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文檔簡介

1、高中數學立體幾何經典常考題型題型一:空間點、線、面的位置關系及空間角的計算空間點、線、面的位置關系通常考查平行、垂直關系的證明,一般出現在解答題的第(1)問,解答題的第(2)問常考查求空間角,求空間角一般都可以建立空間直角坐標系,用空間向量的坐標運算求解.【例1】如圖,在ABC中,ABC,O為AB邊上一點,且3OB3OC2AB,已知PO平面ABC,2DA2AOPO,且DAPO.(1)求證:平面PBD平面COD;(2)求直線PD與平面BDC所成角的正弦值.(1)證明OBOC,又ABC,OCB,BOC.COAB.又PO平面ABC,OC平面ABC,POOC.又PO,AB平面PAB,POABO,CO平

2、面PAB,即CO平面PDB.又CO平面COD,平面PDB平面COD.(2)解以OC,OB,OP所在射線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.設OA1,則POOBOC2,DA1.則C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,1,1),(0,1,1),(2,2,0),(0,3,1).設平面BDC的一個法向量為n(x,y,z),令y1,則x1,z3,n(1,1,3).設PD與平面BDC所成的角為,則sin .即直線PD與平面BDC所成角的正弦值為.【類題通法】利用向量求空間角的步驟第一步:建立空間直角坐標系.第二步:確定點的坐標.第三步:求向量(直線的方向向量、平面的法

3、向量)坐標.第四步:計算向量的夾角(或函數值).第五步:將向量夾角轉化為所求的空間角.第六步:反思回顧.查看關鍵點、易錯點和答題規范.【變式訓練】 如圖所示,在多面體A1B1D1­DCBA中,四邊形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均為正方形,E為B1D1的中點,過A1,D,E的平面交CD1于F.(1)證明:EFB1C.(2)求二面角E­A1D­B1的余弦值.(1)證明由正方形的性質可知A1B1ABDC,且A1B1ABDC,所以四邊形A1B1CD為平行四邊形,從而B1CA1D,又A1D面A1DE,B1C面A1DE,于是B1C面A1DE.又B1C面B1CD1,面A

4、1DE面B1CD1EF,所以EFB1C.(2)解因為四邊形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均為正方形,所以AA1AB,AA1AD,ABAD且AA1ABAD.以A為原點,分別以,為x軸,y軸和z軸單位正向量建立如圖所示的空間直角坐標系,可得點的坐標A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),而E點為B1D1的中點,所以E點的坐標為.設平面A1DE的一個法向量n1(r1,s1,t1),而該面上向量,(0,1,1),由n1,n1得r1,s1,t1應滿足的方程組(1,1,1)為其一組解,所以可取n1(1,1,1).設平面A1B1

5、CD的一個法向量n2(r2,s2,t2),而該面上向量(1,0,0),(0,1,1),由此同理可得n2(0,1,1).所以結合圖形知二面角E­A1D­B1的余弦值為.題型二:立體幾何中的探索性問題此類試題一般以解答題形式呈現,常涉及線、面平行、垂直位置關系的探究或空間角的計算問題,是高考命題的熱點,一般有兩種解決方式:(1)根據條件作出判斷,再進一步論證;(2)利用空間向量,先假設存在點的坐標,再根據條件判斷該點的坐標是否存在.【例2】如圖,在四棱錐PABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PAPD,ABAD,AB1,AD2,ACCD.(1)求證:PD平面PAB;(2

6、)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在點M,使得BM平面PCD?若存在,求的值;若不存在,說明理由.(1)證明因為平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,ABAD,所以AB平面PAD,所以ABPD.又PAPD,ABPAA,所以PD平面PAB.(2)解取AD的中點O,連接PO,CO.因為PAPD,所以POAD.因為PO平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因為CO平面ABCD,所以POCO.因為ACCD,所以COAD.如圖,建立空間直角坐標系Oxyz.由題意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,1,0),P(0

7、,0,1).設平面PCD的一個法向量為n(x,y,z),則即令z2,則x1,y2.所以n(1,2,2).又(1,1,1),所以cosn,.所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.(3)解設M是棱PA上一點,則存在0,1,使得.因此點M(0,1,),(1,).因為BM平面PCD,所以要使BM平面PCD,則·n0,即(1,)·(1,2,2)0,解得.所以在棱PA上存在點M,使得BM平面PCD,此時.【類題通法】(1)對于存在判斷型問題的求解,應先假設存在,把要成立的結論當作條件,據此列方程或方程組,把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解,是否有規定范圍內的解”等.(2)對

8、于位置探究型問題,通常借助向量,引進參數,綜合已知和結論列出等式,解出參數.【變式訓練】如圖,在四棱錐PABCD中,PD平面ABCD,ABDC,ABAD,DC6,AD8,BC10,PAD45°,E為PA的中點.(1)求證:DE平面BPC;(2)線段AB上是否存在一點F,滿足CFDB?若存在,試求出二面角FPCD的余弦值;若不存在,請說明理由.(1)證明取PB的中點M,連接EM和CM,過點C作CNAB,垂足為點N.CNAB,DAAB,CNDA,又ABCD,四邊形CDAN為平行四邊形,CNAD8,DCAN6,在RtBNC中,BN6,AB12,而E,M分別為PA,PB的中點,EMAB且EM

9、6,又DCAB,EMCD且EMCD,四邊形CDEM為平行四邊形,DECM.CM平面PBC,DE平面PBC,DE平面BPC.(2)解由題意可得DA,DC,DP兩兩互相垂直,如圖,以D為原點,DA,DC,DP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系Dxyz,則A(8,0,0),B(8,12,0),C(0,6,0),P(0,0,8).假設AB上存在一點F使CFBD,設點F坐標為(8,t,0),則(8,t6,0),(8,12,0),由·0得t.又平面DPC的一個法向量為m(1,0,0),設平面FPC的法向量為n(x,y,z).又(0,6,8),.由得即不妨令y12,有n(8,12,9).則cos

10、n,m.又由圖可知,該二面角為銳二面角,故二面角FPCD的余弦值為.題型三:立體幾何中的折疊問題將平面圖形沿其中一條或幾條線段折起,使其成為空間圖形,這類問題稱為立體幾何中的折疊問題,折疊問題常與空間中的平行、垂直以及空間角相結合命題,考查學生的空間想象力和分析問題的能力.【例3】如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,AB5,AC6,點E,F分別在AD,CD上,AECF,EF交BD于點H.將DEF沿EF折到DEF的位置,OD.(1)證明:DH平面ABCD;(2)求二面角BDAC的正弦值.(1)證明由已知得ACBD,ADCD.又由AECF得,故ACEF.因此EFHD,從而EFDH.由AB

11、5,AC6得DOBO4.由EFAC得.所以OH1,DHDH3.于是DH2OH2321210DO2,故DHOH.又DHEF,而OHEFH,所以DH平面ABCD.(2)解如圖,以H為坐標原點,的方向為x軸正方向,建立空間直角坐標系Hxyz.則H(0,0,0),A(3,1,0),B(0,5,0),C(3,1,0),D(0,0,3),(3,4,0),(6,0,0),(3,1,3).設m(x1,y1,z1)是平面ABD的一個法向量,則即所以可取m(4,3,5).設n(x2,y2,z2)是平面ACD的一個法向量,則即所以可取n(0,3,1).于是cosm,n.sinm,n.因此二面角BDAC的正弦值是.【

12、類題通法】立體幾何中的折疊問題,關鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關系和度量關系的變化情況,一般地翻折后還在同一個平面上的性質不發生變化,不在同一個平面上的性質發生變化.【變式訓練】如圖1,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD,ABBC1,AD2,E是AD的中點,O是AC與BE的交點.將ABE沿BE折起到A1BE的位置,如圖2.(1)證明:CD平面A1OC;(2)若平面A1BE平面BCDE,求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值.(1)證明在題圖1中,因為ABBC1,AD2,E是AD的中點,BAD,所以BEAC.即在題圖2中,BEOA1,BEOC,從而BE平面A1OC.又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解由已知,平面A1BE平面BCDE,又由(1)知,BEOA1,BEOC,所以A1OC為二面角A1BEC的平面角,所以A1OC.如圖,以O為原點,分別為x

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