1、5.1 二項(xiàng)式定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.掌握二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式.3.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.問(wèn)即導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)二項(xiàng)式定理思考1我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了（a+b）2=a2+2ab+b2,試用多項(xiàng)式的乘法推導(dǎo)（a+b）3,（a+b）4的展開(kāi)式.思考2上述兩個(gè)等式的右側(cè)有何特點(diǎn)?思考3能用類(lèi)比方法寫(xiě)出（a+b）n（nCN）的展開(kāi)式嗎?梳理二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理公式（a+b）n=_,稱(chēng)為二項(xiàng)式定理一項(xiàng)展開(kāi)式等號(hào)右邊的式子叫作（a+b）n的二項(xiàng)展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)各項(xiàng)的系數(shù)叫作二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式通項(xiàng)式中叫作二項(xiàng)展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)，又叫作二項(xiàng)式通項(xiàng)在二項(xiàng)式定理中，若

2、a=1,b=x,則（1+x）n=1+dx+C2x2+Cnxr+xn.題型探究類(lèi)型一二項(xiàng)式定理的正用、逆用1例1（1）求（3加+）的展開(kāi)式.x引申探究,一，一15,一，、將本例(1)改為求(2x-2)的展開(kāi)式.x(2)化簡(jiǎn)：C?(x+1)n-C1(x+1)n1+C2(x+1)n2-+(1)kd(x+1)nk+(-1)nCn.反思與感悟(1)(a+b/的二項(xiàng)展開(kāi)式有n+1項(xiàng)，是和的形式，各項(xiàng)的哥指數(shù)規(guī)律是：各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.字母a按降哥排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0；字母b按升哥排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.(2)逆用二項(xiàng)式定理可以化簡(jiǎn)多項(xiàng)式，體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知

3、多項(xiàng)式的特點(diǎn)，向二項(xiàng)展開(kāi)式的形式靠攏.跟蹤訓(xùn)練1化簡(jiǎn)(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)1.類(lèi)型二二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用命題角度1二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)例2已知二項(xiàng)式(36舄)10.(1)求展開(kāi)式第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù);(2)求展開(kāi)式第4項(xiàng)的系數(shù)；求第4項(xiàng).反思與感悟(1)二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)4(rC0,1,2,，n),它與二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)式展開(kāi)式中“項(xiàng)的系數(shù)”這兩個(gè)概念.(2)第r+1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號(hào)，而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cn.例如，在(1+2x)7的展開(kāi)式中，第四項(xiàng)是T4=C313

4、(2x)3,其二項(xiàng)式系數(shù)是C3=35,而第四項(xiàng)的系數(shù)是C723=280.跟蹤訓(xùn)練2已知、僅一2n展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)的系數(shù)大162.x(1)求n的值；(2)求展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)，并指出該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).命題角度2展開(kāi)式中的特定項(xiàng)3,3例3已知在Nx一hn的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).求n；-.2-(2)求含x的項(xiàng)的系數(shù);(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).反思與感悟(1)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常見(jiàn)題型求第r項(xiàng)，Tr=cnar+1br.求含xr的項(xiàng)(或xpyq的項(xiàng)).求常數(shù)項(xiàng).求有理項(xiàng).(2)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常用方法來(lái)求解.對(duì)于二項(xiàng)展開(kāi)式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，

5、求解方式與求有理項(xiàng)一致.跟蹤訓(xùn)練3(1)若xa9的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是一84,則a=x(2)已知n為等差數(shù)列一4,2,0,的第六項(xiàng)，則當(dāng)堂訓(xùn)練1.(x+2)8的展開(kāi)式中x6的系數(shù)是()A.28對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng)).對(duì)于有理項(xiàng)，一般是先寫(xiě)出通項(xiàng)公式,其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng).解這類(lèi)問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性2n.一一(x+Q的二項(xiàng)展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是B.56C.112D.2242.二項(xiàng)式（x+戈）12的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第8項(xiàng)D.第9項(xiàng),a53.已知的展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為3

6、0,則a等于（）A.66B.3C.3D.64.1一2G+4Cn-8G+16G+（一2）G的值為（）A.1B.-1C.（1）nD.3n5.（qx+-2-）n展開(kāi)式第9項(xiàng)與第10項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等，求x的一次項(xiàng)系數(shù).規(guī)律與方法求展開(kāi)式的一些特殊項(xiàng)，通常都是由題意列方程求出r,再求所需的某項(xiàng)；有時(shí)需先求計(jì)算時(shí)要注意n和r的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系.n,問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思考1(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.思考2(a+b)3的展開(kāi)式有4項(xiàng)，每項(xiàng)的次數(shù)是3；(a+b)4的展開(kāi)式有5項(xiàng)，每一項(xiàng)的次數(shù)為4.思考3能，(a+b)n=dan

7、+danTb+Ckankbk+Cnbn(nCN+).梳理C0an+danTb+Carbr+CnbnCn(r=0,1,2,，n)cnanrbr題型探究)4=(35)4+C4(3力)3(3)+C2(3爪)2(已)2+C3(3X)(Jx)3+d(T4=81x2+108X+54+方法二(3浜十七)4=(妾)4=工(1+3X)4=1+&3x+c4(3x)2+C3(3x)3+C4(3x)4=工(1+12x+54x2+108x3+81x4)=XXXL+12+54+108X+81X2.XX(2)解原式=Y(x+1)n+(x+1)nT(1)+C(X+1)n2(1)2+Ck(x+1)1(1)k+C(1)n

8、=(X+1)+(-1)n=xn.引申探究解方法一(2X二)5=C5(2X)5C5(2X)44+C5(2X)3(42C3(2x)2(2)3+dXXXX(2X).(4)4C5(2)5=32X580X2+80空+104.XXXXXX15135135113232333萬(wàn)法二(2Xq)=f(2X1)=-，(1-2X)=-X101-C5(2X)+C5(2X)-C5(2X)+C4(2x3)4C5(2x3)5=4G+&一空+以一80X2+32x5.XXXX跟蹤訓(xùn)練1解原式=C0(2x+1)5C1(2x+1)4+C2(2x+1)3C5(2X+1)2+C5(2X+1)-C(2X+1)=(2X+1)15=(

9、2X)5=32X5.答案精析例1(1)解方法一(3近十121一十XX由題意得,102r3CZ,0k10,kCZ.例2解(3水一5)10的展開(kāi)式的通項(xiàng)是T+1=%(3浜)10(2)=210_2Co310r(3)rx(r=0,1,2,10).(1)展開(kāi)式的第4項(xiàng)(r=3)的二項(xiàng)式系數(shù)為C30=120.(2)展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)為3723C03(3)=-77760.展開(kāi)式的第4項(xiàng)為T(mén)4=T3+1=77760審.跟蹤訓(xùn)練2解(1)因?yàn)門(mén)3=2n3Ta=d(W)n1-=2cnx2x依題意得4C2+2Cn=162,所以2C2+d=81,所以n2=81,n=9.(2)設(shè)第r+1項(xiàng)含x3項(xiàng)，則Tr+1=c9(Wr-2rx93r=(-2)rc9x2,一9-3r所以一2=3,二項(xiàng)式系數(shù)為C9=9.例3解通項(xiàng)公式為nrrTr+1=Cnx3(-3)rx3n2r=d(-3)rx.(1).第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)r=5時(shí)，有2=0,即n=10._n-2r_1_(2)令二一=2,得r=Jn6)=2,，所求的系數(shù)為d。(一3)2=405.所以第二項(xiàng)為含x3的項(xiàng)，T2=2d)x3=18x3.3.則10-2r=3t,即k=5/t.rCZ,.t應(yīng)為偶數(shù).令t=2,0,2,即k=2,5,8.第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為405x2,61236,295245跟蹤訓(xùn)練3(1