1、表1.1資源配置問題的數據實驗1用LINGO求解線性規劃問題LINGO 使用簡介LINGO 軟件是美國的 LINDO 系統公司( Lindo System Inc )開發的一套用于求解最優 化問題的軟件包 .LINGO 除了能用于求解線性規劃和二次規劃外，還可以用于非線性規劃求 解以及一些線性和非線性方程(組)的求解 .LINGO 軟件的最大特色在于它允許優化模型中 的決策變量為整數，而且執行速度快 .LINGO 內置了一種建立最優化模型的語言，可以簡便 地表達大規模問題，利用 LINGO 高效的求解器可快速求解并分析結果，這里簡單介紹 LINGO 的使用方法 .LINGO 可以求解線性規劃、

2、二次規劃、非線性規劃、整數規劃、圖論及網絡優化和排 隊論模型中的最優化問題等 .一個 LINGO 程序一般會包含集合段、數據輸入段、優化目標和約束段、初始段和數據 預處理段等部分，每一部分有其獨特的作用和語法規則， 讀者可以通過查閱相關的參考書或 者 LINGO 的 HELP 文件詳細了解，這里就不展開介紹了 .LINGO 的主要功能特色為：既能求解線性規劃問題，也有較強的求解非線性規劃問題 的能力；輸入模型簡練直觀；運算速度快、計算能力強；內置建模語言，提供幾十個內部函 數，從而能以較少語句，較直觀的方式描述大規模的優化模型； 將集合的概念引入編程語言， 很容易將實際問題轉換為 LINGO模

3、型；并且能方便地與 Excel、數據庫等其他軟件交換數 據.LINGO 的語法規定：(1) 求目標函數的最大值或最小值分別用MAX=或MIN=來表示；(2) 每個語句必須以分號“；”結束，每行可以有許多語句，語句可以跨行；(3) 變量名稱必須以字母( AZ )開頭，由字母、數字( 09)和下劃線所組成，長度 不超過 32個字符，不區分大小寫；(4) 可以給語句加上標號，例如 OBJ MAX=200*X1+300*X2；(5) 以驚嘆號“！”開頭，以分號“；”結束的語句是注釋語句；(6) 如果對變量的取值范圍沒有作特殊說明，則默認所有決策變量都非負；(7) LINGO模型以語句“ MODEL :

4、”開頭，以“ END ”結束，對于比較簡單的模型， 這兩個語句可以省略 .實驗目的1. 對于給定的實際應用問題，正確的建立線性規劃問題數學模型，并用LINGO求解；2. 掌握靈敏度分析以及資源的影子價格的相關分析方法.實驗數據與內容問題 1.1 某工廠在計劃期內要安排生產 A、B 兩種產品，已知生產單位產品所需設備 臺時及對甲、乙兩種原材料的消耗，有關數據如表 1.1.問:應如何安排生產計劃，使工廠獲 利最大？產品資源、A B可利用資源設備1 28臺時甲4 016公斤乙0 412公斤單位利潤2元3元建立線性規劃問題的數學模型，用LINGO求出最優解并做相應的分析問題1.2某公司飼養實驗用的動物

5、以供出售，已知這些動物的生長對飼料中3種營養成分（蛋白質、礦物質和維生素） 特別敏感，每個動物每周至少需要蛋白質60g,礦物質3g，維生素8mg,該公司能買到 5種不同的飼料，每種飼料1kg所含各種營養成分和成本如表1.2所示，如果每個小動物每周食用飼料不超過52kg，求既能滿足動物生長需要，又使總成本最低的飼料配方表1.2配料（食譜）問題的數據飼料營養A1A2A3AA5營養最低 要 求蛋白質（g）0.3 210.61.860礦物質（g）0.1 0.050.020.20.053維生素（mg）0.05 0.10.02 0.20.088成本（元/ kg）0.2 0.7 ().4 0.30.5實驗指

6、導問題1.1設計劃生產 A,B兩種產品分別為X1,X2，則建立線性規劃問題數學模型x1 + 2x2 <8X 24 X*4? ? ox/.Als2max S = 2x1 + 3x2在LINGO 的MODEL窗口內輸入如下模型：model:max=2*x1+3*x2;x1+2*x2<=8;4*x1<=16;4*x2<=12;end選菜單Lingo|Solve（或按Ctrl+S）,或用鼠標點擊“求解”按紐，如果模型有語法錯誤，則 彈出一個標題為"LINGO Error Message ” （錯誤信息）的窗口，指出在哪一行有怎樣的錯誤， 每一種錯誤都有一個編號（具體含

7、義可查閱相關文獻或LINGO的Help） 改正錯誤以后再求解，如果語法通過，LINGO用內部所帶的求解程序求出模型的解，然后彈出一個標題為“LINGO Solver Status ”（求解狀態）的窗口，其內容為變量個數、約束條件個數、優化狀 態、耗費內存、所花時間等信息，點擊Close關閉窗口，屏幕上出現標題為“ Solution Report ”（解的報告）的信息窗口，顯示優化計算（線性規劃中換基迭代）的步數、優化后的目標函 數值、列出各變量的計算結果求解結果：2Global optimal solution found at iteration:5Objectivevalue: 14.00

8、000VariableValueReduced CostX14.0000000.000000X22.0000000.000000Row Slack or SurplusDualPrice114.000001.00000020.0000001.50000030.0000000.125000044.0000000.000000該報告說明： 運行 5 步找到全局最優解， 目標函數值為 14，變量值分別為 x1 =4,x2 =2.“Reduced Cost”的含義是需縮減成本系數或需增加利潤系數（最優解中取值非零的決策變 量的Reduced Cost值等于零）.“ Row ”是輸入模型中的行號，目標函

9、數是第一行；“Slack orSurplus ”的意思是松弛或剩余，即約束條件左邊與右邊的差值，對于“ w”的不等式，右邊 減左邊的差值為 Slack （松弛），對于“”的不等式，左邊減右邊的差值為Surplus （剩余），當約束條件兩邊相等時，松弛或剩余的值等于零.“Dual Price ”的意思是對偶價格（或稱為影子價格 ），上述報告中 Row2 的松弛值為 0，表明生產甲產品 4 單位、乙產品 2 單位，所 需設備 8臺時已經飽和，對偶價格 1.5的含義是：如果設備增加 1臺時，能使目標函數值增 加 1.5.報告中 Row4 的松弛值為 4，表明生產甲產品 4 單位、乙產品 2 單位，所

10、需原材料乙 8 公斤還剩余 4 公斤，因此增加原材料乙不會使目標函數值增加，所以對偶價格為0.問題1.2設需要飼料 A,A,A3,At,A分別為x1,x2,x3,x4,x5 kg，則建立線性規劃數學模 型：minS=0.2x1 +0.7x2 +0.4x3 +0.3x4+0.5x5? 0.3x1 + 2x2 + X3 + 0.6x4 +1.8x5 >60 ?0.1x1 +0.05x2+0.02x3+0.2x4+0.05x5>3s.t?0.05x1 +0.1x2 + 0.02x3 + 0.2x4 + 0.08x5 >8 ?x1 + x2 + x3 + x4 + x5 w 52?x

11、1, x2 ,x3 ,x4, x5 >0在 LINGO 的 MODEL 窗口內輸入如下模型：Min=0.2*x1+0.7*x2+0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5;0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x5>60;0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.05*x5>3;0.05*x1+0.1*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.08*x5>8; x1+x2+x3+x4+x5<52;求解輸出結果如下 :Global optimal solution found at iteration:4Objectivevalue:

12、 22.40000VariableValueReduced CostX10.0000000.7000000X212.000000.000000X30.0000000.6166667X430.000000.000000X510.000000.0000003A分別為12kg、30kg和10 kg，合計為X12.000000INFINITY0.5000000RowSlack or SurplusDualPrice122.40000-1.00000020.000000-0.583333334.1000000.00000040.000000-4.16666750.0000000.8833333因此,每周

13、每個動物的配料為飼料A2、 A4、52 kg，可使得飼養成本達到最小，最小成本為22.4元；不選用飼料 Ai和A的原因是因為這兩種飼料的價格太高了，沒有競爭力 .“Reduced Cost ”分別等于 0.7 和 0.617，說明當這 兩種飼料的價格分別降低 0.7元和 0.62元以上時， 不僅選用這兩種飼料而且使得飼養成本降 低.從“Slack or Surplus可以看出，蛋白質和維生素剛達到最低標準，礦物質超過最低標準4.1 g ;從“Dual Price可以得到降低標準蛋白質1單位可使飼養成本降低 0.583元，降低標準維生素 1 單位可使飼養成本降低 4.167 元，但降低礦物質的標

14、準不會降低飼養成本，如果 動物的進食量減少，就必須選取精一些的飼料但要增加成本，大約進食量降低1 kg可使得飼養成本增加 0.88 元.對于目標函數系數和約束條件右端常數項的靈敏度分析，可以通過LINGO 軟件求解的靈敏度分析給出 .如果要看靈敏度分析結果，必須激活靈敏度計算功能才會在求解時給出靈 敏度分析結果，默認情況下這項功能是關閉的想要激活它，必須運行LINGO|Options命令，選擇 Gengral Solver，在 Dual Computation 列表框中，選擇 Prices and Ranges選項并確定.對 于例 1.1 問題進行靈敏度分析，結果如下：以下是靈敏度分析的結果R

15、anges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrentVariable CoefficientAllowable AllowableIncrease Decrease4X2Row28.000000316.0000012.00000INFINITY4.0000003.0000001.0000003.000000Righthand Side RangesCurrent Allowable AllowableRHS Increase Decrease2.0000004.00000016.000008.0000

16、00#對于例 1.2問題進行靈敏度分析，結果如下：Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrentVariable CoefficientX1 0.2000000Allowable Allowable Increase Decrease INFINITYX20.7000000X30.4000000INFINITYINFINITY0.70000000.13589740.6166667X4 0.30000001.4000001.000000X5 0.50000000.1247059 INFINITYRighthand Side RangesRow Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease2 60.000004.8000004.8000003 3.0000004.100000INFINITY4 8.0000000.34285710.48000005 52.00000 1.846154 1.411765思考題某投資公司擬制定今后 5 年的投資計劃，初步考慮下面四個投資項目： 項目A :從第1年到第4年每年年初可以投資，于次年年末收回成本，并可獲利潤15% ;項目B :第3年年初