1、常州知典教育一對(duì)一教案學(xué)生： 年級(jí)： 學(xué)科：楚生 授課時(shí)間： 月 日授課老師：趙鵬飛課 題空間立體幾何點(diǎn)線面判斷與證明教學(xué)目標(biāo)(通掌握空間立體幾何中的點(diǎn)線面之間的關(guān)系，平行，相交，垂直，異面，重合等等，以過本節(jié)課學(xué) 生需掌握的 知識(shí)點(diǎn)及達(dá) 到程度)及證明面面垂直，面面平行等方法和步驟，了解關(guān)于幾何體中一些基本的計(jì)算和比值。本節(jié)課考點(diǎn) 及單元測(cè)試 中所占分值 比例15%學(xué)生薄弱點(diǎn)，需重點(diǎn)講解證明時(shí)對(duì)判斷的方法出現(xiàn)錯(cuò)誤思維，導(dǎo)致證明失分，使用性質(zhì)時(shí)沒有給出應(yīng)有的條件 導(dǎo)致扣分，計(jì)算的失誤使得自己失分。內(nèi)容上次作業(yè)完成情況：優(yōu)口良口中口差口課前檢查建議:教學(xué)過程講 義部 分考向1空間中點(diǎn)、線、面位置

2、關(guān)系的判斷1 .平間的基本性質(zhì)的應(yīng)用公理1:證明“點(diǎn)在面內(nèi)”或“線在面內(nèi)”.(2)公理2及三個(gè)推論：證明兩個(gè)平面重合，用來確廿個(gè)平面或證明”點(diǎn)線共 面.(3)公理3:確定兩個(gè)面的交線，尤其是畫截面圖或補(bǔ)體時(shí)用到，證明“三點(diǎn)共 線” “三線共點(diǎn)”.要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平向的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線.2 .空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系I國(guó)E3國(guó)1 (1)已知m, n表示兩條不同直線，a表示平面，下列說法正確的是()A.若 m / % n / a ,則 m / nB.若 m± % n? a ,則 m±nC.若

3、m± % m±n,則 n/ aD.若 mil % m±n,則 n± a(2)下列命題正確的是()A.若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B.若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C.若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D.若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行胖肺c(1)W小限n還?以日交號(hào)皿對(duì)于選項(xiàng)D,還可以是n / a或n?a或n與a相父.(2)對(duì)于命題A,這兩條直線可以相交或?yàn)楫惷嬷本€，.A錯(cuò)誤；對(duì)于命題B,這兩個(gè)平面可以相交，.二B錯(cuò)誤；對(duì)于命題D,這兩 個(gè)平面還可能相交，一

4、. D錯(cuò)誤；而由線面平行的性質(zhì)定理可證 C正確.故選C.【答案】(1)B (2)C【點(diǎn)撥】 解題(1)根據(jù)空間線面、面面、線線平行的判定與性質(zhì)、垂直的判定 與性質(zhì)逐個(gè)進(jìn)行判斷，注意空間位置關(guān)系的各種可能情況.解題時(shí)要注意充分利用正方體(或長(zhǎng)方體)模型輔助空間想象.解決空間位置關(guān)系問題的方法(1)解決空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的問題，首先要明確空間位置關(guān)系的定義， 然后通過轉(zhuǎn)化的方法，把空間中位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決.(2)解決位置關(guān)系問題時(shí)，要注意幾何模型的選取，如利用正(長(zhǎng))方體模型來解決問題.考向2異面直線所成的角1 .兩條異面直線所成的角過空間任意一點(diǎn)分別引兩條異面直線的平行直線，

5、那么這兩條相交直線所成的銳角或直角叫作這兩條異面直線所成的角.若記這個(gè)角為9,則 院,，-yl2 .判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點(diǎn) A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn) B的直 線是異面直線.(2)反證法：證明兩直線平行、相交不可能或證明兩直線共面不可能，從而可得 兩直線異面.E3國(guó)£3©2 (1)(2014大綱全國(guó)，4)已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn), 則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()A.6 B.C.3 D.3 6世3(2)如圖，已知二面角a-MN-B的大小為60° ,菱形ABCD在面B內(nèi)，A, B兩點(diǎn)在棱MN上，/

6、BAD = 60° , E是AB的中點(diǎn)，DO,面a,垂足為O.DC證明：AB，平面ODE;求異面直線BC與OD所成角的余弦值.【解析】(1)如圖，取AD的中點(diǎn)F,連接CF, EF,則EF/BD,A / CEF即為異面直線CE與BD所成的角.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2,則ce = cf=y3, ef=2bd=i.由余弦定理得cos/ CEF =CE2+EF2-CF2 亞2CE EF = 6 .3 CE與BD所成角的余弦值為 黃.故選B.(2)證明：如圖，; DO± a , AB? a , DO LAB.連接BD,由題設(shè)知， ABD是正三角形.又E是AB的中點(diǎn)，DEXAB.而 DOA

7、DE=D,故 ABL平面 ODE.因?yàn)锽C/AD,所以BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角，即/ADO 是異面直線BC與OD所成的角.由知，AB，平面 ODE,所以 ABLOE.又DEXAB,于是/ DEO 是二面角 a-MN-B的平面角，從而/DEO = 60° .不妨設(shè) AB=2, WJ AD = 2.易知 DE = 43.。3在 RtzXDOE 中，DO=DEsin 60 =.連接 AO,在 RtAAOD 中，cos/ ADO =DO_AD =34.3故異面直線BC與OD所成角的余弦值為4.【點(diǎn)撥】 解題(1)的關(guān)鍵是選取合適的點(diǎn)作出異面直線的平行線.解題(2)時(shí)應(yīng)注意異面

8、直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形里.特別為直角三角形.方法【總I結(jié)求異面直線所成角的方法(1)作：利用定義轉(zhuǎn)化為平面角，對(duì)于異面直線所成的角，可固定一條、平移一 條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上.(2)證：證明作出的角為所求角.(3)求：把這個(gè)平面角置于一個(gè)三角形中，通過解三角形求空間角.«注意兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.考向3線面平行的判定與性質(zhì)直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理文字語百圖形諦言符號(hào)諦言判止止理不在平面內(nèi)的一條直線與 此平間內(nèi)的一條直線平行， 則該直線與此平面平

9、行(簡(jiǎn) 記為線線平行？線向平行)l?a a? a > ? l / al / a一條直線與一個(gè)平面平行,a II aa? B > ? a / b a A B = b則過這條直線的任一平面 與此平面的交線與該直線 平行（簡(jiǎn)記為線面平行？線 線平行）4注意直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理中的三個(gè)條件缺一不可；線面平行的性質(zhì)定理可以作為線線平行的判定方法.E!國(guó)幻©1 （2014北京，17, 14分）如圖，在三棱柱 ABC-AiBiCi中，側(cè)棱垂直于底面，ABXBC, AAi = AC=2, BC=1, E, F 分別是 AiCi, BC 的中點(diǎn).求證：平面 ABEL平面BiB

10、CCi;（2）求證：CiF/平面 ABE;（3）求三棱錐E-ABC的體積.KB【思路導(dǎo)引】（1）利用已知條件轉(zhuǎn)化為證明 ABL平面BiBCCi； （2）取AB的中 點(diǎn)G,構(gòu)造四邊形FGECi,證明其為平行四邊形，從而得證；（3）根據(jù)題中數(shù)據(jù)代入 公式計(jì)算即可.【解析】（1）證明：在三棱柱ABC-AiBiCi中，BB底面ABC.所以 BBiXAB.又因?yàn)锳BXBC,所以AB，平面BiBCCi.所以平面ABE，平面BiBCCi.(2)證明：如圖，取AB中點(diǎn)G,連接EG, FG.因?yàn)镚, F分別是AB, BC的中點(diǎn)，所以 FG/ AC,且 FG = ；AC.因?yàn)?AC/A1C1,且 AC=AiCi,

11、 E 為 A1C1 的中點(diǎn), 所以 FG/ ECi,且 FG=ECi.所以四邊形FGECi為平行四邊形.如§EG?EG面 ABE, CiF?平面 ABE, 所以CiF /平面ABE.(3)因?yàn)?AAi = AC = 2, BC=i, ABXBC, 所以 AB=AC2BC2=，3.所以三棱錐E-ABC的體積V="abc - AAi = ixixA/3xiX2=. 33 23i.證明線面平行問題的思路(一)(i)作(找)出所證線面平行中的平面內(nèi)的一條直線;(2)證明線線平行；(3)根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行.2.證明線面平行問題的思路(二)(i)在多面體中作出要證線面平

12、行中的線所在的平面;(2)利用線面平行的判定定理證明所作平面內(nèi)的兩條相交直線分別與所證平面 平行；(3)證明所作平面與所證平面平行；(4)轉(zhuǎn)化為線面平行.SE9K1E3 (20i3江蘇，i8, i3分)如圖，在邊長(zhǎng)為i的等邊三角形ABC中， D,E分別是AB,AC上的點(diǎn)，AD = AE,F是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G.AABF沿AF折起，得到如圖所示的三棱錐 A-BCF,其中BC = y2.(1)證明：DE /平面BCF;(2)證明：CF，平面ABF;2-(3)當(dāng)AD = 2時(shí)，求二棱錐F-DEG的體積. 3AD解：(1)證明：在等邊三角形 ABC中,AD AE . 一.AD- = AE，

13、在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立,DB EC:;DE?廝. BCF, BC?平面 BCF, DE / 平面 BCF.(2)證明：由圖，在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn),.AFXBC,在三棱錐中仍有 AFXCF,-1BF=CF = 2.4,2二.在二棱錐 A-BCF 中，BC = ¥，.BC2=BF2+CF2,.CFXBF.又BFnAF = F,.CF，平面 ABF.(3)由(1)可知GE/CF,結(jié)合(2)可得GEL平面DFG.二 Vf-deg= Ve-dfg1 1_=&x - dg fg - eg 3 21111313X2X 3X Q 2 J* 33324.考向4面面平

14、行的判定與性質(zhì)平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理文字語百圖形諦言符號(hào)諦言判止止理一個(gè)平聞內(nèi)的兩條相交直 線與另一個(gè)平間平行，則這 兩個(gè)平間平行(簡(jiǎn)記為線面 平行？聞聞平行)a? a 、b? aan b= P> ? a / Ball §b/ B性 質(zhì) 止 理如果兩個(gè)平行平聞同時(shí)和第三個(gè)平向相交，那么它們的交線平行a §a A Y=a>?a/b0C尸b £4注意平面與平面平行的性質(zhì)定理實(shí)際上給出了判定兩條直線平行的一種方法，注意一定是第三個(gè)平面與兩平行平面相交，具交線平行.口國(guó)E國(guó)2如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面 中

15、心，AQ，底面 ABCD, AB = AA1 = V2.(1)證明：平面ABD/平面CD1B1；(2)求三棱柱 ABD-AiBiDi的體積.【解析】證明：由題設(shè)知，BBiDDi,一四邊形BBiDiD是平行四邊形， .BD / BiDi.又BD?平面CDiBi,.BD /平面 CDiBi.,. AiDi 統(tǒng) BiCi統(tǒng) BC, 四邊形AiBCDi是平行四邊形， .AiB/ DiC.又 AiB?平面 CDiBi,.AiB/平面 CDiBi.又BDnAiB=B, 平面 AiBD /平面 CDiBi.(2)AiO,平面 ABCD,AiO是三棱柱 ABD-AiBiDi的高.又. AO = 1aC=1,

16、AAi=V2, . AiO=a/aA2-AO2 = i.一1 一 ,一又SaABD= a V2 X V2= 1 , .VABD-AiBiDi=&abd AiO=1.【點(diǎn)撥】 解題(1)需將面面平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面平行，再轉(zhuǎn)化為線線平行，通過取特殊四邊形來完成證明；解題(2)的關(guān)鍵是選易求高的底面，利用線面垂直的判定找高.1判定面面平行的四個(gè)方法(1)利用定義：即判斷兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn).(2)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行.(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行.2.平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系線線平行OSK1E3 (2014十校

17、聯(lián)考，18, 12分)如圖，在三棱柱 ABC-AiBiCi中，D是BC上一點(diǎn)，且A1B/平面ACD, D1是B1C1的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1/平面AC1D.證明：如圖，連接A1C交AC1于點(diǎn)E,連接ED.二.四邊形A1ACC1是平行四邊形， .E是A1C的中點(diǎn). A1B/平面 ACD,平面 A1BCA 平面 AGD = ED, .A1B/ ED. .E是AiC的中點(diǎn)，. D是BC的中點(diǎn). 又Di是BiCi的中點(diǎn)，. DiCi統(tǒng)BD, 四邊形BDCiDi為平行四邊形, .BDi / CiD.又 AiBABDi = B, DEADCi = D, 平面 AiBDi/平面 ACiD.考向5線面垂直

18、的判定與性質(zhì)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理文字語百圖形諦言符號(hào)諦言判止止理一條直線與半卸內(nèi)的兩a, b? a、條相交直線都垂直，則該p/aAb=O卜？ U a l±a直線與此平聞垂直l±b '性 質(zhì) 止 理-ri '=匕 1 / -4- A A '7TTTM垂直于1句一個(gè)半聞的兩條直線平行L7a± a:? a / b b I nn1U 1 Uv J0國(guó)©國(guó)1如圖，四棱錐P-ABCD中，底面是以。為中心的菱形，PO,底面ABCD, AB=2, /BAD=£, M 為 BC 上一點(diǎn)，且 BM=J 32(1)證明：BC，平

19、面POM;(2)若MP LAP,求四棱錐P-ABMO的體積.【思路導(dǎo)引】(1)由余弦定理、勾股定理等知識(shí)先證 OMLBM,再由線面垂 直的判定定理證明；(2)將底面四邊形ABMO分為AABO與AMBO來求面積，根據(jù)(1)中結(jié)果，利用勾股 定理、余弦定理求出PO,代入棱錐的體積公式求解.【解析】 證明：如圖，連接OB,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，O為菱形中心，所以AOXOB.,一.一九因?yàn)?/ BAD=一 九故 OB = ABsin/OAB = 2si嗒=1.又因?yàn)锽M = 1,且/OBM=看， 23在 AOBM 中，OM2=OB2+BM2 2OB BM cos/ OBM= 12 +! 2 X 1

20、 X 2 X CO九 3叼=4.OMn po=o,p所以 OB2 = OM2+BM2,故 OMLBM.雕蛙雌歌POMOP虢九 (2)由(1)可得，OA=AB cos/ OAB = 2 8峪=43.設(shè)PO = a,由PO,底面ABCD知，zPOA為直角三角形, 故 PA2=PO2+OA2=a2+3.由APOM也是直角三角形，故 PM2=PO2+OM2 = a2+3.如圖，連接 AM.在4ABM 中，AM2 = AB2+BM2 2AB BM cos/ ABM = 22+-2X2X1-X cos2= 21. 234由已知MPXAP,故4APM為直角三角形，則 PA2+PM2 = AM2,即 a2+3

21、+a2 + 3=21,4 4得 a=¥，a=一岑(舍去)，即 PO = q3.止匕時(shí)S 四邊形 ABMO= SaAOb+ &OMB11-二旌 AO OB + 2 BM OM= 2x*x1 + 1x 2X 共 583.所以四棱錐P-ABMO的體積、，11 5.3. .3 5VP-ABMO = 3 4 S 四邊形 ABMO , PO=3X方x二行總悌1.證明直線與平面垂直的一般步驟(1)找與作：在已知平面內(nèi)找或作兩條相交直線與已知直線垂直.(2)證：證明所找到的或所作的直線與已知直線垂直.用：利用線面垂直的判定定理，得出結(jié)論.2.判定線面垂直的四種方法(1)利用線面垂直的判定定理

22、.(2)利用“兩平行線中的一條與已知平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”.(3)利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)平面也垂直”（4）利用面面垂直的性質(zhì)定理.考向6面面垂直的判定與性質(zhì)平面與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理文字語百圖形諦言符一萬語己判一個(gè)半闖過另一個(gè)半聞J止Al? B1的一條垂線，則這兩個(gè)平/ /0 /？ a _L 0止l X a面互相垂直理性兩個(gè)平面互相垂直，則一力a X p1質(zhì)卜l? B個(gè)平向內(nèi)垂直于交線的廠灶7 ? U a止Ta C 0二a理直線垂直于另一個(gè)平聞/0 V/l±aJ圈國(guó)E1國(guó)2 （2014江蘇，16, 14分）如圖，在三棱錐P-ABC &

23、#39;中，D, E, F分別為棱PC, AC, AB的中點(diǎn).已知PAXAC, PA=6, BC = 8, DF = 5./ '求證：（1）直線FA/平面DEF;K段B（2）平面BDEL平面ABC.【思路導(dǎo)引】（1）利用三角形中位線的性質(zhì)找到線線平行， 再運(yùn)用直線與平面 平行的判定定理進(jìn)行求證；（2）要證面面垂直可考慮尋找線面垂直， 要證線面垂直可 考慮尋找線線垂直，利用勾股定理可證線線垂直.【證明】（1）因?yàn)镈, E分別為棱PC, AC的中點(diǎn)，攵MEEA?A面 DEF, DE?平面 DEF,所以直線PA/平面DEF.(2)因?yàn)?D, E, F 分別為棱 PC, AC, AB 的中點(diǎn)，

24、PA=6, BC = 8,所以 DE/ PA,DE = ；PA=3, EF = 1bC = 4.又因?yàn)?DF = 5,故 DF2=DE2+EF2,所以/DEF = 90° ,即 DEXEF.PAC. DE / PA B(AF?平面ABC所以平面BDEL平面ABC.方I法息結(jié)1而面垂直證明的兩種思路(1)用面面垂直的判定定理，即先證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線；(2)用面面垂直的定義，即證明兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，把證明面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題.2.垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系判定判定判定 ,線線垂直大中線面垂直 = 面面垂直 性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)考向7線面角、二面角

25、的求法1.線面角OA? a ,OB?B ,OA J OB±l,則(2)二面角 8的范圍：0° < 9 <180° .0國(guó)E國(guó)3如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA=BD =也，AD = 2, PA=PD = J5 是棱AD, PC的中點(diǎn).(1)證明：EF/平面PAB.(2)若二面角 P-AD-B 為 60° ,證明：平面PBC，平面ABCD;求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.【思路導(dǎo)引】(1)因?yàn)镋, F分別是所在棱的中點(diǎn)，可取,E, F分別PB的中點(diǎn)M,證明四邊形AMFE是平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理證明.

26、(2)連接PE, BE,由題意知/ PEB=60° ,在4PEB中利用余弦定理證出BELPB.又BE，AD,然后利用線面垂直和面面垂直的判定定理證明; 平面PBC,則/EFB即為直線EF與平面PBC所成的角.【解析】(1)證明：如圖，取PB中點(diǎn)M,AM.因?yàn)镕為PC中點(diǎn).1 故 MF / BC且 MF=2BC.由已知有 BC/AD, BC = AD.由知BEX又由于E為AD的中點(diǎn),因而 MF / AE 且 MF = AE,故四邊形AMFE為平行四邊形,AB而EF?平面PAB(2)證明：如圖，連接PE, BE.因?yàn)镻A=PD, BA=BD,而E為AD的中點(diǎn),故 PEXAD, BEXAD

27、,所以/PEB為二面角P-AD-B的平面角.在APAD 中，由 PA=PD = g AD = 2,可解得 PE = 2.在4ABD 中，由 BA=BD =，2, AD = 2,可解得 BE=1.在4PEB 中，PE=2, BE=1, / PEB=60° ,由余弦定理，可解得PB=3,從而/PBE=90° ,即 BEXPB.又 BC / AD, BEXAD,所以/EFB為直線EF與平面PBC所成的角.由PB = 3及已知，得/ABP為直角.而 MB = 1PB = ¥，可得 AM = 41,故 EF =害1.又 BE=1,故在 RtEBF 中，sin/EFB = B

28、E=4J.所以直線EF與平面PBC所成角的正弦值為2 ,；11111 .求空間角的三個(gè)步驟(1)找：即找出相關(guān)的角；(2)證：即證明找出的角即為所求的角；(3)計(jì)算：即通過解三角形的方法求出所求角.2 .空間角的找法(1)線面角找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作出垂線，確定垂足.(2)二面角二面角的大小用它的平面角來度量，平面角的常見作法有：定義法;垂面 法.其中定義法是最常用的方法.鞏固練習(xí)：1 .如圖，在四棱錐 P-ABCD中底面 ABCD是矩形，PA，平面 ABCD, PA=AD=2, AB=1, BMXPD 于點(diǎn) M.(1)求證：AMXPD;(2)求直線CD與平面ACM所成的角的余弦值.

29、2 .如圖所示，在四棱錐 SABCD中，底面ABCD是菱形，SA，平面ABCD, M,課N分別為SA, CD的中點(diǎn).堂練證明：直線MN/平面SBC;習(xí)(2)證明：平面 SBDXT面SAC.,AB=BC.把ABACO恰好落在線段ACEA，。D(1)求證：平面 OEF/平面APD;(2)求證：CD，平面POF;(3)若AD = 3, CD = 4, AB = 5,求四棱錐 E-CFO的體積1.PA1AB明:. PAL平面 ABCD, AB?平面 ABCD,nPA= A, AD?平面 PAD, PA?平面 PAD面AB,ABABM = B, AB?平面 ABM, BM?平面 ABM , . PDL平. AM?平面 ABM,AMXPD.錯(cuò) 題 回 顧(2)由知,AMXPD,又 PA=AD,則M是PD的中點(diǎn).在 RtAPAD 中，AM：%在 RtzXCDM 中，MC = JMD2+DC2 = 73, , Sa ACM =2AM八 .6-MC=.設(shè)點(diǎn)D到平面ACM的距離為h,由Vd-acm = Vm-acd,/日 1_. K