1、【創(chuàng)新設(shè)計】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計案例練習(xí) 北師大版選修1-21回歸分析題目擊破一、基本概念函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系，回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法例1下列變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是_(1)正方形的邊長與面積之間的關(guān)系；(2)水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；(3)人的身高與年齡之間的關(guān)系；(4)降雪量與交通事故發(fā)生率之間的關(guān)系分析兩變量之間的關(guān)系有兩種：函數(shù)關(guān)系和帶有隨機性的相關(guān)關(guān)系解析(1)是函數(shù)關(guān)系；(2)不是嚴格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系；(3)既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因為人的年齡達到一定

2、時期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而它們不具有相關(guān)關(guān)系；(4)降雪量與交通事故發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系答案(2)(4)點評該例主要考查對變量相關(guān)關(guān)系概念的掌握二、線性回歸方程設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，且相應(yīng)于n個觀測值的n個點大致分布在一條直線的附近，這條直線就叫作回歸直線例2假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料：使用年限x23456維修費用y2.23.85.56.57.0若由資料知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：(1)回歸方程yabx；(2)估計使用年限10年時，維修費用是多少？分析因為y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，所以可以用線性相關(guān)的方法解決問題解(1)制表i

3、12345合計xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3x49162536904，5，x90，xiyi112.3于是有b1.23，ab51.2340.08.回歸方程為y1.23x0.08.(2)當x10時，y1.23100.0812.38(萬元)，即估計使用10年時維修費用約是12.38萬元點評已知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，無須進行相關(guān)性檢驗，否則，應(yīng)首先進行相關(guān)性檢驗三、非線性回歸問題分析非線性回歸問題的具體做法是：(1)若問題中已給出經(jīng)驗公式，這時可以將解釋變量進行變換(換元)，將變量的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，將問題化為線

4、性回歸分析問題來解決(2)若問題中沒有給出經(jīng)驗公式，需要我們畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，通過與各種函數(shù)(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的圖像作比較，選擇一種與這些散點擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當?shù)淖兞孔儞Q，將問題化為線性回歸分析問題來解決下面舉例說明非線性回歸分析問題的解法例3某地區(qū)對本地的企業(yè)進行了一次抽樣調(diào)查，表中是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本x(單位：萬元)與人均產(chǎn)值y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)：人均資本x/萬元345.56.578910.511.514人均產(chǎn)值y/萬元4.124.678.6811.0113.0414.4317.5025.4626.6645.20(1)設(shè)y與x之間具有近似關(guān)

5、系yaxb (a，b為常數(shù))，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計a和b的值；(2)估計企業(yè)人均資本為16萬元時的人均產(chǎn)值(精確到0.01)解(1)在yaxb的兩邊取常用對數(shù)，可得lg ylg ablg x，設(shè)lg yz，lg aA，lg xX，則zAbX.相關(guān)數(shù)據(jù)計算如圖所示.人均資本x/萬元345.56.57人均產(chǎn)出y/萬元4.124.678.6811.0113.04Xlg x0.477 120.602 060.740 360.812 910.845 1zlg y0.614 90.669 320.938 521.041 791.115 28人均資本x/萬元8910.511.514人均產(chǎn)出y/萬元14.431

6、7.525.4626.6645.2Xlg x0.903 090.954 241.021 191.060 71.146 13zlg y1.159 271.243 041.405 861.425 861.655 14由公式(1)可得由lg a0.215 5，得a0.608 8，即a，b的估計值分別為0.608 8和1.567 7.(2)由(1)知y0.608 8x1.567 7.樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖所示當x16時，y0.608 8161.567 747.01(萬元)，故當企業(yè)人均資本為16萬元時，人均產(chǎn)值約為47.01萬元.2巧解非線性回歸問題如果題目所給樣本點的分布不呈帶狀分布，即兩個變

7、量不呈線性關(guān)系，那么，就不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量之間的關(guān)系，這時我們可以把散點圖和已經(jīng)學(xué)過的各種函數(shù)，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等作比較，挑選出與這些散點擬合最好的函數(shù)，然后利用變量置換，把非線性回歸方程問題轉(zhuǎn)化為線性回歸方程的問題來解決，這是解決此類問題的通法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想一、案例分析例一個昆蟲的某項指標和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了7組數(shù)據(jù)如下表：溫度x/2345678某項指標y5.7906.8108.19910.00112.19014.79017.801試建立某項指標y關(guān)于溫度x的回歸模型，并判斷你所建立的回歸模型的擬合效果分析根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖，再由圖設(shè)出相應(yīng)的回

8、歸模型解畫出散點圖如圖所示，樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，而是分布在某一條二次函數(shù)曲線yBx2A的周圍令Xx2，則變換后的樣本點應(yīng)該分布在ybXa(bB，aA)的周圍由已知數(shù)據(jù)可得變換后的樣本數(shù)據(jù)表：X491625364964某項指標y5.7906.8108.19910.00112.19014.79017.801計算得到線性回歸方程為y0.199 94X4.999 03.用x2替換X，得某項指標y關(guān)于溫度x的回歸方程y0.199 94x24.999 03.計算得r0.999 997，幾乎為1，說明回歸模型的擬合效果非常好點評本題是非線性回歸分析問題，解決這類問題應(yīng)該先畫出散點圖，把它與我們

9、所學(xué)過的函數(shù)圖像相對照，選擇一種跟這些樣本點擬合的最好的函數(shù)，然后采用適當?shù)淖兞孔儞Q轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題，使之得以解決二、知識拓展常見的非線性函數(shù)轉(zhuǎn)換方法：(1)冪型函數(shù)yaxm(a為正數(shù)，x，y取正值)解決方案：對yaxm兩邊取常用對數(shù)，有l(wèi)g ylg amlg x，令ulg y，vlg x，則原式可變?yōu)閡mvlg a，其中m，lg a為常數(shù)，該式表示u，v的線性函數(shù)(2)指數(shù)型函數(shù)ycax(a，c0，且a1)解決方案：對ycax兩邊取常用對數(shù)，則有l(wèi)g ylg cxlg a，令ulg y，則原式可變?yōu)閡xlg alg c，其中l(wèi)g a和lg c為常數(shù)，該式表示u，x的線性函數(shù)與冪函數(shù)不同

10、的是x保持不變，用y的對數(shù)lg y代替了y.(3)反比例函數(shù)y(k0)解決方案：令u，則yku，該式表示y，u的線性函數(shù)(4)二次函數(shù)yax2c解決方案：令ux2，則原函數(shù)可變?yōu)閥auc，該式表示y，u的線性函數(shù)(5)對數(shù)型函數(shù)yclogax解決方案：令xau，則原函數(shù)可變?yōu)閥cu，該式表示y，u的線性函數(shù).3判斷兩個分類變量的關(guān)系本章的重點是用獨立性檢驗的基本思想對兩個分類變量作出明確的判斷，下面通過典例剖析如何判斷兩個分類變量的關(guān)系例某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對待企業(yè)改革態(tài)度的關(guān)系，隨機抽取了189名員工進行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：積極支持企業(yè)改革不太贊成企業(yè)改革合

11、計工作積極544094工作一般326395合計86103189對于人力資源部的研究項目，根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出什么結(jié)論？分析首先由已知條件確定a、b、c、d、n的數(shù)值，再利用公式求出2的值，最后根據(jù)2值分析結(jié)果解由題目中表的數(shù)據(jù)可知：210.759.因為10.7596.635，所以有99%的把握說員工“工作積極”與“積極支持企業(yè)改革”有關(guān)，可以認為企業(yè)的全體員工對待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性是有關(guān)的點評在列聯(lián)表中注意事件的對應(yīng)及有關(guān)值的確定，避免混亂；在判斷兩個分類變量的關(guān)系的可靠性時一般利用隨機變量來確定；把計算出的2的值與臨界值作比較，確定出“A與B有關(guān)系”的把握.4獨立性檢驗思想的應(yīng)用在日

12、常生活中，經(jīng)常會面臨一些需要推斷的問題在對這些問題作出推斷時，我們不能僅憑主觀臆斷作出結(jié)論，需要通過試驗來收集數(shù)據(jù)，并依據(jù)獨立性檢驗思想做出合理的推斷所謂獨立性檢驗，就是根據(jù)采集樣本的數(shù)據(jù)，利用公式計算2的值，比較與臨界值的大小關(guān)系來判定事件A與B是否有關(guān)的問題其基本步驟如下：(1)考察需抽樣調(diào)查的背景問題，確定所涉及的變量是否為二值分類變量；(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制作列聯(lián)表；(3)計算統(tǒng)計量2，并查表分析當2很大時，就認為兩個變量有關(guān)系；否則就認為沒有充分的證據(jù)顯示兩個變量有關(guān)系下面舉例說明獨立性檢驗思想在解決實際問題中的應(yīng)用例為了調(diào)查患慢性氣管炎是否與吸煙有關(guān)，調(diào)查了339名50歲以上的人，統(tǒng)計結(jié)果為：患慢性氣管炎共有56人，患慢性氣管炎且吸煙的有43人，未患慢性氣管炎但吸煙的有162人根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，分析患慢性氣管炎與吸煙在多大程度上有關(guān)系？解根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)得到如下22列聯(lián)表：患慢性氣管炎未患慢性氣管炎總計吸煙43162205不吸煙13121134總計56283339由列聯(lián)表可以粗略估計出：有吸煙者中，有