1、【精品文檔】如有侵權，請聯系網站刪除，僅供學習與交流泰勒公式及其應用(數學考研).精品文檔.第2章 預備知識前面一章我們介紹了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在數學中有多大的用處呢？那么從這一章開始我們就要來學習一下所謂的泰勒公式，首先來了解一下它是在什么樣的背景下產生的給定一個函數在點處可微，則有：這樣當時可得近似公式或 即在點附近，可以用一個的線形函數（一次多項式）去逼近函數，但這時有兩個問題沒有解決：（1） 近似的程度不好，精確度不高因為我們只是用一個簡單的函數一次多項式去替代可能是十分復雜的函數（2）近似所產生的誤差不能具體估計，只知道舍掉的是一個高階無窮小量，如果要求誤

2、差不得超過，用去替代行嗎？因此就需要用新的逼近方法去替代函數在下面這一節我們就來設法解決這兩個問題2.1Taylor公式 首先看第一個問題，為了提高近似的精確程度，我們可以設想用一個的次多項式在附近去逼近，即令 （2.1）從幾何上看，這表示不滿足在附近用一條直線（曲線在點的切線）去替代，而是想用一條次拋物線去替代它我們猜想在點附近這兩條曲線可能會擬合的更好些那么系數，如何確定呢？假設本身就是一個次多項式，顯然，要用一個次多項式去替代它，最好莫過它自身了，因此應當有于是得：求一次導數可得：又求一次導數可得：這樣進行下去可得：因此當是一個次多項式時，它就可以表成： （2.2）即附近的點處的函數值可

3、以通過點的函數值和各級導數值去計算通過這個特殊的情形，我們得到一個啟示，對于一般的函數，只要它在點存在直到階的導數，由這些導數構成一個次多項式稱為函數在點處的泰勒多項式，的各項系數 ，稱為泰勒系數因而次多項式的次泰勒多項式就是它本身2.2 Taylor公式的各種余項對于一般的函數，其次多項式與函數本身又有什么關系呢？函數在某點附近能近似地用它在點的次泰勒多項式去替代嗎？如果可以，那怎樣估計誤差呢？下面的定理就是回答這個問題的定理1 (帶拉格朗日型余項的公式)假設函數在上存在直至階的連續導函數，則對任一,泰勒公式的余項為其中為與間的一個值.即有 (2.3) 推論1 當，（2.3）式即為拉格朗日中

4、值公式：所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推廣 推論2 在定理1中,若令則稱為一般形式的余項公式, 其中在上式中，即為拉格朗日型余項若令，則得此式稱為柯西余項公式當，得到泰勒公式：， （2.4）則（2.4）式稱為帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公式定理 （帶皮亞諾型的余項的公式） 若函數在點處存在直至階導數，則有則當時，即有 （2.5）定理3所證的（2.5）公式稱為函數在點處的泰勒公式， 稱為泰勒公式的余項的，形如的余項稱為皮亞諾型余項，所以（2.5）式又稱為帶有皮亞諾型余項的泰勒公式當（2.5）式中時，可得到 （2.6）（2.6）式稱為帶有皮亞諾型余項的麥克勞林公式，此展開式在一些求極

5、限的題目中有重要應用 由于，函數的各階泰勒公式事實上是函數無窮小的一種精細分析，也是在無窮小領域將超越運算轉化為整冪運算的手段這一手段使得我們可能將無理的或超越函數的極限，轉化為有理式的極限，從而使得由超越函數所帶來的極限式的奇性或不定性，得以有效的約除，這就極大的簡化了極限的運算這在后面的應用中給以介紹定理 設，函數在內具有階連續導數，且，在內的泰勒公式為 （2.7）則證明：在內的帶皮亞諾型余項的泰勒公式：將上式與（2.7）式兩邊分別相減，可得出從而令，得故 由上面的證明我們可以看得出，當趨近于無窮大時，泰勒公式的近似效果越好，擬合程度也越好第3章 泰勒公式的應用由于泰勒公式涉及到的是某一定

6、點及處函數及階導數值：，以及用這些值表示動點處的函數值，本章研究泰勒公式的具體應用，比如近似計算，證明中值公式，求極限等中的應用3.1 應用Taylor公式證明等式例3.1.1 設在上三次可導，試證： ，使得證明： (利用待定系數法)設為使下列式子成立的實數： （3.1）這時，我們的問題歸為證明：，使得：令，則根據羅爾定理，使得，即：這是關于的方程，注意到在點處的泰勒公式：其中，比較可得原命題成立例3.1.2 設在上有二階導數，試證：，使得 （3.2）證明：記，則在處泰勒公式展開式為： （3.3）對（3.3）式兩端同時取上的積分，注意右端第二項積分為0，對于第三項的積分，由于導數有介值性，第一

7、積分中值定理成立：，使得因此原命題式成立因此可以從上述兩個例子中得出泰勒公式可以用來證明一些恒等式，既可以證明微分中值等式，也可以證明積分中值等式以后在遇到一些等式的證明時，不妨可以嘗試用泰勒公式來證明證明等式后我們在思考，它能否用來證明不等式呢？經研究是可以的，下面我們通過幾個例子來說明一下3.2 應用Taylor公式證明不等式例3.4設在上二次可微，試證：，證明：取，將在處展開其中以乘此式兩端，然后個不等式相加，注意得：例3.2.2 設在上有二階導數，當時，試證：當時，證明：在處的泰勒展開式為：其中將分別換為，可得： （3.4） （3.5）所以（3.4）式減（3.5）式得：從而，例3.2.

8、3 設在上二階可導，證明：，有證明：在，處的泰勒展開式分別為：令，則有， （3.6） ， （3.7）（3.7）（3.6）得：則有令，即有例3.2.4 設二次可微， ， ，試證：證明：因在上連續，故有最大值，最小值又因，故最大值在內部達到，所以使得于是為極大值，由費馬定理有：，在處按Taylor公式展開：使得：， （3.8） （3.9）因此而時， 時，所以，由上述幾個例題可以看出泰勒公式還可以用來證明不等式，例3.2.1說明泰勒公式可以根據題目的條件來證明函數的凹凸性，例3.2.2說明可以對某些函數在一定范圍內的界進行估計，例3.2.3是用泰勒公式證明中值不等式，例3.2.4與例3.2.2很相似

9、，只不過前者是界的估計，后者是對導數的中值估計證明不等式有很多種方法，而學習了泰勒公式后，又增添了一種方法，在以后的學習中我們要會靈活應用但前提是要滿足應用的條件，那就是泰勒公式成立的條件3.3 應用Taylor公式求極限例3.3.1求解：在這里我們用泰勒公式求解，考慮到極限，用帶皮亞諾型余項的麥克勞林公式展開，則有所以，像這類函數用泰勒公式求極限就比較簡單，因為使用洛畢達法則比較麻煩和復雜例3.3.2 設函數在上二次連續可微，如果存在，且在上有界，試證：證明：要證明，即要證明：，當時利用公式， （3.10）即 （3.11）記，因有界，所以，使得故由（3.11）知 （3.12），首先可取充分小

10、，使得， 然后將固定，因， 所以，當時從而由（3.12）式即得：即例3.3.3 判斷下列函數的曲線是否存在漸近線，若存在的話，求出漸近線方程（1）；（2）解：（1）首先設所求的漸近線為 ，并令 ，則有：從中解出：，所以有漸近線：（2）設，則有從中解出：，所以有漸近線： 從上面的例子中我們可以看得出泰勒公式在判斷函數漸近線時的作用，因而我們在判斷函數形態時可以考慮這個方法，通過求極限來求函數的漸進線上述三個例子都是泰勒公式在求極限的題目上的應用，例3.3.1是在具體點或者是特殊點的極限，而第二個例子是求無窮遠處的極限，第三個是利用極限來求函數的漸近線，學習了數學分析，我們知道求極限的方法多種多樣

11、，但對于有些復雜的題目我們用洛必達法則或其他方法是很難求出，或者是比較復雜的，我們不妨用泰勒公式來解決3.4 應用Taylor公式求中值點的極限例3.4.1 設(1)在內是階連續可微函數，此處；(2)當時，有 ，但是；(3)當時有 （3.13）其中，證明：證明：要求出的極限必須設法解出，因此將（3.13）式左邊的及右端的在處展開，注意條件(2)，知使得 ， （3.14）， （3.15）于是（3.13）式變為從而因，利用的連續性，由此可得 這個例子可以作為定理來使用，但前提是要滿足條件以后只要遇到相關的題目就可以簡單應用3.5 應用Taylor公式近似計算由于泰勒公式主要是用一個多項式去逼近函數

12、，因而可用于求某些函數的近似值，或根據誤差確定變量范圍特別是計算機編程上的計算例3.5.1 求：（1）計算的值，使其誤差不超過；（2）用泰勒多項式逼近正弦函數，要求誤差不超過，以的情形討論的取值范圍解：(1) 由于的麥克勞林的泰勒展開式為：當時，有故 當時，有從而省略而求得的近似值為：(2) 當時， ，使其誤差滿足：只需（弧度），即大約在原點左右37°2938范圍內，上述三次多項式逼近的誤差不超過3.6 應用Taylor公式求極值定理3.1 設在附近有階連續導數，且（1）如果為偶數，則不是的極值點（2）如果為奇數，則是的嚴格極值點，且當時，是的嚴格極小值點；當 時，是的嚴格極大值點證

13、明：將在點處作帶皮亞諾型余項的展開，即：于是由于故，中，與同號（1）如果為偶數，則由在附近變號知，也變號，故不是的極值點（2）如果為奇數，則為偶數，于是，在附近不變號，故與同號若，則，為的嚴格極小值點若，則，為的嚴格極大值點例3.6.1 試求函數的極值解：設，由于，因此是函數的三個穩定點的二階導數為由此得，及所以在時取得極小值求三階導數有，由于，則為偶數，由定理3.1知在不取極值.再求的四階導數有因為，則為奇數，由定理3.1知在處取得極大值綜上所述，為極大值，為極小值由上面的例題我們可以了解到定理3.1也是判斷極值的充分條件3.7 應用Taylor公式研究函數圖形的局部形態定理3.2 設為任一

14、非空集合，函數在處階可導，且滿足條件：，（1）為偶數，如果，則曲線在點的鄰近位于曲線過此點的切線的上（下）方（2）為奇數，則曲線在點的鄰近位于該點切線的兩側，此時稱曲線在點處與該點的切線橫截相交證明：因為在處階可導，并且，所以在的開鄰域 內的階公式為于是由于由此可見：，有：與同號（1）當為偶數，如果，則這就表明在點鄰近，曲線位于切線的上方；如果，則有因此，在點鄰近，曲線位于切線的下方（2）當為奇數，這時若，則由此知，在的右側，曲線位于切線的上（下）方；而在的左側，曲線位于切線的下（上）方因此，曲線在點處與該點的切線橫截相交3.8 應用Taylor公式研究線形插值例3.8.1（線形插值的誤差公式） 設為實一元函數，為兩點與所決定的線形函數，即，稱為在區間上的線形插值如果在區間上二階可導，在上連續，那么，我們可以對這種插值法帶來的誤差作出估計應用帶Lagrange型余項Taylor公式：，使得其中，最后一個式子是由于，以及Darboux定理推得如果為的上界（特別當在上連續時，根據最值定理，取），則誤差估計為這表明，愈小線性插值的逼近效果就會愈好，當很小時，曲線的切線改變得不劇烈，這也是符合幾何直觀的3.9 應用Taylor公式