1、精選優質文檔-傾情為你奉上高中數學橢圓的知識總結1.橢圓的定義：平面內一個動點P到兩個定點的距離之和等于常數（），這個動點P的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.注意：若，則動點P的軌跡為線段；若，則動點P的軌跡無圖形.（1）橢圓：焦點在軸上時（）（參數方程，其中為參數），焦點在軸上時1（）。2. 橢圓的幾何性質：（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2； 離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。（2）.點與橢圓的位置關系：點在橢圓外；點在橢圓上1；點在橢圓內3直線

2、與圓錐曲線的位置關系：（1）相交：直線與橢圓相交；（2）相切：直線與橢圓相切； （3）相離：直線與橢圓相離； 如:直線ykx1=0與橢圓恒有公共點，則m的取值范圍是_；4.焦點三角形（橢圓上的一點與兩焦點所構成的三角形）5.弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則，若分別為A、B的縱坐標，則，若弦AB所在直線方程設為，則。6.圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；如（1）如果橢圓弦被點A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是 ；（2）已知直線y=x+1與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的

3、中點在直線L：x2y=0上，則此橢圓的離心率為_；（3）試確定m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點關于直線對稱； 特別提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗！ 橢圓知識點的應用1.如何確定橢圓的標準方程？ 任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當且僅當橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：兩個定形條件；一個定位條件焦點坐標，由焦點坐標的形式確定標準方程的類型。2.橢圓標準方程中的三個量的幾何意義橢圓標準方程中，三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身

4、的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數，且三個量的大小關系為：，且。可借助右圖理解記憶： 恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3如何由橢圓標準方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看，的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。4方程是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以只有A、B、C同號，且AB時，方程表示橢圓。當時，橢圓的焦點在軸上；當時，橢圓的焦點在軸上。5求橢圓標準方程的常用方法：待定系數法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數的值

5、。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據定義確定方程。6共焦點的橢圓標準方程形式上的差異共焦點，則c相同。與橢圓共焦點的橢圓方程可設為，此類問題常用待定系數法求解。7判斷曲線關于軸、軸、原點對稱的依據： 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關于軸對稱； 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關于軸對稱； 若把曲線方程中的、同時換成、，方程不變，則曲線關于原點對稱。8如何求解與焦點三角形PF1F2（P為橢圓上的點）有關的計算問題？ 思路分析：與焦點三角形PF1F2有關的計算問題時，常考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結

6、合的方法進行計算解題。將有關線段，有關角 ()結合起來，建立、之間的關系. 9如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關系？長軸與短軸的長短關系決定橢圓形狀的變化。離心率，因為，用表示為。顯然：當越小時，越大，橢圓形狀越扁；當越大，越小，橢圓形狀越趨近于圓。題型1:橢圓定義的運用例1.已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點若，則_.例2.如果方程表示焦點在x軸的橢圓，那么實數k的取值范圍是_.例3.已知為橢圓上的一點，分別為圓和圓上的點，則的最小值為 題型2： 求橢圓的標準方程 例1、求滿足下列各條件的橢圓的標準方程. (1) 經過兩點； (2)經過點(2，3)且與橢圓具有共同的焦點；(3)

7、一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為4.題型3:求橢圓的離心率例1、中，若以為焦點的橢圓經過點，則橢圓的離心率為 .例2、過橢圓的一個焦點作橢圓長軸的垂線交橢圓于P，若 為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為 題型4:橢圓的其他幾何性質的運用（范圍、對稱性等）例1.已知實數滿足,則的范圍為 例2.已知點是橢圓（）上兩點,且,則= 題型5：焦點三角形問題例1.已知為橢圓的兩個焦點，p為橢圓上的一點，已知為一個直角三角形的三個頂點，且,求的值.例2.已知為橢圓C:的兩個焦點，在C上滿足的點的個數為 .例3.已知橢圓的焦點是,且離心率 求橢圓的方程; 設點P在橢圓上,且,

8、求cos.題型6: 三角代換的應用例1.橢圓上的點到直線l:的距離的最小值為_例2.橢圓的內接矩形的面積的最大值為 題型7：直線與橢圓的位置關系的判斷例1.當為何值時，直線與橢圓相交？相切？相離？例2.若直線與橢圓恒有公共點，求實數的取值范圍； 題型8：弦長問題例1.求直線被橢圓所截得的弦長. 例2.已知橢圓的左右焦點分別為F1,F2，若過點P（0，-2）及F1的直線交橢圓于A,B兩點，求ABF2的面積； 題型9：中點弦問題例1. 求以橢圓內的點A（2，-1）為中點的弦所在的直線方程。例2.中心在原點，一個焦點為的橢圓截直線 所得弦的中點橫坐標為，求橢圓的方程例3.橢圓與直線 相交于A、B兩點

9、，點C 是AB的中點若 ，OC的斜率為 （O為原點），求橢圓的方程鞏固訓練1. 如圖,橢圓中心在原點,F是左焦點,直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為 2.設為橢圓的兩焦點，P在橢圓上，當面積為1時，的值為 3.橢圓的一條弦被平分,那么這條弦所在的直線方程是 4. 若為橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點,若, 則此橢圓的離心率為 5.在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為2c，以O為圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率= 雙曲線基本知識點雙曲線標準方程（焦點在軸）標準方程（焦點在軸）定義定義：平面內與兩個定點，的距離的差的絕對值是常數（小于）的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦

10、點，兩焦點的距離叫焦距。PP范圍，對稱軸軸 ，軸；實軸長為,虛軸長為對稱中心原點焦點坐標 焦點在實軸上，；焦距：頂點坐標（,0） (,0)(0, ,) (0，)離心率漸近線方程 共漸近線的雙曲線系方程（）（）直線和雙曲線的位置雙曲線與直線的位置關系：利用轉化為一元二次方程用判別式確定。二次方程二次項系數為零直線與漸近線平行。相交弦AB的弦長補充知識點：等軸雙曲線的主要性質有：（1）半長=半虛軸長（一般而言是a=b，但有些地區教材版本不同，不一定用的是a,b這兩個字母）；（2）其標準方程為，其中；（3）離心率；（4）：兩條漸近線 y=±x 互相垂直；例題分析：例1、動點與點與點滿足，則

11、點的軌跡方程為（） 同步練習一:如果雙曲線的漸近線方程為，則離心率為（）或例2、已知雙曲線的離心率為，則的范圍為（）同步練習二:雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為例3、設是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為，分別是雙曲線的左、右焦點，若，則的值為同步練習三:若雙曲線的兩個焦點分別為，且經過點，則雙曲線的標準方程為。例4、下列各對曲線中，即有相同的離心率又有相同漸近線的是（ ）(A)-y2=1和-=1 (B)-y2=1和y2-=1(C)y2-=1和x2-=1 (D)-y2=1和-=1同步練習四:已知雙曲線的中心在原點，兩個焦點分別為和，點在雙曲線上且，且的面積為1，則雙曲線的方程

12、為（） 例5、與雙曲線有共同的漸近線，且經過點A的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是（ ） （A）8 （B）4 （C）2 （D）1同步練習五:以為漸近線，一個焦點是F（0，2）的雙曲線方程為_.例6、下列方程中，以x±2y=0為漸近線的雙曲線方程是 (A)同步練習六:雙曲線8kx2-ky2=8的一個焦點是(0，3)，那么k的值是 例7、經過雙曲線的右焦點F2作傾斜角為30°的弦AB，（1）求|AB|.（2）F1是雙曲線的左焦點，求F1AB的周長同步練習七過點（0，3）的直線l與雙曲線只有一個公共點，求直線l的方程。高考真題分析1.【2012高考新課標文10】等軸雙曲線的中

13、心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，；則的實軸長為（ ） 2.【2012高考山東文11】已知雙曲線：的離心率為2.若拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為 (A) (B) (C)(D)3.【2012高考全國文10】已知、為雙曲線的左、右焦點，點在上，則（A） （B） （C） （D）4.（2011年高考湖南卷文科6)設雙曲線的漸近線方程為則的值為（ ）A4 B3 C2 D1 5.【2012高考江蘇8】（5分）在平面直角坐標系中，若雙曲線的離心率為，則的值為 拋物線拋物線xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定義平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物

14、線，點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線。=點M到直線的距離范圍對稱性關于軸對稱關于軸對稱焦點(,0)(,0)(0,)(0,)焦點在對稱軸上頂點離心率=1準線方程準線與焦點位于頂點兩側且到頂點的距離相等。頂點到準線的距離焦點到準線的距離焦半徑焦 點弦 長焦點弦的幾條性質oxFy以為直徑的圓必與準線相切若的傾斜角為，則若的傾斜角為，則 切線方程1、直線與拋物線的位置關系直線，拋物線，由，消y得：（1）當k=0時，直線與拋物線的對稱軸平行，有一個交點；（2）當k0時，0，直線與拋物線相交，兩個不同交點； =0， 直線與拋物線相切，一個切點； 0，直線與拋物線相離，無公共點。（3） 若直線與拋物線只有一個公共點,則直線與拋物線必相切嗎?（不一定）1、 關于直線與拋物線的位置關系問題常用處理方法直線： 拋物線，聯立方程法： 設