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文檔簡介
1、導數概念與運算知識清單1導數的概念函數y=f(x),如果自變量x在x處有增量,那么函數y相應地有增量=f(x+)f(x),比值叫做函數y=f(x)在x到x+之間的平均變化率,即=。如果當時,趨向于一個常數A,我們就說函數y=f(x)在點x處可導,并把這個極限叫做f(x)在點x處的導數,記作f(x)或y|。即f'(x)=().說明:求函數y=f(x)在點x處的導數的步驟:(1)求函數的增量=f(x+)f(x);(2)求平均變化率=;(3)取極限,得導數f(x)=().2導數的幾何意義函數y=f(x)在點x處的導數的幾何意義是曲線y=f(x)在點p(x,f(x)處的切線的斜率。也就是說,曲
2、線y=f(x)在點p(x,f(x)處的切線的斜率是f(x)。相應地,切線方程為yy=f/(x)(xx)。3幾種常見函數的導數: ; ; ; .4兩個函數的和、差、積的求導法則法則1:兩個函數的和(或差)的導數,等于這兩個函數的導數的和(或差),即: (法則2:兩個函數的積的導數,等于第一個函數的導數乘以第二個函數,加上第一個函數乘以第二個函數的導數,即:若C為常數,則.即常數與函數的積的導數等于常數乘以函數的導數: 法則3:兩個函數的商的導數,等于分子的導數與分母的積,減去分母的導數與分子的積,再除以分母的平方:=(v0)。導數應用知識清單1 單調區(qū)間:一般地,設函數在某個區(qū)間可導,如果,則為
3、增函數; 如果,則為減函數;如果在某區(qū)間內恒有,則為常數;2極點與極值:曲線在極值點處切線的斜率為0,極值點處的導數為0;曲線在極大值點左側切線的斜率為正,右側為負;曲線在極小值點左側切線的斜率為負,右側為正;3最值:一般地,在區(qū)間a,b上連續(xù)的函數f在a,b上必有最大值與最小值。求函數在(a,b)內的極值;求函數在區(qū)間端點的值(a)、(b);將函數 的各極值與(a)、(b)比較,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。課前預習1求下列函數導數(1) (2) (3) (4)y= 2若曲線的一條切線與直線垂直,則的方程為 3過點(1,0)作拋物線的切線,則其中一條切線為 4曲線和在它們交點處的兩
4、條切線與軸所圍成的三角形面積是 。5在區(qū)間上的最大值是 2典型例題一 導數的概念與運算例1:如果質點A按規(guī)律s=2t3運動,則在t=3 s時的瞬時速度為54m/s 變式:定義在D上的函數,如果滿足:,常數,都有M成立,則稱是D上的有界函數,其中M稱為函數的上界.(1)若已知質點的運動方程為,要使在上的每一時刻的瞬時速度是以M=1為上界的有界函數,求實數a的取值范圍.a2例:求所給函數的導數:。變式:設f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,當x0時,0.且g(3)=0.則不等式f(x)g(x)0的解集是(, 3)(0, 3)例2:已知函數.(1)求這個函數的導數;(2)求這個函數在
5、點處的切線的方程.變式1:已知函數.(1)求這個函數在點處的切線的方程;(2)過原點作曲線yex的切線,求切線的方程.變式2:函數yax21的圖象與直線yx相切,則a例3:判斷下列函數的單調性,并求出單調區(qū)間:變式1:函數的一個單調遞增區(qū)間是變式2:已知函數(1)若函數的單調遞減區(qū)間是(-3,1),則的是 . (2)若函數在上是單調增函數,則的取值范圍是 .例4:求函數的極值.求函數在上的最大值與最小值.變式1:已知函數在點處取得極大值,其導函數的圖象經過點,如圖所示.求:()的值;()的值.變式2:若函數,當時,函數極值,(1)求函數的解析式;(2)若函數有3個解,求實數的取值范圍變式3:已
6、知函數,對xÎ1,2,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范圍。 實戰(zhàn)訓練1. 已知曲線S:y=3xx3及點,則過點P可向S引切線的條數為 2. y=2x33x2+a的極大值為6,那么a等于 3. 函數f(x)x33x+1在閉區(qū)間-3,0上的最大值、最小值分別是 4.設l1為曲線y1=sinx在點(0,0)處的切線,l2為曲線y2=cosx在點(,0)處的切線,則l1與l2的夾角為_. 5. 設函數f (x)=x3+ax2+bx1,若當x=1時,有極值為1,則函數g(x)=x3+ax2+bx的單調遞減區(qū)間為 . 6(07湖北)已知函數的圖象在點處的切線方程是,則 7(07湖南
7、)函數在區(qū)間上的最小值是 實戰(zhàn)訓練B1(07海南)曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為2(07江蘇)已知二次函數的導數為,對于任意實數都有,則的最小值為 23(07江西)若,則下列命題正確的是( )BABCD4(07全國一)曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為5(07全國二)已知曲線的一條切線的斜率為,則切點的橫坐標為 16 (07北京)是的導函數,則的值是 38(07廣東)函數的單調遞增區(qū)間是 9(07江蘇)已知函數在區(qū)間上的最大值與最小值分別為,則 作業(yè)1設函數的導函數為,則函數的值域為( ) (A) (B) (C) (D)-2,+22設其中,則等于( ) (A) (B) (C
8、) (D)3已知,則的值是( ) (A) (B) (C) (D)4一木塊沿某一斜面自由下滑,測得下滑的水平距離與時間之間的函數關系式為,則時,此木塊在水平方向的瞬時速度為( ) (A)2 (B)1 (C) (D)5路燈距地平面8m,一個身高1.6m的人以2m/s的速度在地平面上,從路燈在地平面的射影點C開始沿某直線離開路燈,那么人影長度的變化速度為( )(A) (B) (C) (D)6已知函數沒有極值點,則的取值范圍是( ) (A) (B)或 (C) (D)或7若與在區(qū)間1,2上都是減函數,則的取值范圍是( ) (A) (B) (C)(0,1) (D)(0,18若函數的圖象如下圖所示,則的取值范圍是( ) (A) (B)(0,3)(C)(1,3) (D)(2,3)9已知,那么是( ) (A)僅有最小值的奇函數 (B)既有最大值又有最小值的偶函數(C)僅有最大值的偶函數 (D)非奇非偶函數10函數的定義域為開區(qū)間,導函數內的圖象如下圖所示
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