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文檔簡介

1、1 / 15二次三項(xiàng)式的因式分解及一元二次方程的應(yīng)用內(nèi)容分析本節(jié)涉及的二次三項(xiàng)式的因式分解,是不能直接運(yùn)用十字相乘法進(jìn)行因式分 解,針對(duì)此類的二次三項(xiàng)式要借助一元二次方程的知識(shí)進(jìn)行解答.同時(shí),通過本節(jié)的學(xué)習(xí),充分了解二次三項(xiàng)式與其相對(duì)應(yīng)的一元二次方程之間的聯(lián)系.其次, 會(huì)運(yùn)用方程思想解決實(shí)際問題,重點(diǎn)問題找到題目中的等量關(guān)系,其中列方程思 想是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容.知識(shí)結(jié)構(gòu)模塊一:二次三項(xiàng)式因式分解知識(shí)精講1、二次三項(xiàng)式的因式分解(1)形如ax2 bx c a, b, c都不為零 的多項(xiàng)式稱為二次三項(xiàng)式;(2)如果一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根是Xi和x2,那么二次三項(xiàng)式的分解

2、公式為: ax2 bx c a x xi x x2.例題解析2 / 15【例1】若方程4y2 2y 1 0的兩個(gè)根是y1因式 4y2 2y 1 .-5,V2T5,則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解0)的兩個(gè)根是xi和x2 ,那么二次三項(xiàng)式x x x2 .【解析】如果一兀次方程ax2 bx c 0 (a22ax bx c 可分解為:ax bx c ax【總結(jié)】本題主要考查利用一元二次方程進(jìn)行二次一【例2】將4x2 4x 1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式因?yàn)榉匠?x24x 1 0的兩個(gè)根為:xix2所以 4x2 4x 1=4 x【總結(jié)】考查如果二次方程2 axbx c 0 (a0)的兩個(gè)根是x1和x2 ,那么二次二項(xiàng)式22

3、ax bx c可分解為:axbxc a x x1【例3】 將3x2 5x 2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解,正確的結(jié)果是().22A. (x 1)(x )B. (x 1)(x )33C. 3(x 1)(x 2)D. (3x 2)(x 1)3【難度】【答案】D2【解析】考查如果一元二次方程ax bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根是 x1和x2,那么二次二項(xiàng)式的分解公式為:ax1 2 bxc a x x1 x x2 .17 / 15【解析】如果一元二次方程【例5】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:(1) x2 8;2 一 一(3) x 3x 28;【難度】【答案】(1) x2 8 x 242 x 2近;,、2(3) x

4、3x 28 x 7 x 4 ;【解析】(1) (2)中不能夠用十字相乘法;(2) x3 5x ;2(4) x 11x 30 . x3 5x x x 底 x 5 ;,、2(4) x 11x 30 x 5 x 6(3) (4)可以用十字相乘法.【總結(jié)】本題可以利用公式進(jìn)行分解,也可以根據(jù)選項(xiàng),將每一個(gè)選項(xiàng)乘開之后進(jìn)行判定.【例4】若二次三項(xiàng)式ax,x2 bx c(a 0)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可分解因式為1.21.223(x 丁 "x -),則一元二次萬程ax bx c 0(a 0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為【總結(jié)】本題主要考查利用適當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.【例6】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:(1)x4(2)

5、423x 4x 1 .x2 24(2) 3x4x2 1_3將表達(dá)式中的2x2看成一個(gè)整體,則可以進(jìn)行卜字相乘法或者求根公式法分解.本題主要考查在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解,注意分解要徹底.【例7】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:22(1) x 4x 1 ;(2) x 4x 2.【難度】【答案】(1) x2 4x 1x 2J3x2Q;(2) x2 4x 2 x2 而x276.【解析】如果一元二次方程ax2bx c 0 (a0)的兩個(gè)根是x和x2,那么二次三項(xiàng)式22.ax bx c 可分解為:axbx c a xx1x x2 .本題主要考查利用一元二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【例8】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:

6、(1)2x2 3x 1;(3) 3x2 6x 1;2(2) 4x 2x 3 ;(4) 6x2 瓜 3 .【難度】(2) 4x22x1134113x ;4,、, 2(3) 3x 6x 1 3 x(4) 6x23x 3 6【解析】如果二次方程2.ax bx0 (a 0)的兩個(gè)根是xi和X2 ,那么二次三項(xiàng)式2 axbx c可分解為:2.ax bxa xx1x x2 .本題主要考查利用二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【例9】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:(1) 6x22x2(2) 4x 4x 11 .(2) 4x2【解析】如果26x4x2x11二次方程2ax bx c可分解為:【總結(jié)】本題主要考查利用【例

7、10】2 ax2 ax232.3bx cbx c0 (a0)的兩個(gè)根是X和x2 ,那么二次三項(xiàng)式二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:(1) x2 2ax a2 ;2(2) 3x 12xy211y ;(3) 4x2y2 xy 12(4) 2x 8xy5y2.【答案】(1)x2 2ax2ax a 42a ;(2) 3x2 12xy 11y2(3) 4x2y2 xy1 4 xy1178xy隅年八,2(4) 2x 8xy25y 2 x4 .6 ky【解析】如果二次方程2.ax bxc 0 (a 0)的兩個(gè)根是xi和x2 ,那么二次三項(xiàng)式2ax bx c可分解為:2.ax bxc a

8、 x x1 x x2 .【總結(jié)】本題主要考查利用二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【例11】二次三項(xiàng)式3x2 4x 2k,當(dāng)k取何值時(shí),(1)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解;(2)不能分解;(3)能分解成一個(gè)完全平方式,這個(gè)完全平方式是什么?【難度】22 22.2【目水】(1) k - ; (2)k -; (3)k -,完全平方式為【總結(jié)】當(dāng)一個(gè)二次三項(xiàng)不能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式時(shí),則說明該二次三項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解,反之,則說明該二次三項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的一元二次方程有實(shí)數(shù)解. x -.3 333【解析】(1)要使二次三項(xiàng)式3x2 4x 2k在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解,則方程3x2 4x 2k 0要有

9、實(shí)數(shù)根,則需要滿足4 ,、 一、,2此時(shí),完全平方式為3 x -. 12 2k 0,解得:k 2;3(2)要使二次三項(xiàng)式3x2 4x 2k在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解,則方程3x2 4x 2k 0沒有實(shí)數(shù)根,則需要滿足4 2 12 2k 0,解得:k -;3(3)要使二次三項(xiàng)式3x2 4x 2k在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解成一個(gè)完全平方式,則方程22.23x 4x 2k 0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根, 則需要滿足412 2k 0 ,解得:k -.3一元二次方程應(yīng)用:利率問題知識(shí)精講1、列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟:審題,設(shè)元,列方程,解方程,檢驗(yàn),寫答句.注:解得一元二次方程的解后,一定需檢驗(yàn)是否符合應(yīng)用題的題意,若不合

10、題意則舍去.2、利率問題:利息=本金X年利率 利數(shù)X (1-利息稅);本利和=本金+利息=本金+本金 江利率 刈數(shù)X ( 1-利息稅)=本金X 1年利率測(cè)數(shù)X ( 1-利息稅).例題解析【例12】某人想把10000元錢存入銀行,存兩年.一年定期年利率6%,兩年定期年利率為6.2%.方式一:采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年;方式二:一次性存兩年再取出,問兩種方式哪種劃算?【難度】【答案】方式一劃算.【解析】方式一:兩年后可取出:100001 6% 2 11236 ;方式二:兩年后可取出:100001 6.2% 10062;11236>10062,,方式一劃算.【總結(jié)】本題主要考查利

11、率的應(yīng)用,注意對(duì)兩種不同存款方式的區(qū)分.【例13】某人將1000元人民幣按一年期存入銀行,到期后將本金和利息再按一年期存入銀行,兩年后本金和利息共獲1077.44元,則這種存款的年利率是多少?(注:所獲利息應(yīng)扣除5%的利息稅,J1.07744 1.038).【難度】【答案】4%.【解析】設(shè)這種存款的年利率是x,由題意可列方程:10001 95% x 2 1077.44,2則 1 95% x1.07744,解:1 95% x1.038 (負(fù)值舍去),x 0.04 .答:這種存款白年利率是4%.【總結(jié)】注意要扣除利息稅,則第一年的表達(dá)式為10001 9%x ,而不是10001 x .【例14】王紅

12、梅同學(xué)將1000元壓歲錢第一次按一年定期存入少兒銀行”,到期后將本利和全部取出,并將其中的500元捐給 希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,這 時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的90%,這樣到期后,可得本利和共530元,求第一次存款時(shí)的年利率,只列式不計(jì)算.(不計(jì)利息稅)【難度】【答案】設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為x ,則可列方程為:10001 x 500 1 90% x 530.【解析】注意年利率的變化.【例15】李立購買了 1500元的債券,定期1年,到期兌換后他用去了435元,然后把其余的錢又購買了這種債券定期1年(利率不變),再到期后他兌換得到1308元,求這種債券的年利率.【

13、難度】【答案】9%.【解析】設(shè)這種債券的年利率為x ,則可列方程為15001 x 435 1 x 1308,化簡可得:500x2 855x 81 0,9 一一分解可得:5x 9 100x 9 0,解:x1一(負(fù)值舍去),x2 0.09.5答:這種債券白年利率為 9%.【總結(jié)】本題中需要注意對(duì)題意得理解以及解方程的方法.隨堂檢測(cè)【習(xí)題1】元二次方程x2px q 。的兩根為3,4,那么二次三項(xiàng)式 x2px q可分解為()A、(x 3)(x 4)【難度】【答案】C.B、(x 3)(x 4) C、(x 3)(x 4) D、(x 3)(x 4)2ax bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根是x1和x2,那么二

14、次二項(xiàng)式2一八-rax bx c可分解為:2ax bx ca x xix x2【總結(jié)】本題主要考查利用元二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【習(xí)題2】若二次三項(xiàng)式x2ax1可分解為(x2)(xb的值為(A、B、D、22b ,又x2ax1可分解為(x 2)(xb),【解析】如果一元二次方程22b解得:3212本題一方面考查多項(xiàng)式的乘法,另一方面考查待定系數(shù)法的應(yīng)用.【習(xí)題3】關(guān)于x的一兀二次方程x2mx n0的兩根為a1,a2,則x2mxn可分解為()A、(x a1)(xa2)B、(x a1)(xa2)C、(xa1)(xa2)D、(xa1)(xa2)【難度】【答案】B【解析】關(guān)于x的一元二次方程x

15、2【斛析】一方程2x 8xy 5y 0的解為: mx n 0的兩根為ai ,和,則關(guān)于x的一元二次方程 x2 mx n 0 的兩根為 a1,-a2.【總結(jié)】本題主要考查利用一元二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【習(xí)題4】已知方程2x2 5x k 0的兩個(gè)根是x i 3, x21,-,那么二次三項(xiàng)式 222x 5x k分解因式得().11A、(x 3)(x -)B、2(x 3)(x -)22C、 (x 3)(x 1)D、(x 3)(2x 1)【難度】【答案】D【解析】方程2x2 5x,方程 2x2 5x k,一 一1k 0的兩個(gè)根是x 1 3, x2-,2,一 一10的兩個(gè)根是x 1 3, x2

16、一.2【總結(jié)】本題主要考查利用元二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【習(xí)題5】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式 2x2 8xy 5y2等于()B、,4646A、2 x )(x ) 224.6 w 46 、C、2 xy)(x y)22【難度】【答案】C(4646(x y)(x y)22D、(2x 4y T6y)(2x 4y 娓v)46x-y , x2222 2x 8xy 5y可分解為,462( x 2y)(x【總結(jié)】如果一元二次方程2ax bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根是x1和x2 ,那么二次三項(xiàng)式22.ax bx c 可分解為: ax bx c a x x x x2【習(xí)題6】二次三項(xiàng)式ax2 2x 3在實(shí)

17、數(shù)范圍內(nèi)能分解因式,那么a的取值范圍是 【難度】1【答案】a -且a 0. 3【解析】要使二次三項(xiàng)式ax,1 2(3) 2y 4y 1 ;(4) -x x 1 .2 2x 3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式,則要使一元二次方程 ax2 2x 3 0有實(shí)數(shù)根,1 則2212a 0且a 0,斛得:a 一且a 0.3【總結(jié)】當(dāng)一個(gè)二次三項(xiàng)能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式時(shí),則說明該二次三項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的一元次方程有實(shí)數(shù)解.【習(xí)題7】多項(xiàng)式x4 4x2 3在有理數(shù)范圍內(nèi)能分解因式得 ,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式得 .【難度】【答案】x 1 x 1 x2 3; x1x1xj3xV3.【解析】注意分解范圍.【習(xí)題8】當(dāng)m 時(shí),二次三

18、項(xiàng)式2x2 J2x m在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式.【難度】,-1【答案】m 1.4【解析】要使二次三項(xiàng)式 2x2 72x m在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式,則要使一元二次方程 2x2 區(qū)m 0有實(shí)數(shù)根,2 1則 亞 8m 0,斛佝:m -.4【總結(jié)】當(dāng)一個(gè)二次三項(xiàng)能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式時(shí),則說明該二次三項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的一元二次方程有實(shí)數(shù)解.【習(xí)題9】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:,、2_ 2_(1) x 7x 6 ;(2) 2x 9x 7 ;【難度】 ,2 c 7 3,77 3 7【答案】(1) x7x 6x 2-x 2;2(2) 2x 9x 7 2x 7 x 1 ;2222.2(3) 2y 4y 1 2 y 2 y

19、 2;1 21(4)x x 1 - x 1 J3 x 1 用. 22【解析】如果一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根是x1和x2,那么二次三項(xiàng)式的分解公式為: ax2 bx c a x x1 x x2 .【總結(jié)】本題主要考查利用一元二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【習(xí)題10】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:- 2_ 2(1) 2x 8xy 5y ;_ 2 _ 2(2) 7x 23xy 6y ;,一、2 2_ 一(3) a x 5ax 3;(4) x2 (42 4)x 4五.24 / 15【難度】_224、64. 6【答案】(1) 2x 8xy 5y 2 x y x y ;22_ 22(

20、2) 7x 23xy 6y3)a2x2 5ax 3 ax 3 ax22(4) x2 (2 4)x 4、2 x 4 x J2【解析】如果一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根是X和,那么二次三項(xiàng)式的分解公式為:ax2 bx c a x x1 x x2注意方法的選擇,如本題主要考查利用一元二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解,(4)可以用十字相乘法進(jìn)行分解.課后作業(yè)【作業(yè)1】已知方程3x2 4x 1 0的兩個(gè)根為xi 2 "區(qū) 2 J7 ,則二次三項(xiàng)式333x2 4x 1分解因式的結(jié)果為 .【難度】2 .72 .73【解析】如果一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的兩個(gè)

21、根是xi和x2,那么二次三項(xiàng)式的分解公式為:ax2 bx c a x xi x x2 .【總結(jié)】本題主要考查利用一元二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【作業(yè)2】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式2x2 3x 6 .【難度】【解析】如果一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根是xi和x2,那么二次三項(xiàng)式的分解公式為:ax2 bx c a x xi x x2 .【總結(jié)】本題主要考查利用一元二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【作業(yè)3】如果多項(xiàng)式x2 kx 5(k 5)是x的完全平方式,那么 k的值為【難度】【答案】10.【解析】如果多項(xiàng)式 x2 kx 5(k 5)是x的完全平方式,則一元二次方程x2

22、kx 5(k 5) 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解,即k2 20 k 5 0,解得:k 10.【總結(jié)】本題主要考查對(duì)完成平方與多項(xiàng)式之間的關(guān)系的理解.【作業(yè)4】把(x2 1)2 (x2 1) 2分解因式的結(jié)果是(A、(x2 1)(x2 2)B、(x21)(x22)C、(x1)(x 1)(x22)D、(x2 1)(xJ2)(x揚(yáng)【難度】【答案】D【解析】注意將代數(shù)式中的x2 1看做一個(gè)整體進(jìn)行分解.【總結(jié)】本題注意在分解的時(shí)候要分解徹底,要在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解.【作業(yè)5】下列二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式的是(),222222A、6x x 15B、3y 7y 3 C、x 2xy 4y D、2x 4xy 5y【難度】【答案】D【解析】判定二次三項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的判別式,如果判別式小于0,則不能分解.【總結(jié)】當(dāng)一個(gè)二次三項(xiàng)不能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式時(shí),則說明該二次三項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的一元二次方程有在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解.【作業(yè)6若ac 0

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