1、.中國剩余定理的應(yīng)用實例韓信點兵物不知其數(shù)問題出自一千六百年前我國古代數(shù)學(xué)名著?孫子算經(jīng)?。原題為："今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之二，五五數(shù)之三，七七數(shù)之二，問物幾何?"這道題的意思是：有一批物品，不知道有幾件。假如三件三件地數(shù)，就會剩下兩件;假如五件五件地數(shù)，就會剩下三件;假如七件七件地數(shù)，也會剩下兩件。問：這批物品共有多少件?變成一個純粹的數(shù)學(xué)問題就是：有一個數(shù)，用3除余2，用5除余3，用7除余2.求這個數(shù)。這個問題很簡單：用3除余2，用7除也余2，所以用3與7的最小公倍數(shù)21除也余2，而用21除余2的數(shù)我們首先就會想到23;23恰好被5除余3，所以23就是此題的一個答案。

2、這個問題之所以簡單，是由于有被3除和被7除余數(shù)一樣這個特殊性。假如沒有這個特殊性，問題就不那么簡單了，也更有趣兒得多。我們換一個例子;韓信點一隊士兵的人數(shù)，三人一組余兩人，五人一組余三人，七人一組余四人。問：這隊士兵至少有多少人?這個題目是要求出一個正數(shù)，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的數(shù)盡可能地小。假如一位同學(xué)從來沒有接觸過這類問題，也能利用試驗加分析的方法一步一步地增加條件推出答案。例如我們從用3除余2這個條件開場。滿足這個條件的數(shù)是3n+2，其中n是非負(fù)整數(shù)。要使3n+2還能滿足用5除余3的條件，可以把n分別用1，2，3，代入來試。當(dāng)n=1時，3n+2=5，5除以

3、5不用余3，不合題意;當(dāng)n=2時，3n+2=8，8除以5正好余3，可見8這個數(shù)同時滿足用3除余2和用5除余3這兩個條件。最后一個條件是用7除余4.8不滿足這個條件。我們要在8的根底上得到一個數(shù)，使之同時滿足三個條件。為此，我們想到，可以使新數(shù)等于8與3和5的一個倍數(shù)的和。因為8加上3與5的任何整數(shù)倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3.于是我們讓新數(shù)為8+15m，分別把m=1，2，代進去試驗。當(dāng)試到m=3時，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因此53符合題目要求。我國古代學(xué)者早就研究過這個問題。例如我國明朝數(shù)學(xué)家程大位在他著的?算法統(tǒng)宗?1593年中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解

4、法：三人同行七十稀，五樹梅花甘一枝，七子團聚正半月，除百零五便得知。"正半月"暗指15."除百零五"的原意是，當(dāng)所得的數(shù)比105大時，就105、105地往下減，使之小于105;這相當(dāng)于用105去除，求出余數(shù)。這四句口訣暗示的意思是：當(dāng)除數(shù)分別是3、5、7時，用70乘以用3除的余數(shù)，用21乘以用5除的余數(shù)，用15乘以用7除的余數(shù)，然后把這三個乘積相加。加得的結(jié)果假如比105大，就除以105，所得的余數(shù)就是滿足題目要求的最小正整數(shù)解。按這四句口訣暗示的方法計算韓信點的這隊士兵的人數(shù)可得：70×2+21×3+15&

5、;times;4=263，263=2×105+53，所以，這隊士兵至少有53人。在這種方法里，我們看到：70、21、15這三個數(shù)很重要，稍加研究，可以發(fā)現(xiàn)它們的特點是：70是5與7的倍數(shù)，而用3除余1;21是3與7的倍數(shù)，而用5除余1;15是3與5的倍數(shù)，而用7除余1.因此70×2是5與7的倍數(shù)，用3除余2;21×3是3與7的倍數(shù)，用5除余3;15×4是3與5的倍數(shù)，用7除余4.假如一個數(shù)以a余數(shù)為b，那么給這個數(shù)加上a的一個倍數(shù)以后再除以a，余數(shù)仍然是b.所以，把70×2、21&tim

6、es;3與15×4都加起來所得的結(jié)果能同時滿足"3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求。一般地，70m+21n+15k1≤m<3，1≤n<5，1≤k<7能同時滿足"用3除余m、用5除余n、用7除余k"的要求。除以105取余數(shù)，是為了求符合題意的最小正整數(shù)解。我們已經(jīng)知道了70、21、15這三個數(shù)的性質(zhì)和用處，那么，是怎么把它們找到的呢?要是換了一個題目，三個除數(shù)不再是3、5、7，應(yīng)該怎樣去求出類似的有用的數(shù)呢?為了求出是5與7的倍數(shù)而用3除余1的數(shù)，

7、我們看看5與7的最小公倍數(shù)是否符合要求。5與7的最小公倍數(shù)是5×7=35，35除以3余2，35的2倍除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我們得到了"三人同行七十稀".為了求出是3與7的倍數(shù)而用5除余1的數(shù)，我們看看3與7的最小公倍數(shù)是否符合要求。3與7的最小公倍數(shù)是3×7=21，21除以5恰好余1，于是我們得到了"五樹梅花甘一枝".為了求出是3與5的倍數(shù)而用7除余1的數(shù)，我們看看3與5的最小公倍數(shù)是否符合要求。3與5的最小公倍數(shù)是3×5=15，15除以7恰好余1，因此我們得到了"

8、;七子團聚正半月".3、5、7的最小公倍數(shù)是105，所以"除百零五便得知".按照上面的思路，我們可以舉一反三。例如：試求一數(shù)，使之用4除余3，用5除余2，用7除余5.解我們先求是5與7的倍數(shù)而用4除余1的數(shù);5與7的最小公倍數(shù)是5×7=35，35除以4余3，3×3除以4余1，因此35×3=105除以4余1，105是5與7的倍數(shù)而用4除余1的數(shù)。我們再求4與7的倍數(shù)而用5除余1的數(shù);4與7的最小公倍數(shù)是4×7=28，28除以5余3，3×7除以5余1，因此28&

9、times;7=196除余5余1，所以196是4與7的倍數(shù)而用5除余1的數(shù)。最后求是4與5的倍數(shù)而用7除余1的數(shù)：4與5的最小公倍數(shù)是4×5=20，20除以7余6，6×6除以7余1，因此20×6=120除以7余1，所以120是4與5的倍數(shù)而用7除余1的數(shù)。利用105、196、120這三個數(shù)可以求出符合題目要求的解：105×3+196×2+120×5=1307.由于4、5、7的最小公倍數(shù)是4×5×7=140，1307大于140，所以130

10、7不是符合題目要求的最小的解。用1037除以140得到的余數(shù)是47，47是符合題目的最小的正整數(shù)解。一般地，105m+196n+120k1≤m<4，1≤n<5，1≤k<7是用4除余m，用5除余n，用7除余k的數(shù);105m+196n+120k除以140所得的余數(shù)是滿足上面三個條件的最小的正數(shù)。上面我們是為了寫出105m+196n+120k這個一般表達(dá)式才求出了105這個特征數(shù)。假如只是為理解答我們這個詳細(xì)的例題，由于5×7=35既是5與7的倍數(shù)除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。35+1

11、96×2+120×5=1027就是符合題意的數(shù)。1027=7×140+47，由此也可以得出符合題意的最小正整數(shù)解47.?算法統(tǒng)宗?中把在以3、5、7為除數(shù)的"物不知其數(shù)"問題中起重要作用的70、21、15這幾個特征數(shù)用幾句口訣表達(dá)出來了，我們也可以把在以4、5、7為除數(shù)的問題中起重要作用的105、196、120這幾個特征數(shù)編為口訣。留給讀者自己去編吧。一般說來，“老師概念之形成經(jīng)歷了非常漫長的歷史。楊士勛唐初學(xué)者，四門博士?春秋谷梁傳疏?曰：“師者教人以不及，故謂師為師資也。這兒的“師資，其實就是先秦而后歷代對老師

12、的別稱之一。?韓非子?也有云：“今有不才之子師長教之弗為變其“師長當(dāng)然也指老師。這兒的“師資和“師長可稱為“老師概念的雛形，但仍說不上是名副其實的“老師，因為“老師必需要有明確的傳授知識的對象和本身明確的職責(zé)。但凡三個除數(shù)兩兩互質(zhì)的情況，都可以用上面的方法求解。其實,任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會“活用。不記住那些根底知識,怎么會向高層次進軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進步學(xué)生的寫作程度,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識抓起,每天擠一點時間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。上面的方法所根據(jù)的理論，在中國稱之為孫子定理，國外的書籍稱之為中國剩余定理。語文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。假如有選擇循序漸進地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對進步學(xué)生的程度會大有裨益。如今,不少語文老師在分析課文時,把文章解體的支離破碎,總在文章的技巧方面下功夫。結(jié)果老師費力,學(xué)生頭疼。分析完之后,學(xué)生收效甚微,沒過幾天便忘的一干二