少到1999年的1.02畝，平均每年約減少0.04畝，若不采取措施，繼續(xù)按此速度減下去，若干年后該省將無(wú)地可耕，則該省無(wú)地可耕的情況最早發(fā)生在（）A.2022年 B.2023年 C.2024年 D.2025年4.一游泳池已注滿(mǎn)水，現(xiàn)按一定的速度將水排盡，然后進(jìn)行清洗，再按相同的速度注滿(mǎn)

15、清水，使用一段時(shí)間后又按相同的速度將水排盡，則游泳池存水量V（米）與時(shí)間t（時(shí)）的大致圖象為（）t0VAt0VBt0VCt0VDAt0sDt0sCt0sBt0s5.小明早上700出發(fā)到社區(qū)做好事，開(kāi)始勻速步行，后碰到小亮，小明便停下來(lái)和小亮聊了一會(huì)兒，為了保證能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，他加快了速度，但仍保持勻速步行，如果能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，以下四個(gè)圖象，能準(zhǔn)確描述小明離家的距離與時(shí)間的關(guān)系的是（）6.在物理學(xué)中，導(dǎo)線的電阻隨溫度的變化而變化，有一段導(dǎo)線0時(shí)電阻為5歐姆，溫度每增加1，電阻會(huì)增加0.01歐姆，則電阻R與溫度t的關(guān)系是（） A.R=5+0.01t B.R=5t+0.01 C.R=0.01t D.R=5.

16、01tD時(shí)間溫度C時(shí)間溫度B時(shí)間溫度A時(shí)間溫度7.小紅放學(xué)后幫助奶奶用電飯鍋煮飯，飯熟后拔掉電源，下圖可以近似的刻畫(huà)電飯鍋內(nèi)的溫度隨時(shí)間變化的情況的是（）D0t/時(shí)s/千米C0t/時(shí)s/千米B0t/時(shí)s/千米A0t/時(shí)s/千米8.小紅騎車(chē)去玩，沿直線先前進(jìn)了3千米，然后休息一會(huì)兒，又原路返回0.5千米，再前進(jìn)4.5千米后到達(dá)目的地，那么小紅離起點(diǎn)的路程s（千米）與行駛時(shí)間t（時(shí)）的關(guān)系大致可以是圖中的（）三.解答題：1.一汽車(chē)在公路上行駛，其所走的路程與時(shí)間可用下表表示：路程s（km）25102040100時(shí)間t（min）12.55102050（1）說(shuō)出自變量，因變量；（2）當(dāng)汽車(chē)行駛路程S為

17、20km時(shí)，所花時(shí)間t是多少分鐘？（3）從表中說(shuō)出路程S隨時(shí)間t而變化的趨勢(shì)；（4）按照這一行程規(guī)律，估計(jì)當(dāng)路程S=400km時(shí)，所需時(shí)間t是多少分鐘？2.某廠現(xiàn)有煤180噸，每天需燒5噸，那么剩余煤量y（噸）與燃燒天數(shù)x（天）的關(guān)系可用y=180-5x來(lái)表示.（1）在燃燒的過(guò)程中，自變量和因變量各是什么？（2）當(dāng)燃燒了8天后，剩余煤量是多少?lài)崳浚?）請(qǐng)用表格表示在5，10，15，20，25，30，35天時(shí)，相應(yīng)的剩余煤量y的值燃燒天數(shù)（天）5101520253035剩余煤量（噸）3.下列各情境分別可以用圖中的哪幅圖來(lái)近似刻畫(huà)？（1）一杯敞口放在桌子上的開(kāi)水（水溫與時(shí)間的關(guān)系）_；（2）勻速行

18、駛的火車(chē)（速度與時(shí)間的關(guān)系）_；（3）足球守門(mén)員用腳踢開(kāi)的球（高度與時(shí)間的關(guān)系）_；（4）一面冉冉上升的旗子（高度于時(shí)間的關(guān)系）_.0A0B0D0C3題圖4.某市廣電局與長(zhǎng)江證券公司聯(lián)合推出廣電寬帶網(wǎng)業(yè)務(wù)，用戶(hù)通過(guò)寬帶網(wǎng)可以享受新聞點(diǎn)播、影視欣賞等服務(wù)項(xiàng)目，其上網(wǎng)費(fèi)用有一種方式是如圖所示進(jìn)行交納的，其中y（元）表示每月上網(wǎng)費(fèi)用，x（時(shí)）表示每月上網(wǎng)時(shí)間.（1）若某人5月上網(wǎng)48小時(shí)，則他應(yīng)交多少網(wǎng)費(fèi)？（2）李華在7月出差沒(méi)有在家，那么李華就不必交納上網(wǎng)費(fèi)了，你認(rèn)為呢？（3）請(qǐng)你求出上網(wǎng)時(shí)間若超過(guò)50小時(shí)，超過(guò)后的部分平均每小時(shí)的上網(wǎng)費(fèi)用是多少錢(qián)？y（元） 118 580 50 100 x（時(shí)）4題圖3017100 9 10 11 12 13 15 時(shí)間/時(shí)距離/千米5題圖5.王老師上午9時(shí)騎自行車(chē)離開(kāi)家，15時(shí)回家，他描繪