1、第二章空間向量與立體幾何(A)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)1以下命題中，不正確的個數為()|a|b|ab|是a，b共線的充要條件；若ab，則存在唯一的實數，使ab；若a·b0，b·c0，則ac；若a，b，c為空間的一個基底，則ab，bc，ca構成空間的另一個基底； |(a·b)·c|a|·|b|·|c|.A2 B3 C4 D52直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，則等于()Aabc BabcCabc Dabc3已知a(2,4,5)，b(3，x，y)，若ab，則()Ax6

2、，y15 Bx3，yCx3，y15 Dx6，y4已知空間三點A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分別與，垂直，則向量a為()A(1,1,1)B(1，1，1)C(1,1,1)或(1，1，1)D(1，1,1)或(1,1，1)5已知A(1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，則sin，等于()A B. C. D6在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，則AB1與C1B所成角的大小為()A60° B90° C105° D75°7若兩個不同平面，的法向量分別為u(1,2，1)，v(3，6,3)，則()

3、A BC，相交但不垂直 D以上均不正確8若兩點A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，當|取最小值時，x的值等于()A19 B C. D.9.如圖所示，在四面體PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BAPC的余弦值為()A. B. C. D.10在正方體ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中點，則sin，的值等于()A. B.C. D.題號12345678910答案二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11若a(2，3,5)，b(3,1，4)，則|a2b|_.12若三點A(1，2,1)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，則ABC的形狀是_13如圖所示，已

4、知正四面體ABCD中，AEAB，CFCD，則直線DE和BF所成角的余弦值為_14平面的法向量為(1,0，1)，平面的法向量為(0，1,1)，則平面與平面所成二面角的大小為_15.如圖所示，已知二面角l的平面角為 ，ABBC，BCCD，AB在平面內，BC在l上，CD在平面內，若ABBCCD1，則AD的長為_三、解答題(本大題共6小題，共75分)16(12分)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1，CA1BC1.求證：AB1CA1.17(12分)已知四邊形ABCD的頂點分別是A(3，1，2)，B(1，2，1)，C(1,1，3)，D(3，5,3)求證：四邊形ABCD是一個梯形18.(12分)如

5、圖所示，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為A1D1和CC1的中點(1)求證：EF平面ACD1；(2)求異面直線EF與AB所成角的余弦值19(12分)如圖所示，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD.求證：C1CBD.20.(13分)如圖，在空間四邊形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45°，OAB60°，求OA與BC所成角的余弦值21(14分)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是棱BC，CC1上的點，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求異面直線EF與A1D所成角

6、的余弦值；(2)證明AF平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值第二章空間向量與立體幾何(A)1C只有命題正確2D如圖，bac.3Dab，存在實數，使，.4C設a(x，y，z)，(2，1,3)，(1，3,2)，又|a|，a，a，或a(1,1,1)或a(1，1，1)5C(1,0,0)，(2，2,1)，cos，sin，.6B建立如圖所示的空間直角坐標系，設BB11，則A(0,0,1)，B1，C1(0，0)， B.，·10，即AB1與C1B所成角的大小為90°.7Av3u，vu.故.8C(1x,2x3，3x3)，則|.故當x時，|取最小值9C如圖所示，作BDAP于D，作CE

7、AP于E，設AB1，則易得CE，EP，PAPB，可以求得BD，ED.，22222·2·2·.·，cos，即二面角BAPC的余弦值為.10B以D為原點，DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，易知(1,1,1)，故cos，從而sin，.11.解析a2b(8，5,13)，|a2b|.12不等邊的銳角三角形解析(3,4,2)，(5,1,3)，(2，3，1)，·>0，得A為銳角；·>0，得C為銳角；·>0，得B為銳角，所以ABC是銳角三角形且|，|，|.13.解析因四面體ABC

8、D是正四面體，頂點A在底面BCD內的射影為BCD的垂心，所以有BCDA，ABCD.設正四面體的棱長為4，則·()·()0··04×1×cos 120°1×4×cos 120°4，BFDE，所以異面直線DE與BF的夾角的余弦值為：cos .14.或解析設n1(1,0，1)，n2(0，1,1)，則cosn1，n2，n1，n2.因平面與平面所成的角與n1，n2相等或互補，所以與所成的角為或.15.解析因為，所以22222·2·2·1112cos()32cos .所以|，即

9、AD的長為.16證明以A為原點，AC為x軸，AA1為z軸建立空間直角坐標系設B(a，b,0)，C(c,0,0)，A1(0,0，d)，則B1(a，b，d)，C1(c,0，d)，(a，b，d)，(ca，b，d)，(c,0，d)，由已知·caa2b2d20，·c(ca)d20，可得c2a2b2.再由兩點間距離公式可得：|AB1|2a2b2d2，|CA1|2c2d2a2b2d2，AB1CA1.17證明因為(1,2，1)(3，1,2)(2,3，3)，(3，5,3)(1,1，3)(4，6,6)，因為，所以和共線，即ABCD.又因為(3，5,3)(3，1,2)(0，4,1)，(1,1，3

10、)(1,2，1)(2，1，2)，因為，所以與不平行，所以四邊形ABCD為梯形18(1)證明如圖所示，分別以DA、DC、DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，由已知得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，E(1,0,2)，F(0,2,1)易知平面ACD1的一個法向量是(2,2,2)又(1,2，1)，由·2420，.又EF平面ACD1，EF平面ACD1.(2)解(0,2,0)，cos，.19證明設a，b，c，依題意，|a|b|，又設，中兩兩所成夾角為，于是ab，·c·(ab)c·ac·b|c|a|cos |c|b|cos 0，所以C1CBD.20解因為，所以···|cos，|cos，8×4×cos 135°8×6×cos 120°1624.所以cos，.即OA與BC所成角的余弦值為.21(1)解如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點設AB1，依題意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E.易得，(0,2，4)，于是cos，.所以異面直線EF與