1、.中學興趣數學欺騙眼睛的幾何問題生活中我們常常相信親眼所見，但又常常為自己的眼睛所騙，魔術就是一個很好的例子。數學中也有這種欺騙我們眼睛的奇妙的數學魔術，請看下面問題1這兩個圖形，假如將圖1中的四塊幾何圖形裁剪開來重新拼接成圖2，我們將會發現，與圖1相比，圖2多出了一個洞！這怎么可能呢？理性會提出這樣的疑問。微妙何在我們姑且按下不表，讓喜歡考慮的同學先動動腦子。我們還是來看一個更簡單的問題2吧，將圖3中面積為1313=169的正方形裁剪成圖中標出的四塊幾何圖形，然后重新拼接成圖，計算可知長方形的面積為821168，比正方形少了一個單位的面積，真不可思議！這兩個問題是這樣的令人驚奇和難以理解，值

2、得我們花費一些時間動手按照所說的剪裁方法做一做。以問題2為例，我們在白紙上將正方形量好畫出，剪成四塊，重新安排后拼成長方形，除非圖形做得很大并且作圖和剪裁都非常準確，我們一般是不會發現拼接成的長方形在對角線附近發生了微小的重疊，正是沿對角線的微小重疊導致了一個單位面積的喪失。要證實這一點我們只要計算一下長方形對角線的斜率和正方形拼接各片相應邊的斜率，比較一下就會清楚了。問題中涉及到四個數據5、8、13和21，有一定數學根底的同學會認出這是著名的斐波那契數列中的四項，斐波那契數列的特征是它的每一項都是前兩項之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，。我們還可以使用這個數列中的其他相鄰四項來

3、試驗這個過程，無論選取哪四項，都可以發現正方形和長方形的面積是不會相等的，有時正方形的面積比長方形多一個單位面積，有時那么正好相反。多做幾次上述實驗，我們就會得出斐波那契數列的一個重要性質：這個數列任意一項的平方等于它前后相鄰兩項之積加1或減1。用公式表示就是：。其中表示正方形的面積，表示長方形的面積。知道了這個事實，我們就可以自己構造類似于問題2的幾何趣題。上面的這個斐波那契數列是以1，1兩數開場的，廣義的斐波那契數列可以從任意兩數開場。比方說，用廣義斐波那契數列2，2，4，6，10，16，做上述試驗，就會多得或喪失四個單位的面積。假如用a、b、c表示廣義斐波那契數列的相鄰三項，以x表示得或

4、失的數字，那么以下兩式成立：我們還可以來研究這樣一個有趣的問題：把正方形按上述方法剪成四塊，是否會拼接成一個與它面積相等的長方形？要答復這個問題，可以令方程組中的x等于零，再解之得唯一正解是：。其中恰是著名的黃金分割比，通常用來表示，它是一個無理數，等于1.618033。這就是說，唯一的每項平方等于前后相鄰兩項之積的斐波那契數列是：1，。要證明它確實是斐波那契數列，只要證明它等價于數列1，+1，2+1，3+2，就可以了。只有用這個數列相鄰項數表示的長度來分割正方形，才可以拼出面積不變的長方形。我們再回到問題1，題中涉及到的數據1，1，2，3，5，8，13恰是斐波那契數列的前七項，因此問題實際上

5、是問題的一個復雜化版本，計算一以下圖中兩個大小三角形斜邊的斜率，那么一開場的疑問已不講自明。一般說來，“老師概念之形成經歷了非常漫長的歷史。楊士勛唐初學者，四門博士?春秋谷梁傳疏?曰：“師者教人以不及，故謂師為師資也。這兒的“師資，其實就是先秦而后歷代對老師的別稱之一。?韓非子?也有云：“今有不才之子師長教之弗為變其“師長當然也指老師。這兒的“師資和“師長可稱為“老師概念的雛形，但仍說不上是名副其實的“老師，因為“老師必需要有明確的傳授知識的對象和本身明確的職責。死記硬背是一種傳統的教學方式,在我國有悠久的歷史。但隨著素質教育的開展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學生才能開展的教學方式,漸漸為

6、人們所摒棄;而另一方面,老師們又為進步學生的語文素養煞費苦心。其實,只要應用得當,“死記硬背與進步學生素質并不矛盾。相反,它恰是進步學生語文程度的重要前提和根底。最后再給喜歡考慮的同學提出一個與前兩個問題略有不同的問題 3，圖5這個正方形按圖中標出的數據分割成了五塊幾何圖形，剪開后重新拼接成圖，奇怪，又多出了一個洞！這次斜線處并無疊合，少掉的一個單位面積哪里去了呢？這個問題最初是由美國魔術師保羅?卡瑞提出的，雖然它曾經難倒了許多美國人，但相信它難不倒聰明的中國學生。為幫助大家考慮，提示一下：不要忘了計算！最后送給大家一句華羅庚教授的話作為本文的完畢，數缺形時少直觀，形少數時難入微。要練說，得練看。看與說是統一的，看不準就難以說得好。練看，就是訓練幼兒的觀察才能，擴大幼兒的認知范圍，讓幼兒在觀