1、高中數學聯賽多項式專題練習（詳解版 ）試卷第5頁，總3頁、單選題1.若實數0,b 1則代數式a 1的值為A.20B. 2C. 2或20D. 2 或 202.已知是方程x2 2x 40的兩個實數根，則36的值為（A.1B. 2C. 22D. 3023.設xpxq 0的兩實根為2 -.為根的二次方程仍是2x pxp,q的個數是（A. 2B.C. 4D. 04.若實數b滿足a28a 5 0b2 8b 5 0皿b 1則a 1A.20B.C. 2或20a的值是（b 11D .一2二、多選題5.關于X的二次方程2x 2mx2n 0有兩個整數根且乘積為正，關于 y的二次方程y2 2ny 2m0同樣也有兩個整

2、數根且乘積為正，如下給出的結論中正確的是（A.這兩個方程的根都是負根B.這兩個方程的根中可能存在正根2C. m 1 nD.12m 2n 1三、解答題6.已知x1、x2是一元二次方程 4kx2 4kx k 1 0的兩個實數根.3（1）是否存在頭數k, 2x1 x2 x1 2x2一成立？若存在，求出k的值；若不存2在，請說明理由；（2）求使見 x2 2的值為整數的實數 k的整數值.x2 Xi7,已知關于z的實系數一元二次方程 z2 5z a 0的兩個復數根為、，試用實數a表示| | |的值.28.已知關于x的不等式ax - a 1 x 1 0, a R .1(1)若不等式的解集為x - x 1 ,

3、求a ；2(2)當a R時，解此不等式.9 .如圖，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都為n的小正方形，五塊是長為m ,寬為n的全等小長方形，且m n .(以上長度單位：cm)(1)用含m、n的代數式表示圖中所有裁剪線(虛線部分)的長度之和;(2)觀察圖形，可以發現代數式 2m2 5mn 2n2可以因式分解為 258cm ,試求m(3)若每塊小長方形的面積為 10cm2,四個正方形的面積和為的值.10 .設m是不小于1的實數，關于x的方程x2 2 m 2 x2m 3m 3 0有兩個不相等的實數根x1、x2.(1)若x2 x2 6 ,求實數m的值；

4、mxmx2(2)令T ( m 0),求實數T的取值范圍.1 x1 1 x211 .關于x的實系數方程x2 ax ab 0.(1)設x 1 J3i (i是虛數單位)是方程的根，求實數 a, b的值;b 1(2)證明：當 時，該方程沒有實數根a 412 .已知m是實數，關于x的方程E： x2- mx+ (2m+1) =0.(1)若m=2,求方程E在復數范圍內的解;(2)若方程E有兩個虛數根x1，x2,且滿足|xi - X2|=2,求m的值.四、填空題13.已知關于X的二次方程ax2a 2 x 2 0有兩個不相等的正整數根,則整數a的值是14 .設關于x的方程x2 2x m0的兩個實數根分別為6,那

5、么實數m的值是15.已知 ，是方程x2 2x0的兩個根，則 2 2216.右2i 3是萬程2x px q0 p,qR的一個根，則17.已知a, b, c是VABC的三邊長，關于x的方程x2 Vbx21-a 0的解集2中只有一個元素，方程3cx 2b 2a的根為x 0 ,則VABC的形狀為2a, b為關于x mx3 m 0的兩個實數根,則實數 m的值18.若不等式& ax3，、一(4,b)的解集是(4, b),則實數a= 2，b=19.若tan 、tan 分別是方程x2 x 2 0的兩個根，則tan20 .已知a,b R ,且2 ai、b i (i是虛數單位)是實系數二次方程2x pxq

6、 0的兩個根，那么 p q的值為參考答案1. A【解析】【詳解】Qa,b滿足 a2 8a 5 0,b2 8b 5 0,a, b可看著方程x2 8x 5 0的兩根，a b 8,ab 5,22b 1 a 1 b 1 a 182 2 5 2 8 220,故選 A.5 8 1a 1 b 1 a 1 b 1 2 a b 2ab 2 a b 2 ab a b 1【方法點睛】本題主要考查韋達定理的應用以及數學的轉化與劃歸思想.屬于又t題.轉化與劃歸思想解決高中數學問題的一種重要思想方法， 是中學數學四種重要的數學思想之一， 尤其在解決知識點 較多以及知識跨度較大的問題發揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度

7、.運用這種方法的關鍵是將題設條件研究透，這樣才能快速找準突破點.以便將問題轉化為我們所熟悉的知識領域，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應用于解題當中本題表面是求出a,b的值，再代入求值，其實需要轉化為利用韋達定理整體代入求解.2. D【解析】【分析】將 代入方程x2 2x 4 0，由此化簡 3的表達式，根據根與系數的關系求得，進而化簡求得3 86的值.【詳解】Q 是方程x2 2x 4 0的實根，2 24 0,32即 224,24224488,原式 88 86 814是方程x2 2x 4 0的兩實根,2 ,原式 8 2 14 30.故選：D.【點睛】 本小題主要考查根與系數關系，考查代數式

8、的變形，屬于基礎題3. B利用根與系數關系列方程，通過解方程求得p,q的所有可能取值，由此得出正確選項根據題意得,p,p，2 2 q由、可得20,解得由、可得2q 0.q 0時，p20,解得Plqi0,或0P2q21,把它們代入原方程的判別式中可知符合題意;0q i時,P31或P 2 ,即 q32，或1P4q41,1,把它們代入原方程的判別式中可知P4q41,不合題意，舍去1.所以數對P,q的個數是3,答案第17頁，總14頁故選B.本小題主要考查根與系數關系,考查方程的解法，考查分類討論的數學思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題4. C當a b時，計算出所求表達式的值為2,當a1 b時，根據

9、已知可知a,b是方程x2 8x 5 0 的解,由此寫出根與系數關系，化簡所求表達式，由此求得表達式的值.進而求得正確選項【詳解】當 a b時，a_J 2； a 1 b 1當al b時，因為實數a、b滿足a2 8a 5 0 , b2 8b 5 0所以a、b可看成是方程x2 8x 5 0的解，所以a b 8, ab 5.2b 1 a 1 b 1 a 1a 1 b 1 a 1 b 12a b 2ab 2 a b 2ab a b 120.b 1 a 1 82 10016 2把a b 8, ab 5代入得a 1 b 15 8 1b 1 a 1綜上，的值為2或20.a 1 b 1故選C.本小題主要考查根與

10、系數關系，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查運算求解能力， 考查分類討論的數學思想方法，屬于中檔題.5. ACD【解析】【分析】列出兩個方程的根與系數關系，判斷A,B兩個選項的正確性.根據兩個方程的判別式為非負數，判斷C選項的正確性.根據兩個方程的根與系數關系，分別求得 2m 2n的表達式，證得2m 2n 1和2m 2n 1,由此判斷D選項的正確性.【詳解】設方程x2 2mx 2n 0的兩根為xx?,方程y2 2ny 2m 0的兩根為y1、y2 .由題意知 Xx2 2n 0, y1y2 2m 0,又Qx1 x2 2m, y1 y22n ,這兩個方程的根都是負根，故 A正確，B不正確；Q 4m2

11、 8n 0, 4n2 8m 0, m2 2n 0 , n2 2m 0 ,2/22_,2_/_m 1 n 1 m2n1n 2m 12,故C正確；Q N1N2 2m, yi y22n2m 2nV1V2ViV2 yi1y21 1,yi、y2 均為負整數，yi 1 y2 10,2m 2n1 .QXiX2 2n ,xx22m,2m 2n 1.Q Xi X22n ,x1 x22m,2n 2mx1x2xix2 x11x21 1Q X、x2均為負整數，xi 1 x2 10,2n 2m 1 ,即 2m 2n 1,1 2m 2n 1 ,故 D 正確.綜上所述，正確的結論有 A, C, D.故選:ACD.【點睛】本

12、小題主要考查一元二次方程根與系數關系，考查不等式的證明，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查分析與解決問題的能力，屬于中檔題6. (1)不存在，理由見解析；(2) 2, 3, -5.【解析】【分析】(1)因為一元二次方程4kx2 4kx k 1 0的兩個實數根，所以利用判別式求出 k的取值范一，2圍，將2xix2x,2x2化為2xix29x1x2結合韋達定理以及k的取值范圍，即可判斷.2(2)將關系式上 2化為 “ x24 ,結合韋達定理以及整除的性質即可求解.x2 xix1x2【詳解】(1)假設存在實數k,使2% x2 xi 2x2。成立.2 一元二次方程4kx2 4kx k 1 0的兩個實數

13、根4k 0Xi24k 4 4k k 1X2是二次方程,24kxX1X216k4kx0的兩個實數根x2 1k 1 1 2x1X2X12X2X2 X2 5x1x2 22x1 x29x1 x24kk 94k,9k 一，但 k5不存在實數k,2x1 x2 x12x23成立.2(2) 土X2X222X1X22X12X2X1X1X2X1X24k 4k.要使其值是整數，只需 k 1能被4整除，故k 1X1X22的值為整數的實數k的整數值為一2, 3,5.X2X1本題主要考查了二次方程根與系數的關系，關鍵是利用韋達定理來求解，屬于中檔題25 .7.當 a 1時，I I I I J25 2a 2IaI ;當【解

14、析】a § 時，2/a4討論判別式后，根據韋達定理可得結果因為關于z的實系數二次方程z2 5z a 0的兩個復數根為當V 25254a 0 ,即 a 一 時, 4為實數根,所以5,a,所以I II I -(II)222 2I I .(2 _)22IIJ25 2a 2IaI，當 V 25 4a 0,即25了時，,為共輾虛根,所以設 b ci , b ci ,5由韋達定理可得2b 5,所以b222225b c a ,所以 c a 一 ,4所以 | | | | 2Jbc22y4 a42 荷，綜上所述：當a254時，H H 725 2a 2|al ；當 a(2)由題(ax 1)(x 1) 0

15、, aR：當a 0時，不等式化為x 1a； (2)不等式化為1 -,解得aa1a2;時，不等式等價于(X_1若a 1 ,解得一 X a1、，、-4-)(X 1) 0,若 0 a 1,解得 1 x a11 ；當a 0時，不等式等價于(x -)(xa1 _一；右a 1 ,解得xa1 ,1) 0,解得X 或X1.【點睛】 本題考查了根據韋達定理和配方法求值，考查了分類討論思想，屬于基礎題，,、， 1 、8 . (1) 2 (2) a 0 時，X (1,) , 0 a 1 時，x (1-) , a 1 時，不等式的解集為a、11空集,a 1 時，X (-,1), a 0 時，X (,-)U(1,).a

16、a【解析】【分析】(1)根據不等式的解集和韋達定理，可列出關于a的方程組，解得(ax 1)(x 1) 0,討論a的取值，從而求得不等式的解集【詳解】a,11-1(1)由題得，(ax 1)(x 1) 0,解集為X - x 1，則有一2212綜上，a 0時，不等式的解集為(1,、 1.),0 a 1時，不等式的解集為 (1,一 ), a 1時,a1a 0時，不等式的解集為不等式的解集為空集,a 1時，不等式的解集為(一,1),a1(,-)(1,). a【點睛】本題考查一元二次不等式的解法與應用，以及通過討論參數取值求不等式的解集，有一定的難度。9 .(1)6 m n cm；(2) m 2n 2m

17、n ；(3)49【解析】【分析】(1)結合圖像，求得所有裁剪線(虛線部分)的長度之和；(2)根據最大長方形的面積可知，代數式可因式分解為m 2n 2m n .2(3)根據每塊小長方形的面積和四個正方形的面積和列式，然后求得m n的值.【詳解】(1)題圖中所有裁剪線(虛線部分)長度之和為2 m 2n 2 2m n 6m 6n 6 m n cm.(2) 2m2 5mn 2n2可以因式分解為 m 2n 2m n ,故答案為 m 2n 2m n .(3)依題意得：2m2 2n2 58, mn 10, m2 n2 29 .2222Q m n m 2mn n , m n 29 20 49.【點睛】本小題主

18、要考查利用面積法進行因式分解，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.5.1710. (1) m ; (2) 0 T 4且T 2.2【解析】【分析】根據方程有兩個不相等的實數根，判別式為正數列不等式，求得m的取值范圍，寫出根與系數關系.(1)利用配方法化簡x2 x2 6成小X2 2 2x1x2 6 ,根據上述列出的根與系數關系進行化簡，解一元二次方程求得 m的值.(2)將T轉化為利用x1 ”,為乂2來表示，根據上述列出的根與系數關系進行化簡，根據m的取值范圍，求得 T的取值范圍Q方程有兩個不相等的實數根, 解得m 1,又Q m是不小于 由題得xi X22 m 2(1) Q X2 x2 6 ,x

19、1-222 m 24 m1的實數， 1 m 1.24 2m, X1X2 m 3m 3.2 2x22x1x2 6,即 4 2m3m 3 4m 4 0 ,整理得m2 5m 2 0,解得m 5，17或m 5 07 .Q225 .172(2) Tmx1 mx21x1 1 x2mx1 1 x2 mx2 1 x11 x1 1 x2m x1 x2 2x1x21x1x2x1x22m 4 2m 2m 6m 6，, 一2 一 一1 4 2m m 3m 322m m 12m m2 2m.0 2 2m 4且 2 2m 2,即 0 T 4且T 2.故實數T的取值范圍為0 T 4且T 2.本小題主要考查根與系數關系,考查

20、一元二次方程的解法， 考查化歸與轉化的數學思想方法,考查運算求解能力，屬于中檔題11. (1) a 2, b 2; (2)見解析【分析】(1)利用實系數一元二次方程的虛根成對原理、根與系數的關系、復數的運算法則即可得出；(2)利用一元二次方程的實數根與判別式的關系即可得出.【詳解】(i)Qx 1 J3i是方程的根， 1 J3i也是方程的根，由根與系數的關系得1褥173i a,1內1V3iab,解得a2,b 2;(2)證明：Q b 1,b1 4ba04a4ba0 4ab a20,a 4a4 4aa2 4ab 0,原方程無實數根.【點睛】本題考查復數的運算法則，考查復數與方程的綜合，考查邏輯思維能

21、力和運算能力，屬于中檔題.12. (1) x= 1+2i,或 x=1- 2i (2) m=0,或 m=8【解析】【分析】(1)根據求根公式可求得結果；(2)根據實系數多項式虛根成對定理，不妨設 x1=a+bi,則x2=a-bi,根據韋達定理以及|X1 - X2|= 2,可解得結果.【詳解】(1)當 m=2 時，x2 - mx+ (2m+1) =x2-2x+5=0,x 216, . x= 1+2i,或 x=1-2i.2，方程E在復數范圍內的解為 x= 1+2i,或x= 1-2i；(2)方程E有兩個虛數根x1，x2,根據實系數多項式虛根成對定理，不妨設x1=a+bi,則x2=a-bi,2. 221

22、2_. x1+x2= 2a= m, x#2 a b 2m 1 , . b m 2m 14212, |x1 - x21= |2bi |=2' - b = 1,一一m 2m 114m = 0,或 m= 8.【點睛】本題考查了求根公式，考查了實系數多項式虛根成對定理，考查了韋達定理，屬于中檔題.13. a 1【解析】首先判斷a 0,然后根據判別式為正數，求得 a 2且a 0,利用根與系數關系，結合 a為整數、兩個根為不相等的正整數根，求得 a的值.【詳解】Q方程ax2a 2 x 2 0是關于x的7L二次方程,a 0.22a 2 4a 2 a 20 ,當a 2時方程有兩個相等的實數根；當a 2

23、且a 0時，方程有兩個不相等的實數根Q方程有兩個不相等的正整數根,2且 a 0.設方程的兩個根分別為xx2,x1 x2=2,為 x2=1 + 2,aaQ x1、x2均為正整數,2工為正整數，Q a為整數，a 2且a 0, a 1. a故答案為a 1本小題主要考查根據二次方程的根求參數的值，考查根與系數關系，屬于基礎題14. 9根據根與系數關系求得6變形為36,由此求得關于m的方程,解方程求得 m的值.6,由根與系數的關系可得36,3636,4 2 1m2136,當1 m 0時,無解；當m 0時，解得m 9.故實數m的值為9.故答案為9本小題主要考查根與系數關系，考查代數式的變形，屬于基礎題15

24、. 32【解析】【分析】由題得 + , 的值，再把韋達定理代入2 22得解.【詳解】由題得 + = 2,7.所以 2 22 ()2 44 28 32 .故答案為：32【點睛】本題主要考查一元二次方程的韋達定理的應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平16. 38;【解析】【分析】假設另外一個根為 z,根據z1是實數，結合韋達定理，可得結果.【詳解】假設另外一個根為 z ,22i 3是方程2x px q 0 p,q R的一個根，則2i 3 z 衛22i 3 z q2由p,q R,可知z是2i 3的共軻復數，所以z 3 2i 把代入可知p 12q 26所以p q 38故答案為：38【點睛】本題重在考查zgz是實數，掌握復數共軻復數的形式，屬基礎題17.等邊三角形12【解析】【分析】根據所給條件確定 a,b,c關系，即可判斷三角形形狀，利用根與系數關系可求m.【詳解】Q關于x的方程二x2 而x c la 0的解