1、萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)萬有引力定律現(xiàn)在大家公認(rèn)是牛頓發(fā)現(xiàn)的，連小學(xué)生也知道牛頓在蘋果樹下休息，看見蘋果落地而想到萬有引力的故事。但它的發(fā)現(xiàn)豈只是看見蘋果落地這么簡(jiǎn)單？萬有引力公式：這個(gè)公式與庫侖定律有著驚人的相似之處。G 為萬有引力常量，由英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許首先在實(shí)驗(yàn)室測(cè)出其大小。在牛頓的時(shí)代， 一些科學(xué)家已經(jīng)有了萬事萬物都有引力的想法。而且牛頓和胡克 （即發(fā)明了顯微鏡并用顯微鏡觀察到細(xì)胞結(jié)構(gòu)的羅伯特虎克） 曾經(jīng)為了萬有引力的發(fā)現(xiàn)優(yōu)先權(quán)發(fā)生過爭(zhēng)論，有資料表明， 萬有引力概念由胡克最先提出， 但由于胡克在數(shù)學(xué)方面的造詣遠(yuǎn)不如牛頓，不能解釋行星的橢圓軌道，而牛頓不僅提出了萬有引力和距離的平方成正比，

2、而且圓滿的解決了行星的橢圓軌道問題，萬有引力的優(yōu)先發(fā)現(xiàn)權(quán)自然歸屬牛頓。正如牛頓所說他是站在巨人的肩膀上。萬有引力發(fā)現(xiàn)前的準(zhǔn)備開普勒有著不可磨滅的貢獻(xiàn)。開普勒是德意志的天文學(xué)家，幼年患猩紅熱導(dǎo)致視力不好，后來有幸結(jié)識(shí)弟谷，一年后弟谷過世，把他一生的天文觀測(cè)資料留給了開普勒。在此基礎(chǔ)上，開普勒經(jīng)過20 年的計(jì)算和整理于1609 年發(fā)表了行星運(yùn)動(dòng)的第一、第二定律。后來又經(jīng)過十年又發(fā)表了行星運(yùn)動(dòng)的第三定律。牛頓老年在回憶過去的時(shí)候有這樣的話：同年（ 1666 年）我開始把引力與月亮軌道聯(lián)系起來并找出如何估計(jì)一個(gè)天體在球體內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)用來趨向球面的力的方法。根據(jù)開普勒的行星周期與于他們的距離軌道中心的距離的

3、二分之三次方成正比的規(guī)律，我得出使行星沿軌道旋轉(zhuǎn)的力必然與他們離旋轉(zhuǎn)中心的距離的平方成反比的結(jié)論。從而把使月亮沿軌道旋轉(zhuǎn)所需的力與地球表面的引力相比較發(fā)現(xiàn)它它們符合得很接近。所有這些發(fā)生在1665 年和 1666 年兩個(gè)時(shí)疫年內(nèi)，因?yàn)槟菚r(shí)正是我創(chuàng)造發(fā)明的黃金時(shí)期，我對(duì)數(shù)學(xué)和哲學(xué)的思考比此后的任何時(shí)都候來的多。此后惠更斯先生發(fā)表的關(guān)于離心力的思想，我猜想他在我之前就有了， 最后在 1676 和 1677 之間的冬天我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)命題：利用與距離成反比的離心力行星必然環(huán)繞力的中心沿橢圓軌道旋轉(zhuǎn)， 這中心在橢圓的下部， 從這中心作出的半， 它的建立是牛頓定律和開普勒徑所經(jīng)過的面積與時(shí)間成正比摘自從落體

4、到無線電波經(jīng)典物理學(xué)家和他們的發(fā)現(xiàn)作者：當(dāng)代美國(guó)著名物理學(xué)家諾貝爾獎(jiǎng)獲得者埃米里奧·賽格雷從上面的話可以知道， 牛頓的平方反比律是由開普勒的行星運(yùn)動(dòng)定律得出的。 要進(jìn)行計(jì)算，顯然牛頓還必須有一些關(guān)于微積分和基本力學(xué)定律的概念， 而力學(xué)三定律是牛頓發(fā)現(xiàn)的，同時(shí)牛頓和萊布尼茨各自獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)了微積分， 牛頓一定用了自己的發(fā)現(xiàn)， 只是其間的順序就不得而知了， 不知為了萬有引力而創(chuàng)立微積分， 還是先創(chuàng)立微積分再將它用于計(jì)算萬有引力，這只有牛頓自己知道， 但他保持了沉默。 關(guān)于萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)權(quán)，歷史的結(jié)論是：它是牛頓發(fā)現(xiàn)的。萬有引力的表達(dá)式為 f=GMm/r 2 定律的綜合的結(jié)果，而牛頓在其

5、中起了關(guān)鍵的作用。萬有引力定律的建立過程（1）平方反比律的確定從理論計(jì)算得出平方反比的假設(shè)：根據(jù)開普勒軌道定律，為了簡(jiǎn)便起見，可把行星軌道看作圓形，這樣，根據(jù)面積定律，行星應(yīng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，只有向心加速度a=v2/r ，其中， v 是行星運(yùn)行速度，r 是圓形軌道的半徑。根據(jù)牛頓第二定律：f=ma故f=mv 2/r,又v=2 r/T由開普勒第三定律32r/T =K（ K 是與行星無關(guān)的太陽常量， 叫做開普勒常量）即 1/T 2=K/r 3于是 f=4 2mK/r 2牛頓得到第一個(gè)重要結(jié)果： 如果太陽的引力是行星運(yùn)動(dòng)的原因，則這種力應(yīng)和r 的平方成反比。平方反比假設(shè)的驗(yàn)證：牛頓“蘋果落地”的故事廣

6、為流傳。故事大意是說， 1665-1666 年，牛頓從劍橋大學(xué)退職回家鄉(xiāng)。一天，他在花園里冥思重力的動(dòng)力學(xué)問題，看到蘋果偶然落地，引起他的遐想在我們能夠攀登的最遠(yuǎn)距離上和最高山顛上，都未發(fā)現(xiàn)重力有明顯的減弱，這個(gè)力必然到比通常想象的遠(yuǎn)得多的地方。 為什么不會(huì)高到月球上？如果是這樣，月球的運(yùn)動(dòng)必定受它的影響，或許月球就是由于這個(gè)原因，才保持在它的軌道上的。設(shè)想月球處在它的軌道上的任意點(diǎn)A （見圖），如果不受任何力，它將沿一直線AB 進(jìn)行， AB 與軌道在 A 點(diǎn)相切。然而實(shí)際它走的是弧線AP , 如果 O 是地心，則月球向O 落下了距離 BP=y ,令弧長(zhǎng) AP=s=2 rt/T ,2 =s/r

7、AB而 cos 1- /2,則 y=r(1-cos ) s2 /2r =4 2r2t2 /2rT 2=2 2rt2/T 2，在地面上一個(gè)重物下落距離的公式為Py =gt2/2由此得y/y =4 2r/gT 2月球繞地的周期 T=27.3d 2.36× 106 s，地面上蘋果的重力加速度Og=9.8 m/s 2 ， 地球半徑 R的準(zhǔn)確數(shù)值是 6400km ， 古希臘的天文學(xué)家伊巴谷通過觀測(cè)月全食持續(xù)的時(shí)間，曾相當(dāng)精確的估算出地月距離r 為地球半徑的60 倍，則 r=60 R5=3.84× 10 km 用這個(gè)數(shù)值代入，即得y/y =1/3600而 R2/r 2=1/3600，2

8、2y/y =a/g=ma/mg=f/mg= R /r22即：力和距離的平方成反比所以： f=mg R /r（2）與 m和 M成正比的確定式表明力與被吸引的質(zhì)量m 成正比，這件事的重要性只有牛頓才充分意識(shí)到。根據(jù)牛頓第三定律，力的作用是相互的，f 是 M 對(duì) m 的作用， f 是 m 對(duì) M 的作用， f 與 m 成正比，則同理 f 必與 M 成正比， 又 f =f ，則 f 必同時(shí)與 m 和 M 成正比。式可寫成：2f=GMm/r ,其中 G 是萬有引力常量。（3）萬有引力常量的G測(cè)定測(cè)量萬有引力常量 G 的數(shù)值，就要測(cè)量?jī)蓚€(gè)已知質(zhì)量的物體間的引力。 1798 年，即牛頓發(fā)表萬有引力定律之后1

9、00 多年，卡文迪許（ H.Cavendish ）做了第一個(gè)精確的測(cè)量。他所用的是扭秤裝置，如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m 的小球固定在一根輕桿的兩端， 在用一根石英細(xì)絲將這兩桿水平的懸掛起來，每個(gè)質(zhì)量為 m 的小球附近各放置一個(gè)質(zhì)量為M 的大球。根據(jù)萬有引力定律， 當(dāng)大球在位置AA 時(shí)，由于小球受到吸引力，懸桿因受到一個(gè)力矩而轉(zhuǎn)動(dòng)，使懸絲扭轉(zhuǎn)。 引力力矩最后被懸絲的彈性恢復(fù)力矩所平衡。 懸絲扭轉(zhuǎn)的角度可用鏡尺系統(tǒng)來測(cè)定。為了提高測(cè)量的靈敏度，還可以將大球放在位置BB ，向相反的方向吸引小球。這樣，兩次懸桿平衡為止之間的夾角糾正打了一倍。如果已知大球和小球的質(zhì)量M,m 和他們相隔的距離， 以及懸絲的

10、扭力稀疏，就可由測(cè)得的 來計(jì)算 G。卡文迪許測(cè)定的萬有引力常量值為G=6.754 × 10-11 32.m /kg ·s 卡文迪許的實(shí)驗(yàn)如此精巧， 在八九十年間竟無人超過它的測(cè)量精度。萬有引力常量是目前測(cè)得最不精確的一個(gè)基本物理常量，因?yàn)橐μ酰植荒芷帘嗡母蓴_，實(shí)驗(yàn)很難做。 從卡文迪許到現(xiàn)在已近200 年，許多人用相同或不同的方法測(cè)量G 的數(shù)值，不斷地改進(jìn)其精度。國(guó)際科學(xué)聯(lián)盟理事會(huì)科技數(shù)據(jù)委員會(huì)(CODATA)1986 年推薦的數(shù)值為G=6.67259(85) × 10-11 m3/kg ·s2，不確定度為 128/1000000 （即萬分之 1.

11、28）。萬有引力實(shí)驗(yàn)演示部分一，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：有一個(gè)類似碗狀，但是碗壁向內(nèi)拱入的圓盤。（見圖 1）在圓盤上一個(gè)小球繞中心滾動(dòng)。隨著時(shí)間變化， 小球的速度越來越快，到最后掉入中間的小洞。而且越到中間小球的半徑變化越緩慢（也就是說小球的軌跡在中間是最密集）。小球的軌跡并不是正圓的，而是一種半徑越來越小的圓弧。 （如果兩個(gè)小球先后進(jìn)入盤中則會(huì)有角位移先后追趕的現(xiàn)象。）二，原理解釋：1,先解釋為什么用它來演示萬有引力定律萬有引力定律的表述為 F=GMm/r 2由此可以推知，行星勢(shì)能為w=fdr= GMm/r而實(shí)驗(yàn)中用重力勢(shì)能來代替萬有引力勢(shì)能mgh= GMm/r所以只要滿足h=-GM/gr 則可以用重力勢(shì)

12、能來代替萬有引力勢(shì)能。-同時(shí) r 表示物體間的距離。當(dāng)圖示曲線繞h 周旋轉(zhuǎn)后便會(huì)形成實(shí)驗(yàn)中所用到的曲面，當(dāng)曲線如圖時(shí)：dh/dr=GM/gr 2,cos(dh/dr)=gr 2/(GM) 2+(gr 2)2 1/2f=mgtan( )=mg dh/dr=mgGM/gr2=GMm/r 2所以不論從能量還是從力的角度來講，這個(gè)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ湍軌蛲耆M演示萬有引力。2,為什么小球會(huì)越來越快由離心力 f=m v 2/ r=F 知，動(dòng)能為 W=0.5mV2=0.5GMm/r ，由公式可見， r 越小動(dòng)能越大，自然速度會(huì)越快。3 為什么小球到中間軌跡密集這并不是一個(gè)沒有能量損失的系統(tǒng)，在旋轉(zhuǎn)的時(shí)候摩擦力做功發(fā)

13、熱耗散掉一部分能量w= fds, 而 f 的大小只與接觸的壓力和摩擦系數(shù)有關(guān)系，在距離為r 處的摩擦力轉(zhuǎn)一周做功為： w= fds=2 rmgcosarctg(dh/dr)= 2 mg2r3/(GM) 2+(gr 2)2 1/2又： dE/dr= GMm/r 2，可見在r 越大的時(shí)候，勢(shì)能的變化越慢，故在外圈時(shí)，變化一個(gè)小量dr 后勢(shì)能的變化比在內(nèi)圈時(shí)小，而能耗比內(nèi)圈大。所以里邊每移動(dòng)一小段可供小球旋轉(zhuǎn)的能量就多而小球每轉(zhuǎn)一圈的能耗小，故小球在同樣的一小段距離上會(huì)比外邊多轉(zhuǎn)幾圈。4,小球的軌跡為何是一個(gè)不斷向里邊縮進(jìn)的圓弧如果盤面足夠光滑即沒有摩擦力做功則小球的軌跡會(huì)是什么樣的呢A, 小球在斜

14、槽上恰好獲得的動(dòng)能足夠在盤的邊緣運(yùn)動(dòng)所需的動(dòng)能 mgh=0.5 mv 2 即： F=mv 2/r 則小球會(huì)沿著圓盤邊緣做正圓軌跡的運(yùn)動(dòng)B,小球在斜槽上未獲得的在圓盤的邊緣運(yùn)動(dòng)所需的動(dòng)能Mgh 0.5 mv2，F(xiàn)> mv 2 /r 則小球會(huì)做正圓軌跡的運(yùn)動(dòng)同時(shí)徑向有一個(gè)分運(yùn)動(dòng)（縮小半徑把勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能直到滿足平衡為止）到某一半徑時(shí)會(huì)達(dá)到F=mv 2/r 在此處做正圓運(yùn)動(dòng)C,小球在斜槽上獲得的動(dòng)能超過在盤的邊緣運(yùn)動(dòng)所需的動(dòng)能Mgh<0.5 mv 2,F<mv 2/r 體現(xiàn)在圓盤上的力學(xué)分析為則小球會(huì)沿著邊緣飛出下面再考慮摩擦力在小球運(yùn)動(dòng)的過程中小球的動(dòng)能在不斷的損失，這就要求小球

15、能不斷的縮小半徑來尋找新的平衡直到最后能量衰竭而掉入中間的小孔（就如衛(wèi)星在大氣層中因阻力而最終掉到大洋深處一樣）。當(dāng)綜合考慮時(shí)：小球的軌跡便是一個(gè)不斷向里邊縮進(jìn)的圓5,兩個(gè)小球?yàn)槭裁磿?huì)有角度相互追趕？萬有引力公式知：角速度=(GM/R 3)1/2，則半徑越小角速度越大，先后進(jìn)入的兩個(gè)小球的角速度總是先進(jìn)入的大于后進(jìn)入的，所以在一段時(shí)間里總是前面的小球轉(zhuǎn)過的角度比后面的多，因此角度差一直在增大，所以看上去總是兩個(gè)小球一會(huì)兒這個(gè)在前，一會(huì)兒另一個(gè)在前，相互追逐。萬有引力的應(yīng)用萬有引力定律作為一個(gè)自然界最基本的定律，無論是在理論研究還是實(shí)際工程等各種場(chǎng)合都有著極其廣泛的應(yīng)用。比如航天中， 航天器與天

16、體接近時(shí)的萬有引力可以作為一種有效的加速辦法；宇宙物理中常常以測(cè)定天體的萬有引力效應(yīng)來斷定天體的位置和質(zhì)量；在強(qiáng)磁場(chǎng)地域，因?yàn)殡姶盘綔y(cè)的局限性，可以通過萬有引力（地表一般測(cè)量其分力：重力常數(shù)，再與預(yù)算值比較）的測(cè)量計(jì)算來達(dá)到探知地下的物質(zhì)密度，從而斷定地下礦藏的分布或是地下墓穴的規(guī)模位置；而在另外一些領(lǐng)域，比如精密工業(yè)中的超圓滾球體的制造，可以將原材料放到太空去生產(chǎn)，因?yàn)槟抢镉欣硐氲氖芰Νh(huán)境（因?yàn)榈脑龃笫沟萌f有引力非常微弱）；以研究生物在太空無重力（亦即萬有引力）為對(duì)象的項(xiàng)目已經(jīng)發(fā)展成一門高新前沿的科技，如果將蔬菜種子帶到太空中，有些變異品種比地球上的品質(zhì)大大提高！事實(shí)上，萬有引力定律常常是理

17、論研究的最基本的公式之一。以下就舉一個(gè)重要實(shí)際應(yīng)用的例子來說明這一點(diǎn)。人造衛(wèi)星的發(fā)射過程是萬有引力的典型應(yīng)用：1，當(dāng)我們要發(fā)射一顆地球衛(wèi)星是我們只要以一定的角度和一定的初速度把衛(wèi)星發(fā)射向太空，這個(gè)速度的理論值由萬有引力定律可推知為：7.9km/s 當(dāng)然是實(shí)際發(fā)射中考慮到阻力問題， 不是瞬間加速到此值，是一個(gè)漸加速過程。萬有引力定律給我們確定了衛(wèi)星上天的邊界條件。2，當(dāng)我們要求衛(wèi)星成為一個(gè)太陽的衛(wèi)星時(shí)，我們的發(fā)射速度的理論值會(huì)高達(dá)11.2km/s。同理實(shí)際過程中速度也不會(huì)達(dá)到此值，而是漸加速漸升高。3，當(dāng)我們要求衛(wèi)星成為一個(gè)太陽外的天體時(shí)，我們的發(fā)射速度的理論值會(huì)高達(dá)16.7km/s 。同理實(shí)際過程中速度也不會(huì)達(dá)到此值，有時(shí)還故意把飛行器發(fā)射到近地天體的附近利用飛行器和天體間的萬有引力來改變飛行器的速度和方向。以