1、培優(yōu)點(diǎn)十五平行垂直的證明，一、平行的證明例1：如圖，在四麴tPABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在PC上，PC3PE,PD3.(1)證明：CD/平面ABE;(2)若M是BC中點(diǎn)，點(diǎn)N在PD上，MN/平面ABE,求線段PN的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)PN2.【解析】(1)二.底面ABCD是平行四邊形，CD/AB,.CD平面ABE,AB平面ABE,CD/平面ABE.(2)MN/平面ABE,設(shè)過(guò)MN且與平面ABE平行的平面與PC交與點(diǎn)F,與AD交于點(diǎn)G,則MF/BE,MG/AB,又ABCD是平行四邊形，CD/AB,MG/CD,CD/平面MFNG,.CD/FN,一一，一一，一一2一M

2、是BC中點(diǎn)，.F是CE中點(diǎn)，.PC3PE,PF-PC,3PN2PD2.3，二、垂直的證明例2：如圖，在直二棱柱ABCABC1中，BC的交點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AC上，B1C/平面ABDZ/31/（1）求證：BDA1C;（2）求證：AB1平面A1BC.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）證明：連結(jié)ED,比/1、/A1一口一BB1,BACBCAABC,點(diǎn)E是AB與AB12-*VV&25cV：;1ii4i、，干*0平面AB1cI平面ABDED,B1c/平面A1BD，:.BC/ED.E為ABi中點(diǎn)，.D為AC中點(diǎn)，1BACBCAABC,.ABBC,BDAC.2由AA平面ABC,B

3、D平面ABC,得A1ABD.由AA、AC是平面AACCi內(nèi)的兩條相交直線，得BD平面AiACCi,因?yàn)锳C平面AiACCi,故BDAiC.(2)由(i)及條件知ABBC,ABBC,BBi平面ABC,BC平面ABC,BCBB1.2ABIBB1B,AB,BB1平面ABBA,，BC平面ABB1A.3AB1平面ABB1A，.一BCAB1,4BB1BC,BB1AB,四邊形ABB1A是正方形，AB1AB,BCIABB,BC,AB平面ABC,.AB1平面ABC.，對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)、選擇題表小兩個(gè)不同平面，m表不一條直線，下列命題正確的是（）B.B.若m/D.右m【答案】D D【解析】A A 選項(xiàng)，可能m在平面內(nèi)

4、，故錯(cuò)誤；B B 選項(xiàng)，如果m平行與交線，而該兩平面相交，故錯(cuò)誤；C C 選項(xiàng)，m可能在平面內(nèi)，故錯(cuò)誤；D D 選項(xiàng)，滿足平面平行判定條件，故 D D 正確.2.如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AAi底面ABiCi,底面三角形ABG是正三角形，E是BC中點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）A. CC1與&E是異面直線B. AC平面ABB1AlA.A.若m/z-C.C.右 m mC.AE,B1cl為異面直線，且AEB1clD. AC平面ABE【答案】C C【解析】A A 不正確，因?yàn)镃Ci與BiE在同一側(cè)面中，故不是異面直線；B B 不正確，由題意知，上底面ABC是一個(gè)正三角形，故不可能存在

5、AC平面ABB1A；C C 正確，因?yàn)锳E,BiCi為在兩個(gè)平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線,因?yàn)镋是BC中點(diǎn)，所以AEBC,又BC/BiC1,所以AEB1C1；D D 不正確，因?yàn)锳C1所在的底面與平面ABE相交，將平面延伸可知故ACJ/平面ABE不正確；故選C.3.已知正方體ABCDAB1C1D1中，E,F,G分別是BB1,DD1,A1B1的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）【答案】C C【解析】作出圖形如圖所示，O為底面對(duì)角線的交點(diǎn)，觀察可知，B1D/FO,CE/AF,AE/C1F,FO平面AFQ,AF平面AF&,AC1與交線有公共點(diǎn),A. BD/平面A1FC1B. CE

6、/平面AFC1C. CE/平面A1FC1D. AE/平面AFC1GF平面AFC1,所以選項(xiàng) A,B,DA,B,D 正確;因?yàn)镚E/AB,所以GE與平面A1FC1相交，所以選項(xiàng) C C 錯(cuò)誤，故選 C.C.4.如圖，在正四面體PABC中，D,E,F分別是AB,BC,CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論不成立的是（）【解析】因?yàn)锽C/DF,BC平面PDF,DF平面PDF,所以BC/平面PDF,A A 正確；易證BC平面PAE,BC/DF,所以DF平面PAE,所以結(jié)論 B,CB,C 都正確;點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為4ABC的中心，不在中位線DE上，故 D D 錯(cuò)誤.5.若平面/平面，點(diǎn)A,C,B,D，則AC/

7、BD的充要條件是（）A. BC/平面PDFC.平面PDF平面PAEB. DF平面PAED.平面PDE平面ABCDA.AB/CD【解析】二平面/平面，要使直線AC/直線BD,則直線AC與直線BD是共面直線,A,B,C,D四點(diǎn)必須共面，即直線AB與直線CD共面.6 .如圖，在四B隹PABCD中，4PAB與zPBC都是正三角形，平面PAB平面PBC,AC則下列結(jié)論不一定成立的是（）B.PD平面ABCDD.平面PBD平面ABCD【解析】取PB的中點(diǎn)為O,連接AO,CO.YPAB與APBC都是正三角形，.AOPB,COPB.又AOICOO,.PB平面AOC,PBAC,故 A A 不符合題意.PBAC,A

8、CBD,且PBIBDB,.AC平面PBD,，ACPD,故 C C 不符合題意.B.ADCBC.AB與CD相交【答案】D DD.直線AB與直線CD共面A.PBACC.ACPDAC平面PBD,AC平面ABCD,，平面PBD平面ABCD,故 D D 不符合題意故選 B.B.二、填空題7.在正四棱柱ABCDAB1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD的中點(diǎn)，Q在CC上，若存在實(shí)數(shù)使得CQCCi時(shí)，平面DiBQ/平面PAO,則1一【解析】當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)，即CQCG時(shí)，平面D1BQ/平面PAO.2理由如下：:Q為CCi的中點(diǎn)，P為DDi的中點(diǎn)，所以QB/PA.因?yàn)镻,O分別為DD，DB的中點(diǎn)，所

9、以D1B/PO,DB/平面PAO,QB/平面PAO,又DiBIQBB,所以平面D1BQ/平面PAO.8.如圖，AB為圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C為圓O上異于A,B的一點(diǎn)，PAAB,F為PB的中點(diǎn)，AEPC,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是.(1)平面PAC平面PBC(2)平面AEF平面PBC(3)平面AEF平面PAC(4)平面AEF平面PAB【答案】(3)【解析】因?yàn)镻A垂直于圓O所在的平面，所以PABC,因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以BCAC,因?yàn)镻AIACA,所以BC平面PAC,又BC平面PBC,所以平面PAC平面PBC，故(1)正確；由平面PAC平面PBC，及AEPC,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，

10、即可得到AE平面PBC,因?yàn)锳E平面AEF,所以平面AEF平面PBC，故(2)正確；由PAAB,F為PB的中點(diǎn)，得到AFPB,又由AE平面PBC,得到AEPB,AEIAFA,PB平面AEF,進(jìn)而得到平面AEF平面PAB,故(4)正確；若平面AEF平面PAC，而EFAE,可以得到EF平面PAC,則EF而EFPB,則PB/PC,與PBIPCP矛盾，故(3)不正確.三、解答題9.如圖，在直三棱柱ABCAB1cl中，已知ACBC,設(shè)AB1的中點(diǎn)為D,B1cIBC1E,BCCC1,求證：B：10)DE/平面AACiC；11 )BC1平面AB1C.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)

11、依題意四邊形BB1cle為正方形，B1CIBC1E,所以E為B1c的中點(diǎn),又D為ABaq中點(diǎn)， 因此DE/AC.又因?yàn)镈E平面AAC1C,AC平面AAC1C,所以DE/平面AAC1c.(2)因?yàn)槔庵鵄BCAB1cl為直三棱柱，所以CC1底面ABC,因?yàn)锳C平面ABC,所以ACCC1,又因?yàn)锳CBC,CC1平面BB1cle,BC平面BB1cle,CC1IBCC,所以AC平面BB1cle.因?yàn)锽1c平面BB1cle,所以BC1AC.因?yàn)锽CCC1,所以矩形BB1cle是正方形，因此BC1B1c.因?yàn)锳C,B1c平面B1AC,ACIB1cC,所以BC1平面AB1C.ABCAB1C1中，點(diǎn)D,E分別是

12、BC,BG的中點(diǎn)，且AB求證：（1）BE/平面AC1D；(2)平面ADC1平面BCC1B1.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）.在直三棱柱ABCAB1cl中，點(diǎn)D,E分別是邊EC1/BD,EC1BD,，四邊形BDC1E是平行四邊形,BE/DC1,.BE平面AC1D,DC1平面AC1D,BE/平面AC1D.(2)在直三棱柱ABCA1B1cl中，BB1平面ABCAD.點(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)，且ABAC,.ADBC,BCIBB1B,AD平面BCC1B1.AD平面ADC1,平面ADC1平面BCC1B1.11.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，點(diǎn)E在PC上（異于點(diǎn)P,C）

13、,平面ABE與棱PD交于點(diǎn)10.如圖，在直三棱柱BC,BQ中點(diǎn),BB/F.（1）求證：AB/EF;（2）若AFEF,求證：平面PAD平面ABCD.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AB/CD.又AB平面PDC,CD平面PDC,所以AB/平面PDC,又因?yàn)锳B平面ABE,平面ABEI平面PDCEF,所以AB/EF.（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以ABAD.因?yàn)锳FEF,AB/EF,所以ABAF,又ABAD,由點(diǎn)E在PC上(異于點(diǎn)C),所以點(diǎn)F異于點(diǎn)D,AFIADA,AF,AD平面PAD,所以AB平面PAD,又AB平面ABCD,所以平面PAD平面ABCD.1212.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD,AB/CD,CD2AB,ABAD,E,F分別是CD和PC的中點(diǎn).(1)證明