1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上編號(hào)：南陽(yáng)師范學(xué)院2012屆畢業(yè)生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題 目： 線性方程組的解及其應(yīng)用 目 錄）0）1線性方程組解的結(jié)構(gòu)） ） ） ）9） 0）0）Abstract（11）專心-專注-專業(yè)線性方程組的解及其應(yīng)用作 者：段蘊(yùn)蘊(yùn)指導(dǎo)教師：馬淑云 摘要：介紹線性方程組解的結(jié)構(gòu)及其幾種解法，如初等行變換法，初等列變換法等，通過(guò)對(duì)線性方程的解法的探討，揭示了線性方程組的求解規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上研究了它的應(yīng)用. 關(guān)鍵詞：線性方程組，解的結(jié)構(gòu)，初等行變換法，應(yīng)用0引言線性方程組是高等代數(shù)或基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)組成部分，在整個(gè)數(shù)學(xué)大廈中占據(jù)著重要位置，學(xué)好線性方程組基本理論與方法對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)研究

2、數(shù)學(xué)理論和實(shí)際應(yīng)用均非常重要.對(duì)于線性方程組的初等解法，既是線性方程組理論中有自身特色的部分，也與實(shí)際問(wèn)題密切相關(guān).恰當(dāng)對(duì)初等解法進(jìn)行歸類，能正確而又敏捷地判斷一個(gè)給定的方程屬于何種類型，從而能按照所介紹的方法解題.文獻(xiàn)1-4已經(jīng)有了研究，下面著重討論線性方程組的結(jié)構(gòu)，求解規(guī)律及其在矩陣，多項(xiàng)式，歐式空間及線性空間等幾個(gè)方面的應(yīng)用.1 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 定理15 設(shè)是一個(gè)矩陣，,是滿足的兩矩陣，令.() 是的一基礎(chǔ)解系；() 方程組 （ * ）有解的充分必要條件是；() 若方程組（ * ）有解，則（*）的解的集合.證明 () 因?yàn)椋谑?,其中，為中前列組成的矩陣，于是有中前列,即 ,又線性

3、無(wú)關(guān)，所以()成立.() 令.有上述定理知，方程組（*）有解當(dāng)且僅當(dāng)方程組 （1)有解，并且是（*）的解當(dāng)且僅當(dāng)是（1）的解，顯然方程組（1）有解當(dāng)且僅當(dāng)后的行為，即.() 若（*）有解，即，則，取顯然是（1）的解，故 是方程組（*）的解.因此，方程組（*）的解集合為.上述命題給出了方程組（*）的可解性和解的結(jié)構(gòu)與之間的關(guān)系。有趣的是從命題中還可看出，不但矩陣的后列是相應(yīng)齊次方程組的一基礎(chǔ)解系，而且的前列的一個(gè)線性組合.于是方程組（*）的解集合是矩陣的列空間的一個(gè)子集.特別當(dāng)系數(shù)矩陣固定時(shí)，上述定理給出了一個(gè)任意列向量求解方程的通用公式. 求線性方程組的步驟：第一步 求出可逆矩陣,使； 第二步

4、 檢驗(yàn)的后行是否為零.第三步 若（*）有解令，則寫出（*） 的通解2 線性方程組的解法及相關(guān)結(jié)論 恰當(dāng)分類線性方程組，可以快速求出線性方程組的解，而在求解和探討過(guò)程中，又能得到一些非常重要的相關(guān)結(jié)論。2.1 線性方程組的解法2.1.1 線性方程組的個(gè)數(shù)和未知量的個(gè)數(shù)相等 現(xiàn)在我們來(lái)應(yīng)用行列式解決線性方程組的問(wèn)題，在這里只考慮方程個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相等的情形.以后會(huì)看到，這是一個(gè)重要的情形. 克拉默法則 如果線性方程組 （1）的系數(shù)矩陣 （2）的行列式，那么線性方程組（1）有解，并且解是唯一的，解可以通過(guò)系數(shù)表為其中是把矩陣A中第列換成方程組的常數(shù)項(xiàng)所成的矩陣的行列式. 例1 用克拉默法則求解線

5、性方程組解 方程的系數(shù)行列式，而，從而由克拉默法則知，同理可得 下面介紹齊次線性方程組的解的方法，齊次線性方程組是指常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組.定理26 如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式那么它只有零解，即如果上述方程組有非零解，那么必有. 例2 求在什么條件下，方程組有非零解. 解 如果方程組有非零解，那么系數(shù)行列式所以.不難驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，方程組確有非零解.2.1.2 線性方程組的個(gè)數(shù)和未知量的個(gè)數(shù)不相等 介紹了方程組的個(gè)數(shù)和未知量的個(gè)數(shù)相等的情形，下面來(lái)探討一般的情形.（線性方程組有解判定定理） 線性方程組 （1）有解充分必要條件是它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣 有相同的秩.則有以下結(jié)論：()若秩秩

6、，則方程組（1）無(wú)解；()若秩秩，則方程組（1）有唯一解；()若秩秩<,則方程組（1）有其中一組自由未知量.以下是針對(duì)上述三種情形的三個(gè)舉例： 例3 解線性方程組 解 對(duì)增廣矩陣作初等變換，可得因此秩秩，線性方程組無(wú)解. 例4 解線性方程組 解 對(duì)增廣矩陣作初等變換，可得所以秩=秩=4，線性方程組的解為 例5 解線性方程組 解 對(duì)增廣矩陣作初等變換，可得所以秩=秩=3<4，所以方程組的一般解為其中是自由未知量.2.2 線性方程組解的幾個(gè)結(jié)論 利用矩陣?yán)碚撚懻摼€性方程組的解及解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題是代數(shù)中常用的方法。但利用線性方程組的解來(lái)推導(dǎo)矩陣的一些結(jié)論卻不常見， 下面就試圖利用線性方程組的

7、解來(lái)推導(dǎo)出一些結(jié)論，同時(shí)還可得出線性方程組的一些更進(jìn)一步的結(jié)論.（注：以下部分定理不做詳細(xì)證明，可參考文獻(xiàn)6 ) 定理37 （替換定理）若線性無(wú)關(guān)向量組可由向量組線性表示，則：（1） ；（2）用替換向量的s個(gè)向量（不妨假設(shè)就是前s個(gè)）后得到的新向量組與原來(lái)的向量組等價(jià). 定理48 設(shè)為階矩陣，=，線性無(wú)關(guān)，則分別屬于=的個(gè)解也線性無(wú)關(guān). 證明 設(shè)由構(gòu)成的矩陣X=()的行向量組為；由構(gòu)成的矩陣的行向量為.則由=得可由線性表示.于是秩秩，所以秩=，即得到X的列向量線性無(wú)關(guān).證畢 定理59 設(shè)與是矩陣且秩分別為，的列向量可由的列向量線性表示，則存在秩為（）的矩陣，有. 推論19 設(shè)與是矩陣且秩分別為

8、，的列向量可由的列向量線性表示，則滿足的矩陣的秩最大為最小為.由推論1知道，如果，有，故有： 推論29 設(shè)，則. 定理610 （線性方程組的同解定理）線性方程組與同解的充要條件是只需經(jīng)過(guò)線性方程組的初等變換將線性方程組變?yōu)? 證明 充分性在一般的高等代數(shù)的教材上可查到，下證必要性.由于線性方程組與同解，則與線性方程組同解，秩=秩=秩于是的列向量可以由的列向量線性表示,于是存在階可逆矩陣，使得，也即存在一系列初等矩陣,有即線性方程組可由初等變換變?yōu)榫€性方程組.證畢3 線性方程組解的應(yīng)用 我們?cè)谘芯恳恍﹩?wèn)題時(shí) ,只要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用線性方程組理論,就可以使比較復(fù)雜的研究過(guò)程簡(jiǎn)單化.下面從矩陣?yán)碚摚囗?xiàng)式

9、理論，歐氏空間，線性空間等方面著重來(lái)討論線性方程組理論在高等代數(shù)中解題方面的應(yīng)用.3.1 在矩陣?yán)碚撝械膽?yīng)用 在矩陣的研究過(guò)程中，線性方程組理論有著舉足輕重的地位，可以使矩陣?yán)碚摰哪承┙?jīng)典結(jié)論得到很好證明. 例6 設(shè)為矩陣，為矩陣，若,則. 證明 因?yàn)椋缘膫€(gè)列向量都是齊次線性方程組的解向量，則的基礎(chǔ)解系中恰有個(gè)解向量，所以，故. 例7 設(shè)為實(shí)矩陣，證明. 證明 構(gòu)造齊次線性方程組，于是；反之由 可得，即，因?yàn)闉閷?shí)矩陣，為實(shí)維列向量，所以.即方程組與同解，故.3.2 在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用 多項(xiàng)式在實(shí)際應(yīng)用中，往往需要借助線性方程組的理論，并在后者基礎(chǔ)上進(jìn)行展開和求解. 例8 若，這里的為實(shí)系

10、數(shù)多項(xiàng)式，求證=0，其中 證明 設(shè)的5個(gè)根為，記.由假設(shè)可得 （*）再由范德蒙德行列式知（*）的系數(shù)行列式不等于零.從而，其中3.3 在歐氏空間上的應(yīng)用 歐式空間是高等代數(shù)的重要組成部分，充分借助線性方程組的理論，可以使歐式空間的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性方程組的問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化. 例9 在中按通常內(nèi)積定義求一單位向量與三個(gè)向量正交. 解 一個(gè)向量同三個(gè)向量正交的充分必要條件是是方程組的非零解,易知此方程組系數(shù)矩陣的秩是3.令=4得即為所求.3.4 在線性空間理論上的應(yīng)用 線性方程組和線性空間的關(guān)系不言自明，解決線性空間的問(wèn)題需要恰當(dāng)?shù)氖褂镁€性方程組的有關(guān)理論. 例10 設(shè)為矩陣，為矩陣且,則.

11、證明 把矩陣分塊為：則，從而,其中是的解空間.從而，即. 例11 若是階方陣，且，則. 證明 因,且由得,從而由例10知左邊，顯然左邊，即. 另外，線性方程組在矩陣、廣義逆矩陣、線性變換等問(wèn)題的解決中都有很重要的作用,本文不再一一詳述.參 考 文 獻(xiàn)1 李向朝.用列初等變換求解線性方程組J.洛陽(yáng)農(nóng)業(yè)高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2002,22（1）：44-45.2 杜祥林，周興建.齊次線性方程組解空間理論在解題上的應(yīng)用J.重慶山峽學(xué)院晚報(bào)，2008,24（3）:136-138.3 王秀珍，李國(guó)義，羅敏.線性方程組的一種新解法J.大慶石油學(xué)院學(xué)報(bào)，1997,10（6）：101-104.4 范玉軍，李桂榮.齊

12、次線性方程組解得研究J.德州師專學(xué)報(bào)，2000,16（2）：16-17.5 周尚啟.線性方程組的結(jié)構(gòu)J.高等數(shù)學(xué)研究.2005,8（3）:56-57.6 呂榮生.由基礎(chǔ)解系構(gòu)造線性方程組的方法研討J.西安聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào).2004,7（5）：33-35.7 鄒國(guó)成.關(guān)于線性方程組的解的幾個(gè)結(jié)論J.樂(lè)山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005,20（5）:16-17.8 宋杰.利用線性方程組證明矩陣秩的有關(guān)問(wèn)題J.韶關(guān)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010,31（12）：1-3.9 徐德余.線性方程組理論在高等代數(shù)中的應(yīng)用J.綿陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008,27（11）：5-11.10北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社，2003. Method and Application of Linear Equation QIN Yu-pengAbstract: Describing several solutions to solve linear equations, such as the row transformation, column transformation, etc., in the learning process, through the solution for different types of