1、工程工程流體力學流體力學（第四至七章）周云龍洪文鵬合編 開開 始始.第四章不可壓縮流體的有旋流 動和二維無旋流動第一節 流體微團運動分析第二節 有旋流動和無旋流動第三節 無旋流動的速度勢函數第四節 二維平面流動的流函數第五節 基本的平面有勢流動第六節 平面勢流的疊加流動.歡迎進入第四章的學習. 流體由于具有易變形的特性（易流動性），因此流體的運動要比工程力學中的剛體的運動復雜得多。在流體運動中，有旋流動和無旋流動是流體運動的兩種類型。由流體微團運動分析可知，有旋流動是指流體微團旋轉角速度 的流動，無旋流動是指 的流動。 實際上，黏性流體的流動大多數是有旋流動，而且有時是以明顯的旋渦形式出現的，

2、如橋墩背流面的旋渦區，船只運動時船尾后形成的旋渦，大氣中形成的龍卷風等等。但在更多的情況下，流體運動的有旋性并不是一眼就能看得出來的，如當流體繞流物體時，在物體表面附近形成的速度梯度很大的薄層內，每一點都有旋渦，而這些旋渦肉眼卻是觀察不到的。至于工程中大量存在著的紊流運動，更是充滿著尺度不同的大小旋渦。 00. 流體的無旋流動雖然在工程上出現得較少，但無旋流動比有旋流動在數學處理上簡單 得多，因此，對二維平面勢流在理論研究方面較成熟。對工程中的某些問題，在特定條件下對黏性較小的流體運動進行無旋處理，用勢流理論去研究其運動規律，特別是繞流物體的流動規律，對工程實踐具有指導意義和應用價值。因此，本

3、章先闡述有旋流動的基本概念及基本性質，然后再介紹二維平面勢流理論。 .第一節 流體微團運動分析 剛體的一般運動可以分解為移動和轉動兩部分。流體與剛體的主要不同在于它具有流 動性，極易變形。因此，任一流體微團在運動過程中不但與剛體一樣可以移動和轉動，而且還會發生變形運動。所以，在一般情況下流體微團的運動可以分解為移動、轉動和變形運動三部分。. 一、表示流體微團運動特征的速度表達式一、表示流體微團運動特征的速度表達式zzuyyuxxuuucdddzzvyyvxxvvvcdddzzwyywxxwwwcddd.圖 4-1 分析流體微團運動用圖 .yyuxvzxwzuzxwzuyxvyuxxuuucd2

4、1d21d21d21dzzvywxyuxvzywzvxyuxvyvvvcd21d21d21d21dyxxwzuzzvywyzvywxzuxwzzwwwcd21d21d21d21d.剪切變形速率 、 、 、 、 、 ，引入記號，并賦予運動特征名稱：線變形速率 、 、 ，xx、yy、zz，zwyvxuzzyyxx,xyyxyzzyxzzxxwzuzvywyuxvxzzxzyyzyxxy212121 （4-1） （4-2）.于是可得到表示流體微團運動特征的速度表達式為旋轉角速度 、 、 ，xyzyuxvxwzuzvywzyx212121 （4-3）xyyxzwwzxzxyvvyzzyxuuyxzyz

5、xzzcxzyzyxyyczyxzxyxxcddddddddddddddd（4-4） . 二、流體微團運動的分解二、流體微團運動的分解 為進一步分析流體微團的分解運動及其幾何特征，對式(4-4)有較深刻的理解，現在分別說明流體微團在運動過程中所呈現出的平移運動、線變形運動、角變形運動和旋轉運動。 為簡化分析，僅討論在 平面上流體微團的運動。假設在時刻 ，流體微團ABCD為矩形，其上各點的速度分量如圖4-2所示。由于微團上各點的速度不同，經過時間 ，勢必發生不同的運動，微團的位置和形狀都將發生變化，現分析如下。xoyttd.1平移運動圖 4-2 分析流體微團平面運動用圖 a . 2線變形運動 .

6、b. 圖4-3 流體微團平面運動的分解(a).圖4-3 流體微團平面運動的分解(b).圖4-3 流體微團平面運動的分解(c) . 圖4-3 流體微團平面運動的分解(d). 3角變形運動 c.yuxvtyxxy21d)/2dd(yuxvyxxy21zvywzyyz21xwzuxzzx21. 4旋轉運動d .yuxvtz21dd-d21tdd/ )-d(21.yuxvxwzuzvywzyx212121222zyx)(21Vkjizyxxy. 綜上所述，在一般情況下，流體微團的運動總是可以分解成：整體平移運動、旋轉運動、線變形運動及角變形運動，與此相對應的是平移速度、旋轉角速度、線變形速率和剪切變形

7、速率。. 第二節 有旋流動和無旋流動一、有旋流動和無旋流動的定義一、有旋流動和無旋流動的定義二、速度環量和旋渦強度二、速度環量和旋渦強度. 一、有旋流動和無旋流動的定義一、有旋流動和無旋流動的定義 流體的流動是有旋還是無旋，是由流體微團本身是否旋轉來決定的。流體在流動中，如果流場中有若干處流體微團具有繞通過其自身軸線的旋轉運動，則稱為有旋流動。如果在整個流場中各處的流體微團均不繞自身軸線的旋轉運動，則稱為無旋流動。這里需要說明的是，判斷流體流動是有旋流動還是無旋流動，僅僅由流體微團本身是否繞自身軸線的旋轉運動來決定，而與流體微團的運動軌跡無關，在圖4-4(a)中，雖然流體微團運動軌跡是圓形，但

8、由于微團本身不旋轉，故它是無旋流動；在圖4-4(b)中，雖然流體微團運動軌跡是直線，但微團繞自身軸線旋轉，故它是有旋流動。在日常生活中也有類似的例子，例如兒童玩的活動轉椅，當轉輪繞水平軸旋轉時，每個兒童坐的椅子都繞水平軸作圓周運動，但是每個兒童始終是頭向上，臉朝著一個方向，即兒童對地來說沒有旋轉。.圖4-4 流體微團運動無旋流動有旋流動.判斷流體微團無旋流動的條件是：流體中每一個流體微團都滿足根據式（4-3），則有0zyx,zvyw,xwzuyuxv（4-8）.二、速度環量和旋渦強度二、速度環量和旋渦強度1速度環量 為了進一步了解流場的運動性質，引入流體力學中重要的基本概念之一速度環量。 在流

9、場中任取封閉曲線k，如圖4-5所示。速度 沿該封閉曲線的線積分稱為速度沿封閉曲線k的環量，簡稱速度環量，用 表示，即 式中 在封閉曲線上的速度矢量； 速度與該點上切線之間的夾角。 速度環量是個標量，但具有正負號。 VKKsvsVdcosdV.圖4-5 沿封閉曲線的速度環量在封閉曲線k上的速度矢量 速度 與該點上切線之間的夾角 V. 速度環量的正負不僅與速度方向有關，而且與積分時所取的繞行方向有關。通常規定逆時針方向為K的正方向，即封閉曲線所包圍的面積總在前進方向的左側，如圖4-5所示。當沿順時針方向繞行時，式（4-9）應加一負號。實際上，速度環量所表征的是流體質點沿封閉曲線K運動的總的趨勢的大

10、小，或者說所反映的是流體的有旋性。 由于和，則kwj vi uVkzj yi xsddddzwyvxusVdddd代入式（4-9），得KKzwyvxusV)ddd(d（4-10）.2旋渦強度沿封閉曲線的速度環量與有旋流動之間有一個重要的關系，現僅以平面流動為例找出這個關系。如圖4-6所示，在平面上取一微元矩形封閉曲線，其面積，流體在A點的速度分量為和，則B、C和D點的速度分量分別為：XOYyxAddduvxxuuudBxxvvvdByyuxxuuuddCyyvxxvvvddCyyuuudDyyvvvdD.圖4-6 沿微元矩形的速度環量 xxuudxxvvdyyuxxuuddyyvxxvvddy

11、yuudyyvvd.于是，沿封閉曲線反時針方向ABCDA的速度環量將 、 、 、 和 、 、 、 各值代入上式，略去高于一階的無窮小各項，再將式（4-3）的第三式代入后，得然后將式（4-11）對面積積分，得 yvvxuuyvvxuud2d2d2d2dADDCCBBAAuBuCuDuAvBvCvDvAyxyuxvzd2ddd （4-11）Azd2（4-12）.于是得到速度環量與旋轉角速度之間關系的斯托克斯定理：沿封閉曲線的速度環量等于該封閉周線內所有的旋轉角速度的面積積分的二倍，稱之為旋渦強度I，即和式中 在微元面積 的外法線 上的分量。 AInd2dAInd2（4-13） nAdn. 由式（4

12、-11）可導出另一個表示有旋流動的量，稱為渦量，以 表示之。它定義為單位面積上的速度環量，是一個矢量。它在Z軸方向的分量為 對于流體的空間流動，同樣可求得X和Y軸方向渦量的分量 和 。于是得即zzyuxvA2ddzzyyxxyuxvxwzuzvyw222V2（4-14） （4-15） . 也就是說，在有旋流動中，流體運動速度 的旋度稱為渦量。 由此可見，在流體流動中，如果渦量的三個分量中有一個不等于零，即為有旋流動。如果在一個流動區域內各處的渦量或它的分量都等于零，也就是沿任何封閉曲線的速度環量都等于零，則在這個區域內的流動一定是無旋流動。 下面舉兩個簡單的例子來說明速度環量和旋渦強度的物理意

13、義，以及有旋流動和無旋流動的區別。V.【例例4-1】 一個以角速度 按反時針方向作像剛體一樣的旋轉的流動，如圖4-7所示。試求在這個流場中沿封閉曲線的速度環量，并證明它是有旋流動 . (解)【例例4-2】 一個流體繞O點作同心圓的平面流動，流場中各點的圓周速度的大小與該 點半徑成反比，即 ，其中C為常數，如圖4-8所示。試求在流場中沿封閉曲線的速度環量，并分析它的流動情況。(解)rCV .【解解】 在流場中對應于任意兩個半徑 和 的圓周速度各為 和 ，沿圖中畫斜線扇形部分的周界ABCDA的速度環量 可見，在這個區域內是有旋流動。又由于扇形面積 于是 上式正是斯托克斯定理的一個例證。 以上結論可

14、推廣適用于圓內任意區域內。1r2r11 rV22 rV)()(212211221122DACDBCABABCDArrrVrVrVrV)(2d212221rrrrArrA2ABCDA.圖4-7 有旋流動中速度環量的計算圖4-8 無旋流動中速度環量的計算. 【解解】 沿扇形面積周界的速度環量 可見，在這區域內是無旋流動。這結論可推廣適用于任何不包圍圓心O的區域內，例如 。若包有圓心( )，該處速度等于無限大，應作例外來處理。現在求沿半徑 的圓周封閉曲線的速度環量 上式說明，繞任何一個圓周的流場中，速度環量都不等于零，并保持一個常數，所以是有 旋流動。但凡是繞不包括圓心在內的任何圓周的速度環量必等于

15、零，故在圓心O點處必有旋渦存在，圓心是一個孤立渦點，稱為奇點。01122DACDBCABABCDArrCrrCADCBA0r202d常數CrrC.第三節 無旋流動的速度勢函數 如前所述，在流場中流體微團的旋轉角速度 在任意時刻處處為零，即滿足 的流動為無旋流動，無旋流動也稱為有勢流動。 一、速度勢函數引入一、速度勢函數引入 二二、速度勢函數的性質、速度勢函數的性質0 V. 一、速度勢函數引入一、速度勢函數引入 由數學分析可知， 是 成為某一標量函數 全微分的充分必要條件。則函數 稱為速度勢函數。因此，也可以說，存在速度勢函數 的流動為有勢流動，簡稱勢流。根據全微分理論，勢函數 的全微分可寫成

16、于是得0 Vzwyvxuddd)(tzyx，zzyyxxddddzwyvxu，（4-16） .按矢量分析對于圓柱坐標系，則有于是 從以上分析可知，不論是可壓縮流體還是不可壓縮流體，也不論是定常流動還是非定常流動，只要滿足無旋流動條件，必然存在速度勢函數。 gradkzjyixkwj viuVzvrvrvzr，1zvrvrvzrdddd（4-17） （4-18） .二、速度勢函數的性質二、速度勢函數的性質 （1）不可壓縮流體的有勢流動中，勢函數 滿足拉普拉斯方程，勢函數 是調和函數。 將式（4-16）代入到不可壓縮流體的連續性方程（3-28）中，則有 式中 為拉普拉斯算子，式（4-19）稱為拉普

17、拉 斯方程，所以在不可壓流體的有勢流動中，速度勢必定滿足拉普拉斯方程，而凡是滿足拉普拉斯方程的函數，在數學分析中稱為調和函數，所以速度勢函數是一個調和函數。02222222zyx2222222zyx0zwyvxu. 從上可見，在不可壓流體的有勢流動中，拉普拉斯方程實質是連續方程的一種特殊形 式，這樣把求解無旋流動的問題，就變為求解滿足一定邊界條件下的拉普拉斯方程的問題。 . （2）任意曲線上的速度環量等于曲線兩端點上速度勢函數 值之差。而與曲線的形狀無關。 根據速度環量的定義，沿任意曲線AB的線積分 這樣，將求環量問題，變為求速度勢函數值之差的問題。對于任意封閉曲線，若A點和B點重合，速度勢函

18、數是單值且連續的，則流場中沿任一條封閉曲線的速度環量等于零，即 。ABBABABAABdwdzvdyudxsdV)(0AB.第四節 二維平面流動的流函數 一、流函數的引入一、流函數的引入 對于流體的平面流動，其流線的微分方程為 ,將其改寫成下列形式 （4-20） 在不可壓縮流體的平面流動中，速度場必須滿足不可壓縮流體的連續性方程，即 或 （4-21） 由數學分析可知，式（4-21）是（ ）成為某函數全微分的充分必要條件，以 表示該函數，則有 （4-22）函數稱為流場的流函數。由式（4-22）可得 （4-23）vyuxdd0ddyuxv0yvxuyvxuyuxvdd yuxvyyxxddddd）

19、，（yxxvyu，. 由式(4-22)，令 ，即 常數，可得流線微分方程式(4-20)。由此可見, 常數的曲線即為流線，若給定一組常數值，就可得到流線簇。或者說，只要給定流場中某一固定點的坐標（ ）代入流函數 ，便可得到一條過該點的確定的流線。因此，借助流函數可以形象地描述不可壓縮平面流場。 對于極坐標系，可寫成 （4-24） （4-25） 在已知速度分布的情況下，流函數的求法與速度勢函數一樣，可由曲線積分得出。 至此可看到，在不可壓縮平面流動中，只要求出了流函數 ，由式（4-23）或式（4-24）就可求出速度分布。反之，只要流動滿足不可壓縮流體的連續性方程，不論流場是否有旋，流動是否定常，流

20、體是理想流體還是黏性流體，必然存在流函數 。 這里需說明，等流函數線與流線等同，僅在平面流動時成立。對于三維流動，不存在流函數，也就不存在等流函數線，但流線還是存在的。 0d），（yx00yx ，rvr1rvdddrvrvr），（yx. 二、流函數的性質二、流函數的性質 （1）對于不可壓縮流體的平面流動，流函數 永遠 滿足連續性方程。 將式（4-23）代入式（4-21）得 即流函數永遠滿足連續性方程。 （2）對于不可壓縮流體的平面勢流，流函數 滿足拉普 拉斯方程，流函數也是調和函數。 對于平面無旋流動， ，則 將式（4-23）代入上式 因此，不可壓縮流體平面無旋流動的流函數也滿足拉普拉斯方程，

21、也是一個調和函數。 因此，在平面不可壓縮流體的有勢流場中的求解問題，可以轉化為求解一個滿足邊界條件的 的拉普拉斯方程.yxxy220z0yuxv022222yx. （3）平面流動中，通過兩條流線間任一曲線單位厚度的體積流量等于兩條流線的流函數之差。這就是流函數 的物理意義。 如圖4-9所示，在兩流線間任一曲線AB，則通過單位厚度的體積流量為 （4-26）由式（4-26）可知，平面流動中兩條流線間通過的流量等于這兩條流線上的流函數之差。圖4-9 說明流函數物理意義用圖21212121dd)d(dxxyyxxyyVxxyyxvyuq12,),(2211dyxyx.三、三、 和和 的關系的關系 （1

22、）滿足柯西-黎曼條件 如果是不可壓縮流體的平面無旋流動，必然同時存在著速度勢和流函數，比較式（4-16）和式（4-23），可得到速度勢函數和流函數之間存在的如下關系 （4-27） （4-28） 這是一對非常重要的關系式，在高等數學中稱作柯西-黎曼條件。因此， 和 互為共軛調和函數，這就有可能使我們利用復變函數這樣一種有力的工具求解此類問題。 當勢函數 和 流函數二者知其一時，另一個則可利用式（4-27）的關系求出，而至多相差一任意常數。xyyx，0yyxx.（2）流線與等勢線正交。 式（4-28）是等勢線簇 常數和流線簇 常數互相正交的條件，若在同一流場中繪出相應的一系列流線和等勢線，則它們必

23、然構成正交網格，稱為流網，如圖4-10所示。 ），（yx），（yx 圖4-10 流網0yyxx. 【例例4-3】 有一不可壓流體平面流動的速度分布為 。該平面流動是否存在流函數和速度勢函數；若存在，試求出其表達式；若在流場中A（1m，1m）處的絕對壓強為1.4105Pa，流體的密度，則B（2m，5m）處的絕對壓強是多少？ 【解解】 （1）由不可壓流體平面流動的連續性方程該流動滿足連續性方程，流動是存在的，存在流函數。 由于是平面流動 該流動無旋，存在速度勢函數。 yvxu44，0)4()4(yyxxyvxu0yx 0442121yxxyyuxvz.（2）由流函數的全微分得：積分 由速度勢函數的

24、全微分得：積分 （3）由于 ，因此，A和B處的速度分別為 由伯努里方程可得yxxyyuxvyyxxd4d4dddddCxy 4yyxxyvxuyyxxd4d4dddddCyx)( 222222vuV)(32) 14() 14(22222AsmV)(464) 54() 24(22222BsmV2BB2AA2121VpVp)(8 .139740)46432(2 . 121104 . 1)(2152B2AABPaVVpp.第五節 基本的平面有勢流動 流體的平面有勢流動是相當復雜的，很多復雜的平面有勢流動可以由一些簡單的有勢 流動疊加而成。所以，我們首先介紹幾種基本的平面有勢流動，它包括均勻直線流動，

25、點源和點匯、點渦等 . 一、均勻直線流動一、均勻直線流動 流體作均勻直線流動時，流場中各點速度的大小相等，方向相同，即 和 。由 式（4-16）和式（4-23），得 于是速度勢和流函數各為以上兩式中的積分常數 和 可以任意選取，而不影響流體的流動圖形（稱為流譜）。 0uu 0vv 00,vxyvuyxu10000ddddCyvxuyvxuyyxx20000d)d(ddCyuxvyuxvyyxx1C2C.若令 ，即得均勻直線流動的速度勢和流函數各為 （4-29） （4-30） 由式（4-29）和式（4-30）可知，等勢線簇（ 常數）和流線簇（ =常數）互相垂直，如圖4-11所示。各流線與軸的夾角

26、等于 。由于流場中各點的速度都相等，根據伯努里方程（3-41），得 常數如果均勻直線流動在水平面上，或流體為氣體，一般可以忽略重力的影響，于是 常數 即流場中壓強處處相等。021 CCyvxu00yuxv00yvxu00yuxv00001 -tguvgpzp.圖4-11 均勻直線流的流譜. 二、平面點源和點匯二、平面點源和點匯 如果在無限平面上流體不斷從一點沿徑向直線均勻地向各方流出，則這種流動稱為點源，這個點稱為源點（圖4-12，a）；若流體不斷沿徑向直線均勻地從各方流入一點，則這種流動稱為點匯，這個點稱為匯點（圖4-12，b）。顯然，這兩種流動的流線都是從原點 O發出的放射線，即從源點流出

27、和向匯點流入都只有徑向速度 。現將極坐標的原點作為源點或匯點，則rvrrv0vrvrdd.圖4-12 點源和點匯的流譜點源點匯back. 根據流動的連續性條件，流體每秒通過任一半徑為 的單位長度圓柱面上的流量 都應該相等，即 常數由此得 （4-31）式中 是點源或點匯在每秒內流出或流入的流量，稱為點源強度或點匯強度。對于點源， 與 同向， 取正號；對于點匯， 與異向， 取負號，于是積分得 式中積分常數 是任意給定的，現令 。又由于 ，于是得速度勢 （4-32）當 時，速度勢 和 速度都變成無窮大，源點和匯點都是奇點。所以速度勢 和速度 的表達式（4-31）和式（4-32）只有在源點和匯點以外才

28、能應用。rVqVrqrv12rqvVr2VqrvrvrrVqVqrrqVd2dCrqVln2C0C22yxr22ln2ln2yxqrqVV0rrvrv. 現在求流函數，由式（4-25）積分得(令式中的積分常數為零) （4-33） 等勢線簇（ 常數，即 常數）是同心圓簇（在圖4-12中用虛線表示）與流線簇（ 常數，即 常數）成正交。而且除源點或匯點外，整個平面上都是有勢流動。如果 平面是無限水平面，則根據伯努里方程（341）式中 為 在處的流體壓強，該處的速度為零。 將式（4-31）代入上式，得 （4-34）由式（4-34）可知，壓強 隨著半徑 的減小而降低。當 時， 。圖4-13表示當 時，點

29、匯沿半徑 的壓強分布。 d2ddddVrrqrvrvrvxyqqVV1-tg22rXOYgpgvgpr22pr22218rqppVpr2/ 1220)8/(pqrrV rr00pr.圖4-13 點匯沿半徑的壓強分布.三、點渦三、點渦 設有一旋渦強度為 的無限長直線渦束，該渦束以等角速度 繞自身軸旋轉，并帶動渦束周圍的流體繞其環流。由于直線渦束為無限長，所以可以認為與渦束垂直的所有平面上的流動情況都一樣。也就是說，這種繞無限長直線渦束的流動可以作為平面流動來處理。由渦束所誘導出的環流的流線是許多同心圓，如圖4-14所示。根據斯托克斯定理可知，沿任一同心圓周流線的速度環量等于渦束的旋渦強度，即 常

30、數于是 （4-35）因此渦束外的速度與半徑成反比。若渦束的半徑 ，則成為一條渦線，這樣的流動稱為點渦，又稱為純環流。但當 時， ，所以渦點是一個奇點。IIrv202rvrv，00r00rv.圖4-14 點渦的流譜. 現在求點渦的速度勢和流函數。由于由 積分后得速度勢 （4-36）又由于 由 積分后得流函數 （4-37）當 時，環流為反時針方向，如圖4-14所示；當 時，環流為順時針方向。 由式（4-36）和式（4-37）可知，點渦的等勢線簇是經過渦點的放射線，而流線簇是同心圓。而且除渦點外，整個平面上都是有勢流動。 rrvrvr210，d2d1ddrrrrxy1-tg22rrvrvr201，r

31、rrrrrd2d1ddrln200. 設渦束的半徑為 ，渦束邊緣上的速度為 ，壓強為 ； 時的速度顯然為零，而壓強為 。代入伯努里方程（3-41），得渦束外區域內的壓強分布為 （4-38）由式（4-38）可知，在渦束外區域內的壓強隨著半徑的減小而降低，渦束外緣上的壓強為 或 （4-39）所以渦束外區域內從渦束邊緣到無窮遠處的壓強降是一個常數。又由式（4-38）可知，在 處，壓強 ，顯然這是不可能的。所以在渦束內確實存在如同剛體一樣以等角速度旋轉的旋渦區域，稱為渦核區。由式（4-39）可得渦核的半徑0r002 rv0prp2222182rpvpp2022200182rpvpp2022200182

32、1rvpp0rp常數gVgpz22.由于渦核內是有旋流動，故流體的壓強可以根據歐拉運動微分方程求得。平面定常流動的歐拉運動微分方程為將渦核內任一點的速度 和 代入上兩式，得以 和 分別乘以上兩式，然后相加，得或積分得xpyuvxuu1ypyvvxvu1yuxvxpx12ypy12xdydyypxxpyyxxdd1)dd(2pyxd1d2222）（CvCrCyxp222222212121）（.在 處， ，代入上式，得最后得渦核區域內的壓強分布為 （4-40）或 （4-40a）于是渦核中心的壓強 而渦核邊緣的壓強 所以 可見，渦核內、外的壓強降相等，都等于用渦核邊緣速度計算的動壓頭。渦核內、外的速

33、度分布和壓強分布如圖4-15所示。 0rr 00vvpp、20202002002121vpvvpvpC22021vvpp2220221rrpp20220rpvppc2022002121rpvpp2022000212121rvppppppcc）（.圖5-14 渦流中渦核內、外的速度和壓強分布.第六節 平面勢流的疊加流動 從上節可以看到，只有對一些簡單的有勢流動，才能求出它們流函數和勢函數，但當流動較復雜時，根據流動直接求解流函數和勢函數往往十分困難。我們可以將一些簡單有勢流動進行疊加，得到較復雜的流動，這樣一來，為求解流動復雜的流場提供了一個有力的工具。因此，本節先介紹勢流的疊加原理，然后再介紹

34、幾種典型的有實際意義的疊加流動。. 一、勢流疊加原理一、勢流疊加原理 前面我們知道，速度勢函數和流函數都滿足拉普拉斯方程。凡是滿足拉普拉斯方程的函數，在數學分析上都稱為調和函數，所以速度勢函數和流函數都是調和函數。根據調和函數的性質，即若干個調和函數的線性組合仍然是調和函數，可將若干個速度勢函數(或流函數)線性組合成一個代表某一有勢流動的速度勢函數(或流函數)。現將若干個速度勢函數 、 、 、疊加，得 （4-41）而 （4-42）顯然，疊加后新的速度勢函數也滿足拉普拉斯方程。同樣，疊加后新的流函數也滿足拉普拉斯方程，即 （4-43） 1233210)(3222123212203222122.

35、這個疊加原理方法簡單，在實際應用上有很大意義，可以應用這個原理把上一節所討論的幾個簡單的基本平面有勢流動疊加成所需要的復雜有勢流動。 將新的速度勢函數 分別對 、 和 取偏導數，就等于新的有勢流動的速度分別在 、 和 軸方向上的分量： （4-44）或 （4-45）即 （4-46）xyzzzzzyyyyxxxx321321321321321321wwwwvvvvuuuuXYZ321VVVV. 由此可見，疊加后所得的復雜有勢流動的速度為疊加前原來的有勢流動速度的矢量和。 由此，可得出一個重要結論：疊加兩個或多個不可壓平面勢流流動組成一個新的復合流動，只要把各原始流動的勢函數或流函數簡單地代數相加，

36、就可得到該復合流動的勢函數或流函數。該結論稱為勢流的疊加原理。 . 二、螺旋流二、螺旋流 螺旋流是點渦和點匯的疊加。將式（4-36）和式（4-32）相加以及將式（4-37）和式（4-33）相加即得新的有勢流動的速度勢和流函數 （4-47） （4-48）式中 取反時針方向為正。于是得等勢線方程 常數或 （4-49）流線方程為 常數或 （4-50）顯然，等勢線簇和流線簇是兩組互相正交的對數螺旋線簇（圖4-16），稱為螺旋流。流體從四周向中心流動。）（rqVln21）（Vqrln21rqVlnVqCre1VqrlnqVCre2.圖4-16 螺旋流的流譜. 研究螺旋流在工程上有重要意義。例如旋流燃燒室

37、、旋風除塵設備及多級離心泵反導葉中的旋轉氣流即可看成是這種螺旋流。螺旋流的速度分布為 （4-51） （4-52） （4-53）代入伯努里方程（3-41），得流場的壓強分布 （4-54） rrv21rqrvVr222222224rqvvVVr222122221118rrqppV）（. 三、偶極流三、偶極流 將流量各為 的點源和 的點匯相距2a距離放在X軸上，疊加后的流動圖形如圖4-17所示，它的速度勢和流函數各為 （4-55） （4-56） 由流線方程（4-56） 常數，得 常數，所以流線是經過源點A和匯點B的圓簇，而且從源點流出的流量全部流入匯點。 222221lnln2lnln2yaxyax

38、qrrqVV）（）（）（2222ln4yaxyaxqV）（）（2221VVqq）（VqVq.圖4-17 點源和點匯的疊加 常數. 現在分析一種在點源和點匯無限接近的同時，流量無限增大（即 ），以至使 保持一個有限常數值 的極限情況。在這種極限情況下的流動稱為偶極流， 稱為偶極矩或偶極強度。偶極流是有方向的，一般規定由點源指向點匯的方向為正向。如圖4-18所示，偶極流指向 軸方向，這時的偶極矩 取正值。 偶極流的速度勢可由式（4-55）根據上述極限條件求得，將式（4-55）改寫成Vqa，02Vaq2MMMX22121211ln2ln2lnln2rrrqrrqrrqVVV）（. 常數 常數圖4-1

39、8 偶極流的流譜 . 從圖4-19中可知，當A點和B點向原點O無限接近時， ，而且當 ， 時 ， ， ，又由于當 為無窮小時，可以略去高階項，得 。因此，偶極流的速度勢或 （4-57）121cos2arr02 aVqMaqV2rrr210214321ln432）（ )1ln(21022102cos22limcos21ln2limraqraqVqaVqaVV2cos22cosrrMrM22222yxxMrxM. 圖4-19 推導偶極流用圖 . 在圖4-19中，BC為從B點向AP所作的垂線，則又當 ， ， ，所以 ，代入式（4-56）得偶極流的流函數或 （4-58）令式（4-58）等于常數 ，于是

40、得流線方程 （4-59）即流線簇是半徑為 、圓心為（0， ），且與軸在原點相切的圓簇，如圖4-18中實線所示。 又令式（4-57）等于常數，得等勢線方程 （4-60）即等勢線簇是半徑為 、圓心為（ ，0）且與軸在原點相切的圓簇，如圖4-18中虛線所示。12sin2sinBCar02 a0asinsin2ar20202sin2sin22lim2limrrMraqqVqaVqaVV22222yxyMryM1C2121244CMCMyx14 CM14 CM2222244CMyCMx24 CM24 CM. 四、繞圓柱體無環量流動四、繞圓柱體無環量流動 將均勻直線流與偶極流疊加，可以得到繞圓柱體無環量流

41、動。設有一在無窮遠處速度 為 、平行于X軸、由左向右流的均勻直線流，與在坐標原點O上偶極矩為M、方向與X軸相反的偶極流疊加，如圖4-20所示，組合流動的流函數為 （4-61）流線方程 （4-62）選取不同的常數值 ，可得到如圖4-20所示的流動圖形。對 的所謂零流線的方程為或 ， V22221212yxVMyVyxyMyVCyxyMyV222C0 C012122yxVMyV0yVMyx222.圖4-20 均勻流繞圓柱體無環量流動.由此可知，零流線是一個以坐標原點為圓心、半徑 的圓周與正負X軸 和 所構成的圖形。該流線到A點處分為兩段，沿上、下兩個半圓周流到B點，又重新匯合。這個平面組合流動的流

42、函數為 (4-63)同樣，也可得到它的速度勢 (4-64)以上兩式中， ，這是因為 的圓柱體內的流動沒有實際意義。 VMr20BB AA sin112202220rrrVyxryV22202212yxrxVyxxMxVcos1220rrrVr0r0rr. 流場中任一點的速度分量為 (4-65)在 ， 處， ， 。這表示，在離開圓柱體無窮遠處是速度為 的均勻直線流動。在圖4-20中的A點（ ，0）和B點( ，0)處， ，A點為前駐點，B點為后駐點。 用極坐標表示的速度分量為 （4-66） 2sin)(22cos1)()(1220222202202222220rrVyxxyrVyvrrVyxyxr

43、VxuxyVu0vV0r0r0vusin11cos1220220rrVrvrrVrvr.沿包圍圓柱體圓周的速度環量為所以，均勻直線流繞圓柱體的平面流動是沒有速度環量的。因此，一個速度為 的均勻直線流繞半徑為 的圓柱體無環量的平面流動，可以用由這個均勻直線流與偶極矩 的偶極流疊加而成的平面組合流動來代替。 當 ，在圓柱面上 （4-67）這說明，流體在圓柱面上各點的速度都是沿切線方向的，也就是說理想流體繞圓柱體無環量的平面流動不會與圓柱面發生分離。202200dsin1drrrVsvV0r202rVM0rr sin20Vvvr. 由式（4-67）可知，在圓柱面上的速度是按照正弦曲線規律分布的，如圖

44、4-21所示。在（圖4-20中的B點）和（圖4-20中的A點）處，；在處，達到最大值，與圓柱體的半徑無關，而等于無窮遠處速度的兩倍。由伯努里方程（3-41）可求得不可壓縮理想流體的圓柱面上壓強分布的公式，即將式（4-67）代入上式，得 (4-68)在工程上常用無量綱的壓強系數來表示流體的壓強分布，它定義為 (4-69)將式（4-68）代入上式，得 (4-70)01800v90 Vv2max222121Vpvp)sin41 (2122Vpp22121VvVppCp222sin41)180(sin41sin41pC無窮遠處流體的壓強 .圖4-21 均直流繞圓柱體無環量流動中圓柱面上的速度分布. 根

45、據式（4-70）計算出理論無量綱壓強系數曲線如圖4-22中實線所示。注意:在計算時， 角是從前駐點A（ ）起沿順時針方向增加。在前駐點A（ ）上，速度等于零，壓強達到最大值， ；垂直于來流方向的最大截面( )上，速度增加到最大值，壓強降到最小值， ；在后駐點B（ ）上，速度又降到零，壓強又回升到最大值, 。這種流動在圓柱面上的壓強分布上下、前后都是對稱的，因此流體作用在圓柱面上的壓強合力等于零。由于流體作用在圓柱面上的壓強合力可分為與來流方向垂直的升力和與來流方向平行的阻力。因此，無黏性的理想流體繞圓柱體無環量流動時，圓柱體上既不承受升力，也不承受阻力。不承受升力與實際情況是相符合的，但是不承

46、受阻力則與實際情況大不相符,這就是著名的達朗伯（JRdAlembert）疑題001pC903pC1801pC.事實上，有黏性的實際流體繞圓柱體無環量流動時，在圓柱面上流動方向的壓強分布是不對稱的。這是由于實際流體存在著黏性，當流體繞流圓柱體時，從前駐點開始在圓柱面上逐漸形成一層邊界層（在第五章中講述）。流體在圓柱體的前半部的流動是降壓增速，邊界層處于較穩定狀態。到圓柱體的后半部變為升壓減速流動，容易發生邊界層分離，在圓柱體后面形成尾渦區，壓強下降。破壞了圓柱體面上前后壓強分布的對稱性，使圓柱體前后產生壓強差，形成壓差阻力。圖4-22中所示的實驗所得的亞臨界雷諾數下（層流）的壓強分布曲線（虛線）

47、比超臨界雷諾數下（紊流）的壓強分布曲線（點劃線）更遠離理論曲線。根據實驗所得，在亞臨界雷諾數下層流邊界層的分離和超臨界雷諾數下紊流邊界層的分離分別發生在大約 和附近。84120.圖4-22 壓強系數沿圓柱面的分布理論線 超臨界 亞臨界 5107 . 6Re51086. 1Re.第五章 不可壓縮流體二維邊界層概述 第一節 邊界層的基本概念 第二節 邊界層的動量積分方程第三節 曲面邊界層分離現象 卡門渦街第四節 繞流阻力和阻力系數 . 在本世紀初之前，流體力學的研究分為兩個分支：一是研究流體運動時不考慮黏性，運用數學工具分析流體的運動規律。另一個是不用數學理論而完全建立在實驗基礎上對流體運動進行研

48、究，解決了技術發展中許多重要問題，但其結果常受實驗條件限制。這兩個分支的研究方法完全不同，這種理論和實驗分離的現象持續了150多年，直到本世紀初普朗特提出了邊界層理論為止。由于邊界層理論具有廣泛的理論和實用意義，因此得到了迅速發展，成為黏性流體動力學的一個重要領域。本章介紹邊界層的基本概念及研究方法 .第一節 邊界層的基本概念 一、邊界層的概念一、邊界層的概念 1904年，在德國舉行的第三屆國際數學家學會上，德國著名的力學家普朗特第一次提出了邊界層的概念。他認為對于水和空氣等黏度很小的流體，在大雷諾數下繞物體流動時，黏性對流動的影響僅限于緊貼物體壁面的薄層中，而在這一薄層外黏性影響很小，完全可

49、以忽略不計，這一薄層稱為邊界層。普朗特的這一理論，在流體力學的發展史上有劃時代的意義。 圖5-1所示為大雷諾數下黏性流體繞流翼型的二維流動，根據普朗特邊界層理論，把大雷諾數下均勻繞流物體表面的流場劃分為三個區域，即邊界層、外部勢流和尾渦區。 .圖5-1 翼型上的邊界層 III外部勢流 II尾部流區域 I邊界層 邊界層外邊界 邊界層外邊界 . 在邊界層和尾渦區內，黏性力作用顯著，黏性力和慣性力有相同的數量級，屬于黏性流體的有旋流動區；在邊界層和尾渦區外，流體的運動速度幾乎相同，速度梯度很小，邊界層外部的流動不受固體壁面的影響，即使黏度較大的流體，黏性力也很小，主要是慣性力。所以可將這個區域看作是

50、理想流體勢流區，可以利用前面介紹的勢流理論和理想流體伯努里方程來研究流場的速度分布。普朗特邊界層理論開辟了用理想流體理論和黏性流體理論聯合研究的一條新途徑。實際上邊界層內、外區域并沒有明顯的分界面，一般將壁面流速為零與流速達到來流速度的99處之間的距離定義為邊界層厚度。邊界層厚度沿著流體流動方向逐漸增厚，這是由于邊界層中流體質點受到摩擦阻力的作用，沿著流體流動方向速度逐漸減小，因此，只有離壁面逐漸遠些，也就是邊界層厚度逐漸大些才能達到來流速度。 . 根據實驗結果可知，同管流一樣，邊界層內也存在著層流和紊流兩種流動狀態，若全部邊界層內部都是層流，稱為層流邊界層，若在邊界層起始部分內是層流，而在其

51、余部分內是紊流，稱為混合邊界層，如圖5-2所示，在層流變為紊流之間有一過渡區。在紊流邊界層內緊靠壁面處也有一層極薄的層流底層。判別邊界層的層流和紊流的準則數仍為雷諾數，但雷諾數中的特征尺寸用離前緣點的距離x表示之，特征速度取邊界層外邊界上的速度 ，即VxVRex (5-1) .圖5-2 平板上的混合邊界層 層流邊界層過渡區域紊流邊界層層流底層. 對平板的邊界層，層流轉變為紊流的臨界雷諾數為 。臨界雷諾數的大小與物體壁面的粗糙度、層外流體的紊流度等因素有關。增加壁面粗糙度或層外流體的紊流度都會降低臨界雷諾數的數值，使層流邊界層提前轉變為紊流邊界層。二、邊界層的基本特征二、邊界層的基本特征 (1)

52、 與物體的特征長度相比，邊界層的厚度很小, .(2) 邊界層內沿厚度方向，存在很大的速度梯度。 (3) 邊界層厚度沿流體流動方向是增加的，由于邊界層內流體質點受到黏性力的作用，流動速度降低，所以要達到外部勢流速度，邊界層厚度必然逐漸增加。x65103105xRe.(4) 由于邊界層很薄，可以近似認為邊界層中各截面上的 壓強等于同一截面上邊界層外邊界上的壓強值。 (5) 在邊界層內，黏性力與慣性力同一數量級。 (6) 邊界層內的流態，也有層流和紊流兩種流態。 .第二節 邊界層的動量積分方程 邊界層內的流體是黏性流體的運動，理論上可以用N-S方程來研究其運動規律。但由此得到的邊界層微分方程中，非線

53、性項仍存在，因此即使對于外形很簡單的繞流物體求解也是很復雜的，目前只能對平板、楔形體繞流層流邊界層進行理論計算求得其解析解。但工程上遇到的很多問題，如任意翼型的繞流問題和紊流邊界層，一般來說求解比較困難，為此人們常采用近似解法，其中應用的較為廣泛的是邊界層動量積分方程解法。 . 下面來推導邊界層動量積分方程。假定平面邊界內流動是定常的并忽略質量力，在邊界層的任一處，取單位寬度、沿邊界層長度為d的微元段作為控制體，如圖5-3所示。控制體的控制面由邊界層的橫斷面AB與CD以及內邊界AD和外邊界BC組成。對控制體應用物理概念十分清楚的動量方程則有：通過控制面AB、BC、CD的動量變化率等于作用在控制

54、面AB、BC、CD、AD上所有外力的合力。 首先計算通過邊界層控制面在軸方向上的動量變化率。 單位時間流入x處控制面AB的動量為 從 處控制面CD流出的動量為 02d yvKxxxxdxyvxyvxxKKxxxxdddd0202.從控制面BC流入的動量采用下列求法，首先計算從 處控制面AB流入的質量流量 而從 處控制面CD流出的質量流量為 由不可壓縮流體的連續性方程可知，通過CD與AB控制面質量流量的差值應等于由BC控制面流入的質量流量，于是流入BC控制面的質量流量與動量分別為 0d yvmxxxxxdxyvxyvxxKKxxxxdddd0202xyvxmxdd0BCxyvxuKxedd0BC

55、.圖5-3 推導邊界層的動量積分關系式用圖 .整理上述單位時間內通過控制面的流體動量的通量在x方向的分量，得下面計算作用在控制面上所有外力在x軸方向的合力。忽略質量力，故只有表面力。作用在控制面AD上的表面力為 作用在控制面AB、CD上的表面力分別為作用在邊界層外邊界控制面BC上的表面力，因摩擦應力為零，而壓強可取B、C兩點壓強的平均值，于是有xyvxuxyvxKKKKxexxxxxdddd002BCdxFwdADpFxxxppFxxdd)(ddxxxxppFdddddd21BC.整理上述作用在控制面上的所有表面力在x方向的代數和，并注意到略去二階小量，得式(5-2)又稱為邊界層動量積分關系式

56、。該式是匈牙利科學家馮卡門(VonKarman)于1921年根據邊界層的動量定理首先推導出來的。由于在推導過程中未加任何近似條件，從這個意義上講，它是嚴格的，而且對邊界層的流動性質也未加限制，因此它既可求解層流邊界層，又可適用于紊流邊界層。 根據動量定理，令 ，可得邊界層動量積分方程為 (5-2) 由于積分上限 只是 的函數，因此式(5-2)中 的可寫成 xxxxppxxpppxFwxdddddd21dd)(ddxxxpddddWxxFKW002ddddxpyvxuyvxxexx/xxd/d.又根據勢流的伯努里方程 注意到式（5-3），則式（5-2）可寫成 常數 則有 （5-3） （5-4）2

57、21eupxuuxpeeddddW002ddddddddxuuyvxuyvxeexex.考察邊界層的動量積分方程式（5-2）和式（5-4）可以看到，方程中含有五個未知量： 、 、 、 、 ，其中 和 可由主流區的勢流方程求得，剩下的三個未知量是 、 、 ，因此要求解邊界層動量積分方程，原則上還需要補充兩個方程，即 (1) 滿足繞流物體壁面條件和邊界層外邊界條件的速度分布 ； (2) 與速度分布有關的 與 的關系式。事實上， 與 的關系可根據邊界層內的速度分布求出 peuxvWeupxvW）（yfvxWW. 通常在求解邊界層動量積分方程時，總是先選取邊界層內速度分布，選取的速度分布 越接近實際，

58、則所得結果越正確。但由于邊界層運動的復雜性，而預先選定的速度分布只能滿足主要的邊界條件，不可能正好滿足動量積分方程，這樣求得的結果（ 、 等）就都是近似的，故積分方程的解法只能是近似的解法。但這種解法有一個很大的優點，就是只要能大致選定速度分布形式，則可以得到誤差并不很大的結果，而且解法較簡單，因此在工程上用得較廣泛。 下面列出了用動量積分方程求得的平板層流和紊流邊界層的部分近似解。對于層流邊界層 平板上離前緣點處的邊界層厚度 (5-5)W2184. 584. 5xxReVx. 在平板一個壁面上由粘滯力引起的總摩擦阻力 (5-6) 摩擦阻力系數 (5-7) 對于紊流邊界層 平板上離前緣點處的邊

59、界層厚度 (5-8) 在平板一個壁面上由粘滯力引起的總摩擦阻力 (5-9) 摩擦阻力系數 (5-10)2123686. 0686. 0lDxReVbllVbF212372. 121lDxfReblVFC5137. 0 xxRe512036. 0lDxReVblF51074.0lfReC.以上幾式中 均勻來流速度，m/s； 平板的寬度， m； 平板的長度， m； 來流的密度， kg/m3。Vbl.第三節 曲面邊界層分離現象 卡門渦街 如前所述，當不可壓縮黏性流體縱向流過平板時，在邊界層外邊界上沿平板方向的速度是相同的，而且整個流場和邊界層內的壓強都保持不變。當黏性流體流經曲面物體時，邊界層外邊界

60、上沿曲面方向的速度是改變的，所以曲面邊界層內的壓強也將同樣發生變化，對邊界層內的流動將產生影響。曲面邊界層的計算是很復雜的，這里不準備討論它。這一節將著重說明曲面邊界層的分離現象。 . 一、曲面邊界層的分離現象一、曲面邊界層的分離現象 在實際工程中，物體的邊界往往是曲面（流線型或非流線型物體）。當流體繞流非流線型物體時，一般會出現下列現象：物面上的邊界層在某個位置開始脫離物面， 并在物面附近出現與主流方向相反的回流，流體力學中稱這種現象為邊界層分離現象，如圖5-4所示。流線型物體在非正常情況下也能發生邊界層分離，如圖5-4(a)所示。 .（a）流線形物體；（b）非流線形物體圖5-4 曲面邊界層