1、平行度誤差的關鍵問題探討與軟件測試林 翔（福建商業高等?？茖W校 福建福州 350012）【摘要】平行度誤差評定的關鍵在于基準擬合，其擬合精度決定誤差評定結果之精度。對于平面基準和空間直線基準，數模重新整定，尋求全新算法，并論證其對“最小條件”要求的符合性，且通過了對程序進行的大量算例測試。在高精度基準擬合確定基礎上，研發功能完全的平行度誤差評定軟件，經大量算例測試表明了其評定結果的高精度性。【關鍵詞】平行度誤差;基準擬合;最小條件;軟件測試;高精度Research on the Parallelism Error and Software TestingLIN Xiang (Fujian Co

2、mmercial College, Fuzhou, Fujian, 350012)Abstract: Baseline fitting is a key factor in parallelism error evaluation and the fitting accuracy can influence evaluation results. The paper uses data mold to construct datum and space straight-line basis to find new algorithm, prove the requirements of th

3、e "minimum conditions", and is tested by a large number of the algorithm. Based on the high-precision baseline fitting, the software of parallelism error evaluation is designed and the high-precision of evaluation result is assured by the testing.Key words: parallelism error; baseline fitt

4、ing; minimum conditions; Software testing; high-precision一、平行度誤差的關鍵問題任何一種定向誤差評定的關鍵問題，不外乎基準的確定，空間平行度誤差的評定也不例外。探討空間平行度誤差評定，按基準來區分，要考慮有2大類4種情況：一類是基準為空間平面，被測對象分空間直線和平面2種，可簡稱為“線對面”平行度誤差、“面對面”平行度誤差；另一類是基準為空間直線，被測對象同樣也分空間直線和平面2種，簡稱為“線對線” 平行度誤差、“面對線”平行度誤差。1、如果基準是已知的，是精確給定的，按文獻1規定上述4種問題的解決相對簡單一些：“線對面”、“面對面”：

5、只要求出被測直線或被測平面上所有測量點到基準平面的最大距離與最小距離，二者之差即為其平行度誤差值；“線對線”：以基準直線的方向矢量為法矢作一平面，令被測直線上所有測量點投影到該平面，對所有投影點求最小外包圓，則此圓之直徑即為其平行度誤差值；“面對線”：以基準直線的方向矢量為法矢作一平面，令被測平面上所有測量點投影到該平面，對所有投影點求二維直線度誤差，則此直線度誤差值即為平行度誤差值。因此在基準已經給定時，上述4種情況下求平行度誤差的核心問題是求“最小外包圓”直徑與“二維直線度誤差”，而此二問題的求解在文獻2、3中已有詳細闡述，且所求的最小外包圓直徑與二維直線度誤差值的精度非常高，可以直接引用

6、，此處不作贅述。2、如果基準未明確給出，而是通過測量得到的，那么就必須先對基準的測量點集進行平面擬合或空間直線擬合，以確定基準，進而按上一部分所述的4種情況處理，最終求出相應的平行度誤差值。顯然，這種情況下基準的擬合認定，就成為了誤差評定的關鍵。國標1規定“由基準要素建立基準時，基準為該基準要素的擬合要素。擬合要素的位置應符合最小條件”。 按此要求，基準為空間直線的，可以引用文獻4提供的方法求取，以該算法得出的空間直線度誤差符合“最小區域”原則，因此所擬合的直線必然符合“最小條件”要求。從文獻4羅列的算例來看，其空間直線度誤差評定的精度極佳，超過目前業界絕大部分常見的主流軟件?；鶞蕿槠矫娴模?/p>

7、同樣要對平面測量點集進行平面擬合，擬合的硬指標也是要符合“最小條件”原則，以下對此關鍵問題展開探討。二、基準平面擬合基準平面上測量點集P=Pk(xk, yk, zk)，k=1n，設基準的擬合平面為0，其法矢記作(l，m，1)，按文獻1關于“最小條件”的規定，求0其實就是求“平面度誤差”的過程，而且求取平面度誤差的算法必須符合“最小區域”原則，這樣求得的擬合基準平面0才滿足要求，可以作為基準使用?！捌矫娑日`差”屬于形位誤差中之形狀誤差范疇，現行的平面度誤差算法很多，如借助matlab5、LABview6等專業軟件包或著名的“PC_DMIS”軟件7來設計算法的，也有利用改進蜂群算法8來開發算法的，

8、但其中符合“最小區域”原則的高精度算法乏善可陳，有的算法過程復雜卻難以實用，有的甚至不具備收斂于“最小區域”的機制。為此，有必要針對關鍵問題重新建立數學模型并尋求符合“最小區域”原則的算法。1、平面擬合的數學模型點集P為平面上n個測量點之集合，P=Pk(xk, yk, zk)，k=1n，擬合平面方程為0：，P中任一點Pk至0的距離為：k=|, (k=1n)；按“最小區域”原則，擬合平面的目標函數：=max(k)+min(k)，(k=1n)；令目標函數f= min()成立，就可求出平面0的各個參數l、m、d，所得的0就是符合“最小條件”的擬合基準平面。2、計算方法f= min() 是離散型的，可

9、以求其數值解，使得f趨于極小，即f=-à min。算法的思路是先以“最小二乘平面”求取初始的擬合平面0，獲得初始平面度誤差0值；然后不斷有意識地改變初始平面0（指0法向量(l,m,1)），使初始0朝著可能降低0值的方向轉動，從而使計算過程達到0值趨于min的目的。顯然，算法的關鍵是在后面的過程。不妨記以“最小二乘平面”擬合得到的初始平面0: ，點集P中距初始0距離最大者為Pi、最小者為Pj，對應的距離為i、j，Pi、Pj在0的投影點分別為Ai、Aj，自然AiPi=i，AjPj=j，記0=|i|+|j|，如圖一所示。沿AiPi距Ai距離遠處取點Ai，AiAi=（是一個甚小值）；同樣在A

10、jPj上取點Aj，AjAj =；記AiAj中點Aij，于0上求點Aij，滿足AijAijAiAj。以Ai、Aj、Aij三點作新 圖一 初始擬合基準平面與測點關系平面0，易見0系0繞AijAij做微小轉動之后得到的。0由0轉動獲得，目的是使值下降，這一點需要證明：記共面線段PiAi、PjAj構成的平面為1，如圖二所示，Pi至0的距離i，Pj至0的距離j；觀察PiAi Ai、PjAj Aj，PiAiAi、PjAjAj均為鈍角，故i<i、j<j，是有=|i|+|j| < |i|+|j|=0，由此得證。并不是平面0的平面度誤差，因此究竟轉動得到的0能否把0降下來，還需通過P對0計算平

11、面度誤差值，并與0作比較，并分以下3種情況進行判斷：1） 若<0，平面0取代平面0，然后再依上法對平面0作微小轉動；2） 若0，則減小值，重新在原0基礎上求0，再通過點集P對0計算值，判斷<0是否成立： 圖二 0、0與各測點及投影點關系 a）如果成立，類同1）情況，按1）操作； b）如果不成立，繼續減小值，重新在原0基礎上求0，并返回1）； 3） 若已減小為非常小的值，達到精度要求，也不能經轉動0而把0降下來，則計算過程終止，0就是所求的擬合基準平面。0是依“最小區域”原則求取得到的，因此滿足“最小條件”要求。3、基準平面擬合算法框圖開始輸入基準平面測量點集P=Pk，（k=1n）及

12、以“最小二乘平面”算法求初始擬合平面0之各參數l、m、d值,及0以在平面0基礎上求取平面0，以點集P=Pk，（k=1n）計算0取代0<0yN足夠小 Ny=/2輸出0的法矢（l,m,1），及平面度誤差值0結束 4、編程與測試按照上述算法框圖，筆者用C語言編程，并收集了50多個關于“平面度誤差”的算例加以驗算。從國標1易知，對于給定的點集，平面度誤差的評定值越小，則擬合的平面越符合“最小條件”。軟件經過50多個算例測試，結果均表明以本算法計算得到平面度誤差值都等于或小于原文的值，說明本算法擬合的平面更加理想。茲隨選若干算例略作比較說明：文獻59中各給出了一個平面度誤差算例，原文得到的誤差值依

13、次是：8.971m、2.0268m、0.59571mm、0.15487mm、0.0753928；用本算法進行計算，平面度誤差依次為8.971m、1.9143m、0.577350mm、0.15487mm、0.065163。顯然本算法求得的平面度誤差值精度更高，因此求得的相應的擬合平面更符合“最小條件”。三、平行度誤差軟件測試1、平行度誤差計算解決了高精度的“空間直線擬合”、“平面擬合”問題，也就解決了平行度誤差評定中基準擬合的關鍵問題，平行度誤差評定所涉及的4種類型，都迎刃而解了：“線對線”：以文獻4的方法擬合基準直線，在此基礎上以文獻3求最小外包圓，輸出直徑值；“面對線”：同上法擬合基準直線，

14、在此基礎上以文獻2求二維直線度誤差，輸出該值；“線對面”、“面對面”： 以本文前述的方法擬合基準平面，基于此基準平面求出被測對象上所有測量點至基準的最大、最小距離，求出二者之差并輸出。2、編程與測試平行度誤差高精度評定軟件用C語言編程，功能包括上述4項。通過數十個算例的測試，結果表明該軟件是穩定可靠的，計算得到平行度誤差值具有高精度性。以下針對上述4種類型選5個算例略作說明。“線對線”：文獻10給出的算例，其基準直線上分布9個測量點，被測直線上有5個測量點。原文的平行度誤差為0.740598m；本軟件計算得到的平行度誤差為2.057695m（基準的直線度誤差為3.701226m）；“面對線”：

15、依然是文獻10的算例，基準直線上分布9個測量點，被測平面有16個測量點。原文的平行度誤差為10.678857m；本軟件計算得到的平行度誤差為5.69515m（基準的直線度誤差為0.544669m）；“線對面”：還是文獻10的算例，其基準平面上分布9個測量點，被測直線上有8個測量點。原文的平行度誤差為0.659m；本軟件計算得到的平行度誤差為13.384616m（基準的平面度誤差為6.307692m）；“面對面”：文獻11給出的算例，其基準平面、被測平面上各有9個測量點。原文的平行度誤差為64.2m（基準平面度誤差為32.9501）；本軟件計算得到的平行度誤差為64.199967m（基準的平面度

16、為32.9250m）。文獻12給出的“面對面”算例，其基準平面、被測平面上各有20個測量點。原文的平行度誤差為0.049mm（基準的平面度誤差為3.519142mm）；本軟件計算得到的平行度誤差為1.866096mm。（基準的平面度誤差為2.50897mm）。四、結語平行度誤差的評定，基準的擬合是技術的關鍵。平行度誤差評定結果的精度如何，取決于基準的擬合是否符合“最小條件”原則。基準為空間直線的，其擬合問題已經得到較好的解決，本文主要解決基準為平面時的高精度擬合問題。從平面擬合的數模、算法、編程，以及大量的軟件測試結果來看，平面擬合是符合“最小條件”原則的。在這個基礎上，筆者研發了一個完整的平

17、行度誤差的評定軟件，功能齊全，運算穩定；同樣經過大量的算例測試，測試結果充分說明了其高精度性，軟件達到了研發目的，較之目前業界平行度誤差評定的主流程序，本軟件在計算精度上有一定的優勢。參考文獻： 1中華人民共和國國家質量監督檢驗檢疫總局,中國國家標準化管理委員會. 產品幾何量技術規范(GPS)形狀和位置公差檢測規定（GB/T 1958-2004）M. 中國標準出版社,2005,72林翔.直線度誤差的新算法及其在微機上的實現J.計量技術,2007,(8):19-213林翔.兩種圓度誤差評定方法之精確算法及其編程J.福建商業高等?？茖W校學報,2006,(6):126-1284林翔.空間直線度誤差新算法及其編程J.佛山科學技術學院學報(自然科學版),2012,30(1):45-495史立新,朱思洪.基于Matlab的平面度誤差最小區域法評定J.組合機床與自動化加工技術,2005, (9):58-596楊碧儀,黃鎮昌.由虛擬儀器LabVIEW實現最小區域法評定平面度誤差J.現代制造工程2004(12):76-777楊偉敏.PC_DMIS軟件平面