1、僅供個人學習參考 圓的培優專題1 與圓有關的角度計算 一運用輔助圓求角度 1、 如圖， ABC 內有一點 D, DA= D 吐 DC,若 N DAB= 20。，乂 DAC= 30, 貝 U . BDG. ( . BDG . BAG 100 ) 2、 如圖，AE BE DE BO DC,若 Z C= 100。，則 N BAD= . ( 50。) 3、 如圖，四邊形 ABCD 中 A 吐 AC= AD N CBD= 20。，/ BDC= 30，貝 U 欄題第 2 題 BADr題BACK CAD= 40 +60 =100) 解題策略：通過添加輔助圓，把問題轉化成同弧所對的圓周角與圓心角問題，思維更明

2、朗！ 4、 如圖， ABCC 中，點 E 為 AB BC 的垂直平分線的交點，若.D= 60， 則.AECT. (. AECT 2 B= 2 D= 120 ) 5、 如圖，0 是四邊形 ABCC 內一點，OAr 0 吐 OC厶ABCTN ADCT 70。， 則.DAOT DC.(所求=360 - . ADC- A0(r 150 ) &如圖，四邊形 ABC 沖，.AC AD 90， AD(r 25，貝 U ABCr . (.ABCr AD(r 25 ) 第 4 題第 5 題第 6 題 解題策略：第 6 題有兩個直角三角形共斜邊，由直角所對的弦為直徑，易得到 ACBD 共圓. 二運用圓周角

3、和圓心角相互轉化求角度 7、 如圖，AB 為。0 的直徑，C 為 AB 的中點，D 為半圓 AB 上一點，貝AD(r . 8、 如圖，AB 為O0 的直徑，CD 過 0A 的中點 E 并垂直于 0A 則 Z ABCr . 9、 如圖，AB 為O0 的直徑，BC=3AC，貝 AB(r . 第 7 題第 8 題第 9 題 答案：7、45 ; 8、30 ; 9、22.5 ; 10、40 ; 11、150 ; 12、110 解題策略：以弧去尋找同弧所對的圓周角與圓心角是解決這類問題的捷徑！ 10、 如圖，AB 為O0 的直徑，點 C D 在O 0 上，.BACr 50，貝帚 AD(r . 11、 如圖

4、，O 0 的半徑為 1,弦 AB= 2，弦 ACr . 3，貝帚B0 . 12、 如圖，PAB PCD 是 0 的兩條割線，PAB 過圓心 0,若 AC =CD，乂 P= 30， 則/ BDC=.(設乙 ADC= x，即可展開解決問題) 僅供個人學習參考 第 10 題第 11 題第 12 題 解題策略：在連接半徑時，時常會伴隨出現特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等邊三角形，是解題的另一個關鍵點！ 圓的四接四邊形的外角等于內對角，是一個非常好用的一個重要性質！ 圓的培優專題2與垂徑定理有關的計算 1、 如圖，AB 是的弦，OD_AB 垂足為 C,交于點 D,點 E 在上，

5、若.BED =30，O 0 的半徑為 4,則弦 AB 的長是. 略解：OD_AB,二 A 吐 2AC 且 乂 AC3 90 ， BED= 30， AOG 2 / BED= 60 OAG30，OC= 022,則 AC= 2 3，因此 A 吐 4 3. 2、 如圖，弦 AB 垂直于O O 的直徑 CD OA= 5, A 吐 6,貝U BO . 略解：直徑 CD_ 弦 AB AE= BE= AB=3 0E= ,52 -32 =4，貝U CE= 5 + 4 = 9 I / J / I BC= 92 32 =3 10 第 1 題第 2 題第 3 題 3、 如圖，O 0 的半徑為2虧，弦 AB 丄 CD

6、垂足為 P, A 吐 8, CD= 6,貝U 0 吐. 略解：如圖，過點 0 作 0 巳 AB OF 丄 CC,連接 OB 0D. I 一 T /f 則 BE= AB= 4, DF= CD= 3,且 0B= 0D= 2 5 0E= （2、5）2 -42 =2 , 0F= , （2、5）2 _32 二 11 又 AB 丄 CD,則四邊形 OEPF 是矩形，貝U 0F= J22；（師2 =屁 4、 如圖，在O 0 內，如果 0A= 8, A 吐 12, A= B= 60，則O 0 的半徑為. 略解：如圖，過點 0 作 0 吐 AB 連接 0B 貝U AD= A 吐 4,因此，BD= 8, 0D=

7、血 0 吐 ,（4、3）2 82 =4 門. 5、 如圖，正 ABC 內接于O 0, D 是O 0 上一點，.DCAF 15 , CD= 10,則 BC= 略解：如圖，連接 OC 0D 則乂 OD=N OCD ABC 為等邊三角形，則 0C= 0C= 30，二 0D= 0C= 45 僅供個人學習參考 OCD 是等腰三角形，則 0（= 5.2 過點 0 作 0 巳 BC,貝U BC= 2CE= 5,6 6、 如圖題第 0 題第徑題吐 4, C 為 AB 的中點，E 為 0B 上一點，Z AEC 60。, CE 的延 長線交O 0 于點 D,則 CD= 略解：如圖，連接 0C 則 0C= 2 v

8、C 為 AB 的中點，則 OCAB,又.AEG 60 , . OCE= 30 如圖，過點 O 作 OF 丄 CD 貝 U OF= OC= 1, CF=y/3，二 CD= 2CM 2/3 7、如圖，A 地測得臺風中心在城正西方向 300 千米的 B 處， 并以每小時 10.7 千米的速度沿北偏東60的 BF 方向移 動，距臺風中心 200 千米范圍內是受臺風影響的區域. 問：A 地是否受到這次臺風的影響？若受到影響，請求 出受影響的時間？ 解：如圖，過點 A 作 AC_BF 交于點 C, v . ABM30，貝 U AOA 吐 150 ： 200,因此 A 地會受到這次臺風影響； I J I y

9、 如圖，以 A 為圓心 200 千米為半徑作。A 交 BF 于 D E 兩點，連接 AD I 則 DE= 2CD= 2、2002 -1502 =100 7， 所以受影響的時間為100-7“10、_7 =10 (時) 圓的培優專題3圓與全等三角形 1、 如圖，O O 的直徑 A 吐 10,弦 AO6，ACB 的平分線交O O 于 D,求 CD 的長. 解：如圖，連接 AB BD,在 CB 的延長線上截取 BE= AC,連接 DE v Z ACDZ BCD 二 AD= BD 又 N CADZ EBD AO BE CADA EBD( SAS CD= DE NADGN BDE L1 v AB 為OO

10、的直徑，貝 U N ACB=N ADB= 90 二 BO 102 -62 =8; ADCb CD* CDBb BDE= 90 ，即 CDE= 90 CDE 是等腰直角三角形且 CE= 14,二 CD= 7.2 2、 如圖，AB 是OO 的直徑，C 是半圓的中點，M D 分別是 CB 及 AB 延長線上一點，且 MA= MD 若 CM* 2，求 BD 的長. 僅供個人學習參考 解：如圖，連接 AC,則 AC* BC, N C* 90。，即 ABC 是等腰直角三角形 過點 M 作 MN/ AD,貝 U NM* MAD 則厶 CMN 也是等腰直角三角形，則 M* 遼 CM* 2 AN(* MB* 1

11、35 , 又 MA* MD N D* N NM* N MAD AMN BMD( AAS BE MNk 2 3、 如圖，AB 為。0 的直徑，點 N 是半圓的中點，點 C 為AN上一點，NC= . 3. 求 BC- AC 的值. 解：如圖，連接 AN BN 則厶 ABN 是等腰直角三角形 在 BC 上截取 BD= AC,連接 DN ANh BN . CANh DBN AO BD ACNP BDN( SAS CNh DN CNAF DNB CNh CNAK ANh ADNK DNh90，即 CND 是等腰直角三角形 CD= 2 NCh ,6， BC- ACh BC BDh CD= . 6 4、 如

12、圖，點 A B C 為。0 上三點，AC = BC,點 M 為BC上一點，CE_ AM 于 E， AE= 5，Mh3,求 BM 的長. 解：如圖，在 AM 上截取 ANhBM 連接 CN CM. AC =BC，二 ACh BC，又 Ah B ACNP BCM( SAS CNh CM 又 CE 丄 AM NE= Mh 3， BMh ANh AE- NE= 2 5、如圖，在O 0 中，P 為 BAC 的中點，PD 丄 CD，CD 交OO 于 A,若 ACh3, ADh 1, 求 AB 的長. :J_ I 解：如圖，連接 BP CP,則 BPhCP N B=N C I -卜 過點 P 作 PE 丄

13、AB 于點 E,又 PD 丄 CD Z BEP=N CDP BEPA CDP( AAS BEhCD= 3+1 = 4, PE= PD 連接 AP,貝 U Rt AEPRt ADP(HL),貝 U AE= ADh 1 AB= AE+Bh 5 & 如圖，AB 是 O 的直徑，MN 是弦，AEMN 于 E, BF_ MN 于 F, A 吐 10, Mh 8. 求 BF AE的值. 解： AE 丄 MN BF 丄 MN 貝 U AE/ BF,： N A= N B 僅供個人學習參考僅供個人學習參考 如圖，延長 EO 交 BF 于點 G, 貝 UN AO 呂 N BOG AO= BO AOEA B

14、OG( AAS,貝U OE= OG 過點 O 作 OH_MN FG= 2OH| HN= 4 連接 ON 貝U ON= 5 , OH , 52 一 43 ,貝U BG- AE= FG= 6. 圓的培優專題4圓與勾股定理 1、 如圖，O 0 是厶 BCN 的外接圓,弦 AC_BC,點 N 是 AB 的中點,.BNC= 60 , 1 I 求的值. 解：如圖,連接 AB 則 AB 為直徑，二 BNA= 90 連接 AN,則 BN= AN,則厶 ABN 是等腰直角三角形 I | .駅 F / / 2 BN= AB 又.BAG BNC= 60 , 2 BO V3AB = v6 (方法 2,過點 B 作 B

15、D_CN 即可求解) 2 3 2、 如圖,O O 的弦 AC_BD 且 AO BD 若 AD= 2 2 ,求O O 半徑. I . ; 解：如圖,作直徑 AE 連接 DE 貝，ADE= 90 又 AC_BD,貝 U AD 聊 DAG AD 聊 EDB= 90 DAG EDB 貝 U CD 二 BE , /. DE 二 BC , / AC= BD, AC =CD ,貝 U AD 二 BC 二 DE I AD= DE 即厶 ADE 是等腰直角三角形 AE= .2 AD= 4,即OO 的半徑為 2 3、 如圖,AB 為OO 的直徑,C 為OO 上一點,D 為 CB 延長線上一點,且.CA9 45 ,

16、 CE 丄 AB 于點 E , DF 丄 AB 于點 F. (1)求證：CE= EF; (2)若 DF= 2 , EF= 4,求 AC. (1)證：AB 為OO 的直徑,NCA9 45。, 則厶 ACD 是等腰直角三角形,即 AO DC 又 CE 丄 AB 貝忖 CAE= N ECB 如圖,過點 C 作 CG 垂直 DF 的延長線于點 G 又 CE_AB, DF_AB 則四邊形 CEFG 是矩形, AEC DG&90 EF= CG CE/ DG 貝U ECB= CD& CAE 僅供個人學習參考 ACEA DCG( AAS ,貝 U CE= CG= EF僅供個人學習參考 (2)略

17、解：AC= CD= , 42 62 =2.13. 4、如圖，AB 為。0 的直徑，CD_AB 于點 D, CD 交 AE 于點 F, AC 二 CE . (1) 求證：AF= CF; (2) 若。O 的半徑為 5, AE= 8,求 EF 的長 (1) 證：如圖，延長 CD 交OO 于點 G,連接 AC 直徑 AB 丄 CG 貝 U AG =AC =CE CAE ACG 貝U AF= CF (2) 解：如圖，連接 OC 交 AE 于點 H,貝U OC_AE, EFh AFk AE=4 O 卡、.52 -42 =3，貝U CH= 5-3 = 2 5、如圖，在O O 中，直徑 CD 丄弦 AB 于

18、E, AM BC 于 M 交 CD 于 N,連接 AD. (1) 求證：AD= AN I (2) 若 A 吐 4 2 , ON= 1,求O O 的半徑. (1) 證：CD_AB AM BC C+ CNI= C+ B= 90 B= CNIM 又.B= D, AND= CNM D= AND 即 AD= AN (2) 解：直徑 CD_ 弦 AB 則 AE= 22 又 AN= AD,則 NE= ED 如圖，連接 OA 設 OE= x ,貝 U NE= ED= x 1 OA= OD= 2x 1 x2 (2、2)2 =(2x 1)2,則 x =1 OO 的半徑 O 爪 3 圓的培優專題5圓中兩垂直弦的問題

19、 1、在O O 中,弦 AB_CD 于 E,求證： AO+ BOG 180 . 證：如圖,連接 AC 設 HF= x，則 CF= AF= 4 x 則 x2 22 = (4 -x)2 , 3 3 x = 3，即 HF= 3 2 2 EF= 11 2 僅供個人學習參考 AB 丄 CD 貝 U N CA 聊 N ACD= 90。 又.AO4 2 ACD BOG 2 BAC . AODT BOG 180 . 2、在O O 中，弦 AB_CD 于點 E,若O O 的半徑為 R,求證：AC + BD= 4 氏. 證： AB 丄 CD 貝 U N CABZ ACG 90。 如圖，作直徑 AM 連接 CM 貝

20、 U ACG ACDK DCG 90 . CAG . DCM /. BC 二 DM /. CM 二 BD , CMG BD M - =“ AC+ cM= AM AC+ BD= 4 氏. 3、在O O 中，弦 AB_CD 于點 E,若點 M 為 AC 的中點，求證 ME BD. 證：如圖，連接 ME 并延長交 BD 于點 F AB 丄 CD 且點 M 為 AC 的中點 ME 為 Rt AEC 斜邊上的中線 AMG ME AZ A=N AEMG Z BEF “ . I. - .1 廠I I 又乙 B=N C, N A+ N C= 90 | i z BEF+N BG90。，即 N BFE= 90 A

21、 M 巳 BD. 4、在O O 中，弦 AB_CD 于點 E,若 ONBD 于 N,求證：ONG丄 AC. 2 證：如圖，作直徑 BF,連接 DF, 則 DF_BD,又 ONBD, ON/ FD,又 O 吐 OF 1 ONG - DF 2 連接 AF,貝 U AF AB,又 CD_AB 僅供個人學習參考 AF/ CD僅供個人學習參考 AC 二 FD，貝 U AO FD 1 0N= AC 2 5、在O 0 中，弦 AB_CD 于點 E,若 AC= BD, ON BD 于 N, OM AC 于 M. (1) 求證：M 日/ON (2) 求證：四邊形 OME 為菱形. 證：(1)如圖，延長 ME 交

22、 OD 于點 F v OMAC 則點 M 為 AC 的中點 AB 丄 CD 貝 U ME 為 Rt ACE 的斜邊上中線 AM= EM :.厶 A=N AEM Z BEF 又 N B=N C, N A+N C= 90 s f y/L ” j. _ J B+ BEF= 90 ，貝 U BFE= 90 MF_BD 又 OMBD MF/ ON (2)由(1)知 MF/ ON 同理可證 OM/ NE 四邊形 OME 是平行四邊形 v AC= BD 二 OM= ON 四邊形 OME 為菱形. 圓的培優專題6圓與內角(外角)平分線 一圓與內角平分線問題往往與線段和有關，實質是對角互補的基本圖形 1、 如圖

23、，O OABC 的外接圓，弦 CD 平分.ACB ACB= 90 . 求證：CA+ CB= 2 CD. 證：如圖，在 CA 的延長線上截取 AE= BC，連 DE, AD BD v CD 平分 ACB 二 AD= BD 又 DAE= DBC AE= BC DAEA DBC( SAS CD= DE 又 ACD= 45 CDE 是等腰直角三角形，貝 U CA+ CB= CE= 2 CD. 僅供個人學習參考 2、 如圖，O OABC 的外接圓，弦 CD 平分.ACB ACB= 120，求的值. 解：如圖，在 CA 的延長線上截取 AE= BC,連 DE AD BD v CD 平分 N ACB 二 A

24、D- BD 又.DA DBC AE= BC DAEA DBC( SAS CD DE 又 AC 60 CDE 是等邊三角形 CD CE= CA BC,即=1 3、如圖，過 O M(1,1)的動圓O Oi交y軸、x軸于點 A、B,求 0 陽 OB 的值. 解：如圖，過點 M 作 MHy軸，MF 丄 x 軸，連 AM BM 由 M( 1，1)知：四邊形 OFM 是正方形 OE= OF-4，EM= FM 又厶 MBN MAE AEMmBFM(AAS，貝U AE= BF OA OB= AE+ 0 曰 OF- BF- 8. 二圓中的外角問題往往與線段的差有關 4、 如圖，O OABC 的外接圓，弦 CP

25、平分 ABC 的外角.ACQ AC 90 . 求證：(1) PA = PB ； (2) AC- BC V2 PC. 證：(1)如圖，連接 AP,則 N PCQZ PAB 又乙 PC3 N PCA 則必 PAB= N PCA PA = PB (2)連接 BP,由(1)得，PA PB 在 AC 上截取 AD BC,連 PD 又 N PAD- N PBC PADAPBC(SAS，貝U PD PC 又.PC 45，貝 PCD 是等腰直角三角形， AC-BC C 2 PC. 5、 如圖，O OABC 的外接圓，弦 CP 平分 ABC 的外角 N ACQ Z AC 1201 求的值. 解：如圖，在 BC

26、上截取 BD AC，連 AP BP DP v PC PC( PBA AP BP,又 CA DBP 僅供個人學習參考 CAPADBP(SAS,貝U CP= DP 又 AC120，二 PCD 30 , 6 如圖，A(4,0) , B(0,4) , O Oi經過 A B 0 三點，點這 P 為OA上動點(異于 O A) 求的值. 解：如圖，在 BP 上截取 BOAP A(4,0)，B(0,4)，則 0A= 0B= 4 又 N OAPZ OBC OAPA OBC( SAS I OC= OP 且 N CO 圧 N AOB= 90 ，則=Q I* 圓的培優專題7與切線有關的角度計算 - r . J I y

27、 一切線與一個圓答案：1、70 ; 2、20 ； 3、80 ； 4、120 ； 5、130 ； 6、45 1、 如圖，AD 切OO 于 A，BC 為直徑，若.ACB= 20，貝 CA9 . 2、 如圖，AP 切OO 于 P，PB 過圓心，B 在OO 上，若.AB 圧35，貝、APB=. 3、 如圖，PA PB 為OO 的切線，C 為 ACB 上一點，若.BCA= 50，貝, APB=. 第 1 題第 2 題第 3 題第 4 題 4、 如圖，PA PB 為OO 的切線，C 為 AB 上一點， 第5題 若.BCA= 150，貝 U . APB=. 5、 如圖，點 0 是厶 ABC 的內切圓的的圓心

28、，若 BAG 80 ，貝 U . BOG . 6 如圖，PA 切OO 于 A,若 PA= AB PD 平分 -APB 交 AB 于 D,貝,ADG (設元，列方程) 第6題 二切線與兩個圓 7、 如圖， 兩同心圓的圓心為 O,大圓的弦 AB AC 分別切小圓于 D E,小圓的 DE 的度數為110， 則大圓的 BC 的度數為. 8、 女如圖7題第)和題第2交于 A、B 兩點，且點 O 在O O 上，若 N D= 110，則乂 C= 9、 如圖，O O和O Q外切于D, AB過點D,若Z AOD= 100， C為優弧BD上任一點， 則.DCG.答案：7、140 ； 8、40 ; 9、50 (過點

29、 D 作兩圓的切線) 圓的培優專題8與切線有關的長度計算 1、如圖，在O O 的內接 ACB 中，.ABC= 30 , AC 的延長線與過點 D 的切線 BD 交于 點僅供個人學習參考 D,若。0 的半徑為 1, BD/OC 貝U CD= . (CD=啟,3) 2、如圖 ABC 內接于。0, AB= BC 過點 A 的切線與 0C 的延長線交于 D, . BAG 75 , CD= ,3，貝U AD= . (AD= 3) 3、 如圖，。0BCD 勺外接圓，過點 C 的切線交 BD 的延長線于 A, . ACB= 75 , .ABC= 45，則的值為.(二 2 ) 4、 如題第 AB 為第50 的

30、直徑題弦 DC 交 AB 于 E,過 C 作O0 的切線交 DB 的延長線于 M 若 AB= 4 , . ADC= 45 , . M= 75 ,貝U CD= . ( CD= 2.3 ) 5、 如圖,等邊 ABC 內接于5 0, BD 切。0 于 B , AD_ BD 于 D, AD 交5 0 于 E , O 0 的半徑為 1,則 AE=. (AE= 1) 6 如圖, ABC 中,.90 , BO 5, O 0 與 ABC 的三邊相切于 D E、F ,若O 0 的 r , | y 半徑為 2,則厶 ABC 的周長為.(C= 30) 7、如圖, ABC 中,.C= 90 , AO 12 , BO

31、16，點 0 在 AB 上 , O 0 與 BC 相切于 D, 連接 AD 貝U BD=.(示：過 D 作 DIAB,設 CD= DE= x, BD= 10) 第 5 題第 6 題 第 7 題 解題策略：連半徑，有垂直；尋找特殊三角形；設元，構建勾股定理列方程 圓的培優專題9圓的切線與垂徑定理 1、如圖,AB 為O0 的直徑,C 為 AE 的中點,CD_BE 于 D. (1) 判斷 DC 與O 0 的位置關系,并說明理由； (2) 若 DC= 3, O 0 的半徑為 5 ,求 DE 的長. 解：(1) DC 是O0 的切線,理由如下： 、K 丨 I 如圖，連接 0C BC,貝，ABC CBD

32、0CB 0C/ BD 又 CD_ BE 0C_CD 又 0C 為O 0 的半徑 DC 是O0 的切線 (2)如圖,過 0 作 0F_BD,則四邊形 0FD(是矩形,且 BE= EF 0F= CD= 3 , DF= 0C= 5 , EF= BF=、52 _32 =4 , / DE= DF- EF= 1 2、如圖,AB 為O0 的直徑,D 是 BC 的中點,D 巳 AC 交 AC 的延長線于 E, O 0 的切線 BF 交AD 的延長線于點 F. 僅供個人學習參考 (1)求證：DE 為OO 的切線； (2)若 DP 3,0 0 的半徑為 5,求 DF 的長. (1) 證：顯然，.CAD OAD O

33、DA OD/ AE 又 DE_AC, OD_DE 又 OD 為O O 半徑 DE 為OO 的切線 (2) 解：如圖,過點 O 作 OGAC,貝U OGD 是矩形,即 OG= DE= 3 , DE= OD= 5 - AG 52 -34 ,貝U AE= 5 + 4 = 9, 、92 32丄 3、一 10 連接 BD 貝U BD_AD BD= ,：102 -(3 IO)2 =：10 設 DF= x ,則 x2 ( 10)2 = BF= (x 310)2 -102 , DF= x J 10 . 3 I -t - : i _i 3、如圖,四邊形 ABCM 接于。O, BD 是OO 的直徑,AE_CD 于

34、 E, DA 平分.BDE. (1) 求證：AE 是OO 的切線； (2) 若 AE= 2 , DE= 1,求 CD 的長. (1) 證：如圖,連接 OA 貝匚 ADE ADO OAD OA/ CD 又 AE_CD O 仁 AE 又 OA 為O O 的半徑 AE 是OO 的切線 (2) 解：如圖,過點 O 作 OF_CD 則 CC= 2DF,且四邊形 OFEA1 矩形 EF= OA= OD OF= AE= 2 1 . :、.、#I 設 DF= x ,貝 U OD= EF= x 1 2 2 2 x 2 =(x 1) , X =1.5 CD= 2CF= 2x =3 4、 如圖,AE 是OO 的直徑

35、,DF 切OO 于 B , AD_ DF 于 D, EF_ DF 于 F. (1) 求證：EF+ AD= AE (2) 若 EF= 1 , DF= 4,求四邊形 ADFE 勺周長. (1)證：如圖,連接 CE 則四邊形 CDFE 是矩形 連接 OB 交 CE 于點 G, 僅供個人學習參考 DF 是OO 的切線 OBDF, OACE BG= CD= EF, OG/ AC,又 AO= OE僅供個人學習參考 AC= 20G EF+ AD= AC CM EF= 20Gb 2BG= 20B= AE. (2)解：顯然 CE= DF= 4, CD= EF= 1 設 AO x，則 AD= x 1 , AE=

36、x 2 2 2 2 x 4 =(x 2),則 x = 3，則 AO 3, AD= 4, AE= 5 四邊形 CDFE 的周長為 14. 圓的培優專題10 圓的切線與勾股定理 1、如圖，已知點 A 是。0 上一點，半徑 0C 的延長線與過點 A 的直線交于點 B, 0C= BQ 1 AO 丄 0B. 2 (1)求證：AB 是O0 的切線；(2)若.ACD= 45 , 0C= 2,求弦 CD 的長. (1)證：0C= 0B -i j I f I AC 為 0AB 的 0B 邊上的中線，又 AO 1 0B 2 0AB 是直角三角形，且 0A490，又 0A 為。0 的半徑 AB是。0 的切線 (2)

37、解：顯然，04 0C= AC 即厶 0AC 是等邊三角形 A0G 60，二 D= 30 如圖，過點 A 作 AE 丄 CD 于點 E, Z ACD= 45。，.山 AEC 是等腰直角三角形， 二 AE= CE 2 AC= 2 0C= 2 , DE= 3 AE=、6 2 2 CD= .6 *2 2、如圖，PA PB 切O0 于 A B,點 M 在 PB 上，且 0M/AP, MN AP 于 N. (1)求證：0M= AN (2)若O 0 的半徑r=3 , P 心 9,求 OM 的長. (1) 證：如圖，連接 OA T PA 為O 0 的切線， O2AP,又 MNAP OA/ MN 又 OM/AP

38、, 四邊形 OANI 是矩形，即 0M= AN (2) 解：如圖，連接 OB T PB PA 為。0 的切線 OBM- MNP 90 , PB= P 心 9 / OMb N P,又 09 OA MN 二 OBIWA MNP( AAS 僅供個人學習參考 OMkPM 貝 U 32+ OMb( 9-OM 2,二 OMb5 3、如圖，AB 為 OO 的直徑，半徑 OC_AB D 為 AB 延長線上一點，過 D 作。O 的切線， E 為切點，連接 CE 交 AB 于 F. (1)求證：DE= DF; (2)連接 AE 若 OF= 1，BF= 3,求 DE 的長. (1) 證：如圖，連接 OE PE 為

39、OO 的切線， OE_DE 又 OC_AB C+ CFO= OEFK DEF= 90 又.C= OCF CFO= DFE DEFb . DFE 二 DE= DF I 1 -L F / (2) 解：顯然，OE= OB= OF+ BF= 4 設 BD= x，貝 U DE= DF= x 3，OD= x 4 屛：.嚴 、 、 I !._/ / i / i8 h / - , l / / 2 2 2 (x 3) 4 =(x 4)， x = 4.5 I /、 J h - DE= 7.5 L_ I ? / J y 、./2 AB= 2j2 = DM 又 OM= OB OD= OD ODIWODB(SSS OB

40、_BD 又.ABD= 45 . OAB= 45，即 OAB 是等腰直角三角形 OA= AB=、2 2 4、如圖，在 ABC 中, AO BC . ACB= 90，以 BC 為直徑的O O 交 AB 于 D. (1)求證：AD= BD (2)弦 CE 交 BD 于 | 若 SAB3SBCM，求. (1) 略證：連接 CD 則 C 吐 AB 又 ACk BC,厶 ACB= 90，二 AD= BD (2) 解：如圖，連接 BE,過 A 作 AN_CE 于 N ABC =3S_BCM， ACM = 2S BCM ANk 2BE v . CANk BCE AO BC, ANG CEB ANCA CEB(

41、 AAS BE= CN CE= AN I 設 CNk BE= x，貝 U CE= ANk BE= 2x , BC= 5x，二 AB= x2 BCk lox ,即卩 BD=x 2 10 4 1、如圖，在 ABC 中, A 吐 AC 以 AB 為直徑的。O 與邊 BC 交于 D,與邊 AC 交于 E, 過 D 作 DF_AC 于 F. (1)求證：DF 為OO 的切線；(2)若 DE= 5 , A 吐 5,求 AE 的長. (1)證：如圖，連接 AD OD v AB 為OO 的直徑， AD 丄 BC 又 AB= AC OAk OB EAD= DAk ADO OD/ AC 又 DF_AC圓的培優專題

42、12 圓的切線與等腰三角形 OD_DF,又 OD 為O O 的直徑 DF 為OO 的切線 (2) 解：T . EAB. DAB 二 BD= DP、5，又 A 吐 5,二 AD=、5(. 5) 2.5 T DFX AC= ADX CD,二 DF= 2 , CF= EF= . ( 5)5-22 =1 , AE= 5 2= 3 2、 如圖,在厶 ABC 中 , A 吐 AC 以邊 AB 為直徑作O O,交 BC 于 D,過 D 作 DI AE. (1)求證：DE 是OO 的切線；(2)連接 OC 若.CA= 120 ,求的值. (1) 證：如圖,連接 AD, OD 貝U AD 丄 BC 又 A 吐

43、AC, A CD= BD,又 AO= OB OD/ AC 又 DE_AE A OD_ DF, DE 是O O 的切線； (2) 解：如圖,過點 O 作 OF 丄 BD 于 F ,貝U BD= 2BF T AB= AC . CA= 120 , . B= 30 “ i j ； / r 設 OF= x ,則 BF= 3x , OB= 2x , AC= A 吐 4x , CD= BD= 2、,3x,貝U CF= 3 3x r L # 由勾股定理，得 O(= 2 7x,由面積法，得 DE= 3x , = 21 . 14 3、 如圖,A 吐 AC 點 O 在 AB 上 , O O 過點 B ,分別交 BC

44、 于 D AB 于 E, DF_ AC. (1)證：DF 為OO 的切線；(2)若 AC 切O O 于 G O O 的半徑為 3 , CF= 1,求 AC. (1) 證：如圖,連接 OD T A 吐 AC, OB= OD N B= N C= ODB OD/ AC 又 DF 丄 AC I-.-. O 吐 DF,又 OD 為O O 的半徑 DF 為OO 的切線 (2) 解：如圖，連接 OG T AC 為O O 的切線 OGAQ 又 OD_DF, DF 丄 AC, O(= OD 四邊形 ODF(是正方形,即 OB= O(= GF= 3 設 AG= x ,貝U AB= AC= x 4 ,貝U AO=

45、x 1 x2 33 =(x 1)2 , x =4 ,則 AC= 8 4、 如圖,CD 是OO 的弦,A 為 CD 的中點,E 為 CD 延長線上一點,EG 切O O 于 G. (1)求證：KG= GE (2)若 AC/ / EG = , AK= 2J10 ,求O O 的半徑. 僅供個人學習參考僅供個人學習參考 (1) 證：如圖，連接 OG OA 交 CD 于點 F A 為 CD 的中點，EG 是O O 的切線 0A 丄 CD OGGE . OAQ AKF= 0G 件 EGK 又.OA& OG, AKF= EKG EG EKG KG= GE (2) 解：AC/ EG 二 CAK EGK

46、又 EG EKG CKA CA CKA 二 CA CK 設 CK CA 5x ,貝U DK 3x , / CD= 8x , CF 4x , EG= x AF、(5x)1 2(4x)2 =3x 在 Rt AFK 中，(3x)2 x2 =(2 10)2 , x=2 I I / CE= 8, AE= 6, 設O O 的半徑為 R,貝U R 82+( R 6) 2,二 R= 圓的培優專題13 圓與三角形的內心 1、如圖，AB 是OO 的直徑，AC =CE，點 M 為 BC 上一點，且 CM AC. i / hV _J F * (1)求證：皿為厶 ABE 的內心；(2)若O O 的半徑為 5, AE8,

47、求厶 BEM 的面積. (1) 證：如圖，連接 CE 則 AC CE= CM CM CEM CE CBE CB+ BE CEA+ AEM AEM BEM 又 ABC CBE 點 皿為厶 ABE 的內心. (2) 解：如圖，過點 M 作 MNBE 于點 N,則 MN%A ABE 的內切圓的半徑. AB= 10, AE= 8,貝U BE= 102 -86 1 BME 的面積為丄X 6X 2 6. 2 2、如圖，O OABC 的外接圓，BC 為直徑，AD 平分.BAC 點皿是厶 ABC 的內心. (1)求證：BC 72DM (2)若 DM 5 丘,AB= 8,求 OM 勺長. (1)證：如圖，連接

48、BD CD v BC 為直徑，AD 平分 BAC 僅供個人學習參考 BE CD,厶 BDC= 90 篤 BC= J CD 連接 CM 則 N ACMk N BCM 厶 DAG N BCD . DM& . ACM DAC= . BCW BCD DCM DM= CD 即 BC=、2 DM (2)解：顯然，BC=、2D* 10, A 吐 8,則 AC= 6,且.MA 昌 45 如圖，過 M 作 ME_BC 于點 N,作 MF_AC 于點 F,則 ME MF= AF= 2 CF= CE 4,貝U OP 1 OM= 22 12 = .-5. ! 3、 如圖，AB 為OO 的直徑，C 為OO 上一

49、點，D 是 BC 的中點，DIAB 于 E, I 是厶 ABD .# 的內心，DI 的延長線交O O 于 N. | - - _ _ I X (1)求證：DE 是OO 的切線；(2)若 DB4, CB2,求OO 的半徑和 IN 的長. I z (/ I _十1 (1) 證：T D 是 BC 的中點，OA= OD 二厶 CAD= N DA3 N ADO OD/ AE 又 DE 丄 AB OHDE 又 OD 為O O 的半徑 DE 是OO 的切線. (2) 解：如圖,過點 O 作 OF 丄 AC,則 AF= CF DE 丄 AB OD_DE 四邊形 ODE!是矩形,貝U O 亡 DE= 4 I. 設

50、O O 的半徑為 R,貝U OA= OD= EF= R, AF= CF= R 2 ( R- 2) 2 + 42=氏, R= 5 , AB= 10 ,如圖,連接 BI, AN BN 則 IN = BN= AN= 5 ,2 4、 如圖,在厶 ABC 中 , A 吐 AC, I 是厶 ABC 的內心,O O 交 AB 于 E , BE 為OO 的直徑. (1)求證：AI 與OO 相切；(2)若 BC= 6 , AB= 5 ,求O O 的半徑. (1) 證：如圖,延長 AI 交 BC 于點 D,貝U AD_BC, 連接 OI ,貝U OIB= OBI= OBD OI / BC,又 AD_BC AD_O

51、I ,又 OI 為O O 的半徑 AI 與OO 相切 MN= 6 8 -10 2 =2 MN= ab a b c 僅供個人學習參考 (2) 顯然 BD= 3 , A 吐 5,則 AD= 4 如圖，過點 I 作 IF _AB 于點 F,則 BF= BD= 3, AF= 2, IF = ID , 設 IF = ID = x，則 Al= 4x，二 x2 22 =(4 x)2，則 IF = x=3 2 設 O 的半徑為 R,則 O 亡 3- R,.( 3-R) 2+() 2=氏，二 R= 圓的培優專題14 圓中動態問題 1、如圖，點 P 是等邊 ABC 外接圓 BC 上的一個動點，求證 PA= PB+

52、 PC. 證：如圖，在 AP 上截取 PD= PC 連接 CD ABC 是等邊三角形，.ABC ACB= 60 DPG ABC= 60 PCD 是等邊三角形，即 CD= PC v . AC+ BCD= BC+ BCD= 60 :.厶 ACDZ BCP 又 AO BC ACDA BCP( SAS AD= BP PA= AD+ DP= PB+ PC. 2、已知弦 AD 丄 BD 且 AB= 2,點 C 在圓上，CD= 1,直線 AD BC 交于點 E. (1) 如圖 1,若點 E 在OO 外，求.AEB 的度數; (2) 如圖 2,若 C、D 兩點在OO 上運動，CD 的 長度不變，點 E 在O

53、O 內，求.AEB 的度數. 解：(1)如圖一 1,連接 OC OD I v AD_BD AB 為OO 的直徑，且 A 吐 2 I.; CD= OC= OD= 1,即厶 OCD 是等邊三角形 CO 氐 60 CBD= COD=30 AEB= 60 (2)如圖一 2,連接 OC OD 同理可得： ACD= 60，二 CBD= COD=30 又 ADB= 90，二 AED= 120 3、已知直線 I 經過O O 的圓心 O,且交O O 于 A B,點 C 在OO 上，且 AO& 30，點 P 是直線 l 上一個動點(與 O 不重合)，直線 CP 與O O 交于 Q,且 QP= QO. 僅供個人學習參考圖1 圖一 2 僅供個人學習參考 (1) 如圖 1,當點 P 在線段 A0 上時，求.OCP 勺度數； (2) 如圖 2,當點 P 在線段 0A 的延長線上時，求.OCP 勺度數; (3) 如圖 3,當點 P 在線段 0B 的延長上時，求.OCP 勺度數. 解：(1)如圖一 1,設.0C 圧 x v 0C= 0Q 則 N 0Q 圧 x 又.A0G 30 , QF Q0 Q0 圧 QP3 x 30 2(x 30 ) x =180 . 0C 圧 x =40 (2)