1、 3.2.3直線與平面的夾角異面直線所成角的范圍：異面直線所成角的范圍： 0,2ABCD1D, 與 的關系？CD AB, 與 的關系？DC AB結論：結論：cos|cos,| a b|一、線線角：一、線線角： ab，ab，設直線的方向向量為 ，的方向向量為CAaBbDaabb當直線與平面垂直時，當直線與平面垂直時，直線與平面所成的角直線與平面所成的角是是90當直線在平面內或與當直線在平面內或與平面平行時，直線與平面平行時，直線與平面所成的角是平面所成的角是0斜線與平面所成的角斜線與平面所成的角平面的一條斜線平面的一條斜線和它在這個平面內的射影和它在這個平面內的射影所成的所成的銳角銳角AOB二、

2、線面角二、線面角斜線與平面所成的角斜線與平面所成的角( 0, 90)直線與平面所成的角直線與平面所成的角 0, 90異面直線所成的角異面直線所成的角( 0, 90若斜線段若斜線段AB的長度是它在平面的長度是它在平面內的射影內的射影長的長的2倍，則倍，則AB與與所成的角為所成的角為 。60ABOAOBM如圖如圖,直線直線OA與平面與平面所成的角為所成的角為 1,平面內一條直線平面內一條直線OM與與OA的射影的射影OB所成的角為所成的角為 2,設設AOM為為 求證求證:cos = cos 1 cos 2最小角原理最小角原理AOBM斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個平斜線與平面所成的角，是這條斜線

3、和這個平面內的直線所成的一切角中面內的直線所成的一切角中最小的角最小的角。若直線若直線 l1與平面所成的角為與平面所成的角為60 ，則這條直線與，則這條直線與平面內的直線所成的一切角中最小的角為平面內的直線所成的一切角中最小的角為 ，最大的角為最大的角為 。9060Ol1例例1 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中，中，求求A1B與平面與平面A1B1CD所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1O2n BA ，直線與平面所成角的范圍： 0,2ABO, 設平面 的法向量為 ，則與 的關系？nn BA思考：思考：結論：結論：sin 二、線面角：二、線面角： nnBAAB2n B

4、A ，ABnBAn,cos,cos例1： 1111ABCDABC D的棱長為1.111.B CAB C求與 面所 成 的 角正方體ABCD1A1B1C1Dxyz(0 0 0)A ， ，1(101)B， ，(110)C ， ，以以A為坐標原點建立空間直角坐標系，為坐標原點建立空間直角坐標系，1AB AD AA ， ，為單以以1(101)(110)ABAC ， ， ，1(111)C， ，11(010)BC 則， ，1()ABCnxyz設為， ，平平面面的的法法向向量量100n ABn AC 則，0=10= -1xzxyn =(1 -1 -1)， ， ，xyz所所以以取取得得故故位位正正交交基基底底

5、，可可得得110 1 03cos313n BC ，1113所以與面所成的角的正弦值為。3BCABC例例 2 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面中，底面ABCD為平為平行四邊形，側面行四邊形，側面SBC 底面底面ABCD。已知。已知 AB=2，BC= 2 ，SA=SB= .(1)求證求證 (2)求直線求直線SD與平面與平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。045ABC3.SABCSABCDOxyz2SABDOC02 222452BCOBABABCOA則由得，又，得證明：證明：(1)取取BC中點中點O，連接，連接OA、OS。090AOBAOBC即SBCABCDAOABCDSBCA

6、BCDBCAOSBC又平面平面，平面且平面平面，平面 231AOSOAO=SASO。又，22202390OBSBSBSOOBSOB又，BCSOBCAOSOAOOBCSOABCSA，平面，(2)求直線求直線SD與平面與平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。(1)SOOABCOAOBOS解：由知，兩兩垂直。故以、為正交基底建立空間直角坐標系如圖。則SABCOxyzD(0 01)( 2 -2 2 0)( 2 0 0)(02 0)SDAB， ， ， ，( 22 21)( 2 01)(021)SDSASB ， ， ， ， ， ()SABnxyz設平面的一個法向量為， ， ，則2000220 xzn

7、SAn SBzyz ，得取得(112)SABn 平面的一個法向量為， ，則22cos11SDn ，所以直線所以直線SD與平面與平面SAB所成角的正弦值為所成角的正弦值為2211例例3、如圖所示，在四棱錐、如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，側棱正方形，側棱PD 底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的中的中點。點。(1)證明：證明：PA/平面平面EDB；(2)求求EB與底面與底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)證明：設正方形邊長為證明：設正方形邊長為1，則，則PD=DC=DA=1.連連AC、BD交于交于G

8、點點DADC DP 以， ， 為正交基底建立空間直角坐標系。如圖所示。則(0 0 0)(0 01)(10 0)(010)(110)DPACB， ， ， ， ， ，(101)PA ， ，1 1(0)2 2EPCE又 為中點，點坐標為 ，1 1(0)2 2GBDG 為中點，點坐標為，11(0)22EG ， ，2/PAEGPAEGPAEGPAEG 可得。因為與不共線，所以/PAEDBEGEDBPAEDB又平面，平面平面(2)求求EB與底面與底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz(1)(0 0 0)(0 01)1 1(110)(0)2 2DPBE由知， ， ， ， ，PD

9、ABCDPDABCD 解：因為平面，所以是平面的法向量。11(0 01)(1)22PDEB ， ， ，10062cos6312PD EB ，所以所以EB與底面與底面ABCD所成的角的正弦值為所成的角的正弦值為66所以所以EB與底面與底面ABCD所成的角的正切值為所成的角的正切值為55所以 與 所成角的余弦值為A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以點C為坐標原點建立空間直角坐標 系 ,如圖所示，設 則： Cxyz11CC(1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0,1),( ,1)22 2FD所以：11(,0,1),2 AF111( ,1)22 BD11cos, AF BD1111| AF BDAFBD113041053421BD1AF3010例一：例一：090 ,中，現將沿著Rt ABCBCAABC平面的法向量ABC1，BCCACC11求與所成的角的余弦值.BDAF111平移到位置，已知ABC1111取、的中ABAC111111取、的中點、 ，ABACDF練習：練習：在長方體 中，1111ABCDABC D58,ABAD=