1、本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持!相似三角形解題方法、技巧、步驟、輔助線解析一、相似三角形（1）三角形相似的條件：:：二、兩個三角形相似的六種圖形：只要能在復(fù)雜圖形中辨認出上述基本圖形，并能根據(jù)問題需要舔加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形，從而使問題得以解決.三、三角形相似的證題思路：判定兩個三角形相似思路：1）先找兩對內(nèi)角對應(yīng)相等（對平行線型找平行線），因為這個條件最簡單；2）再而先找一對內(nèi)角對應(yīng)相等，且看夾角的兩邊是否對應(yīng)成比例：3）若無對應(yīng)角相等，則只考慮三組對應(yīng)邊是否成比例；a）己知一對等找另一角兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似>找夾邊對應(yīng)成比例兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似、找

2、夾角相等兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似b）己知兩邊對應(yīng)成比±找第三邊也對應(yīng)成比例三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似找一個直角斜邊、直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似C）己知一個直找另一角4兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似找兩邊對應(yīng)成比例判定定理2d）有等腰關(guān)3找頂角對應(yīng)相等判定定理1找底和腰對應(yīng)成比例找底角對應(yīng)相等判定定理1判定定理e）相似形的傳遞性若AsA,sA,則AiZ四、“三點定形法”，即由有關(guān)線段的三個不同的端點來確定三角形的方法。具體做法是：先看比例式前項和后項所代表的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，若能，則只要證明這兩個三角形相似就可以了，這叫做“橫定”；若

3、不能,再看每個比的前后兩項的兩條線段的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，則只要證明這兩個三角形相似就行了，這叫做“豎定”。有些學(xué)生在尋找條件遇到困難時，往往放棄了基本規(guī)律而去亂碰亂撞，亂添輔助線，這樣反而吏問題復(fù)雜化，效果并不好，應(yīng)當(dāng)運用基本規(guī)律去解決問題。/r例1、已矢口：如圖，AABC中，CE，AB,BF，AC求證:讓ACaFba（判斷“橫定”還是“豎定” 高，/ BAC的例2、如圖，CD是RtAKBC的斜邊AB上的平分線分別交BC、CD于點E、F, AC AE=AFAB嗎？說明理由。分析方法:1）先將積式分析方法：1）先將積式例3、已知：如圖， ABC中，/ ACB=90A

4、B的垂直平分線交AB于D,交BC延長線于F。求證：CD2=DEDFo（“橫定”還是“豎定”五、過渡法（或叫代換法）1、等量過渡法（等線段代換法）例1:如圖3,ZABC中，AD平分/BAC,AD的垂直平分線FE交BC的延長線于E.求證：DE2二BECE.分析:（“橫定”還是“豎定”？本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持!2、等比過渡法（等比代換法）例2:如圖4,在/ABC中，/BAC=90°AD±BC,E是AC的中點，AB的延長線于點F.DFAF3、等積過渡法（等積代換法）例3:如圖5,在AABC中，/ACB=90°CD是斜邊AB上的高，G是延長線上一點，過B作BEL

5、AG,垂足為E,交CD于點F.求證:CD2=DFDG.小結(jié)：證明等積式思路口訣：“遇等積，化比例：橫找豎找定相似；不相似，不用急：等線等比來代替。”同類練習(xí)：如圖，點D、E分別在邊AB、AC上，且/ADE=/C求證：(1)AADEs/ACB;(1題圖)(2)AD AB=AE AC.如圖，ABC中，點DE在邊BC上，且ADE是等邊三角形，/BAC=120求證：（1廠ADBs/CEA;（2）DE2=BDCE;ABAC=ADBC.如圖，平行四邊形ABCD中，E為BA延長D=/ECA.求證：ADEC=ACEB.如圖，E是平行四邊形的邊DA延長線上一點，EC交AB于點G,交BD于點F,求證:FC2=FG

6、EF.6.如圖，E是正方形ABCD邊BC延長線上一點，連接AE交CD于F,過F作FM/BE交DE于M.求證：FM=CF.7 .如圖，ABC中，AB=AC,點D為BC邊中點，CE/AB,BE分別交AD、AC于點F、G,連接FC.求證：(1)BF=CF.(2)BF2=FGFE.8 .如圖，/ABC=90°,AD=DB,DE±AB,求證：DC2=DEDF.9 .如圖，四邊形ABCD中，AB/CD,AB±BC,AC±BD。AD=BD,過E作EF/AB交AD于F.是說明：(1)AF=BE;(2)AF2=AEEC.10 .AABC中，/BAC=900,AD_LBC,

7、E為AC中點。求證：AB:AC=DF:AFo11 .已知，CE是RTAABC斜邊AB上的高，在EC延長線上任取一點P連接AP作BGAP,垂足為G,交CE于點D.試證：CE2=EDEP六、證比例式和等積式的方法：可用口訣：遇等積，改等比，平橫看豎看找關(guān)系；三點定形用相似，三點共線取平截；兩端行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來代替；各自找聯(lián)系，可用射影和園幕.例1如圖5在AABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，DF，AB于一交4£的延長線于H,交BE于G求證：(1)FG/FA=FB/FH(2)FD是FG與FH的比例中項.例2如圖6,CABCD中，E是BC上的一點，AE交BD于點F,己知BE

8、：EC=3：1,Safbe=18，求：(1)BF：FD(2)Safda如圖7在AABC中，AD是BC邊上的中線，M是AD的中點，CM的延長線交AB于N.求：AN：AB的值；如圖8在矩形ABCD中，E是CD的中點，BE，AC交ACFF,aFFG/AB交AE于G.求證：AG2=AFXFC如圖在ABC中，D是BC邊的中點，且AD=AC,DEBC,交AB于點E,EC交AD于點F.(1)求證：aABCs/FCD;(2)Safcd=5,BC=10,求DE的長.如圖10過MBC的頂點C任作一直線與邊AB及中線AD分別交于點F和E.過點D作DM/FC交AB于點M.若S'aef：S四邊形mdef=2：3

9、,求AE：ED；求證：AEXFB二2AFXED例7己知如圖11在正方形ABCD的邊長為1,P是CD邊的中點，Q在線段BC上，當(dāng)BQ為何值時，AADP與4QCP相似？例8己知如圖12在梯形ABCD中，AD/BC,/A=90°,AB=7,AD=2,BC=3.試在邊AB±確定點P的位置，使得以P、A、D為頂點的三角形與以P、B、C為頂點的三角形相似.例9.如圖，已知ABC中，AB=AC,AD是BC邊上的中線，CF/BA,BF交AD于P點，交AC于E點。求證：BP=PEPFo例10.如圖，己知：在ABC中，/BAC=900,ADBC,E是AC的中點，ED交AB的延長線于FoAS_D

10、F求證：。八、相似三角形中的輔助線在添加輔助線時，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進行相關(guān)的計算找到等量關(guān)系。主要的輔助線有以下幾種：（一）、作平行線例L如圖，ABC的AB邊和AC邊上各取一點D和E,且使AD=AE,DE延長線與BC延長線相交于F,求證：BFBDCFCE例2.如圖, ABC 中，ABVAC,在 AB、AC 上分別截取 BD=CE , DE,BC的延長線相交于點F,證明:AB DF=ACEFc例3、如圖4-5, B為AC的中點，E為BD的中點，貝U AF ：AE=例4、如圖4-7,已知平行四邊形ABCD中

11、，對角線AC、BD交于0點，E為AB延長線上一點，0E交BC 于 F,若 AB=a , BC=b , BE=c,求 BF 的長.ABC中，在AC上截取AD,在CB延長線上截取BE,使 AD=BE,求證：DF ?AC=BC ?FE如圖4ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E,交AB F F,求證：AE： ED=2AF ：FBo、作延長線例7.如圖，Rt ABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點,AE的延長線交BC于F, FG AB于G,求證：FG2=CF?BF例8 .如圖4-L已知平行四功ABCD中，E是AB的中點,AF -AD3連E、F交AC于G.求AG ： AC的值.(三

12、)、作中線例 10 : 已知：如圖， ABC 中，AB = AC, BD _L AC 于 D .求證： B(?二 2CD AC .中考綜合題型1.已知:如圖，在ABC中， AB AC, A 36 ,BD是角平分線,試利用三角形相似的關(guān)系說明AD2 DC2.如圖,矩形ABCD中，AD 3厘米，AB a厘米(a 3).動點M , N同時從B點出發(fā)，分別沿B A, BC運動，速度是1厘米/秒.過M作直線垂直于AB，分別交AN , CD于P, Q .當(dāng)點N到達終點C時，點M也隨之停止運動.設(shè)運動時間為t秒(1 )若a 4厘米，t 1秒，則PM厘米;(2)若a5厘米，求時間t,使/PNBPAD,并求出它

13、們的相似比;3.如圖，己知ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是lcm/s,點Q運動的速度是2cm/s,當(dāng)點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t(s),解答下列問題：(1)當(dāng)=2時，判斷BPQ的形狀，并說明理由；(2)設(shè)一BPQ的面積為S(end,求S與t的函數(shù)關(guān)系式；4.如圖(10)所示：等邊/ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點的直線BiQ_LAC于Ci交AB的延長線于Bi.ACCDACiCiD請你探究：一一DB,必芮是否都成立？ACCD請你繼續(xù)探究：若為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請問

14、一一定成立嗎?并證明你的判斷.5.如圖12,在平面直角坐標系中，點A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16,點D與點A關(guān)于y軸對稱，AB:BC=4:3,點E、F分別是線段AD、AC上的動點(點E不與點A、D重合),且/CEF=/ACB.(1)求AC的長和點D的坐標；(2)說明AEF與-DCE相似；6 .如圖，在RtaABC中，/B=90°,AB=1,BC=-,以點C為圓心，CB為半徑的弧交2CA于點D；以點A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點E.(1)求人£的長度;(2)分別以點A、E為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點F(F與C在AB兩側(cè))，A連接AF、E

15、F,設(shè)EF交弧DE所在的圓于點G,連接AG,試猜想/EAG的大小，并說明理由.7 .如圖，ABC與EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9,/BAC=/DEF=90°固定ABC,將aEFD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止.不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)DE、DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線)于G、H點，如圖(2).(1)問：始終與AGC相似的三角形有(2)設(shè)CG=X,BH=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(只要求根據(jù)2的情況說明理由)；9.(1)如圖1,在ABC中，點D,E,Q分別在AB,AC,BC上，且DE/BC,AQ交DE于點P.求證

16、：DPPEBQQC(2)如圖，在/ABC中，/BAO900正方形DEFG的四個頂點在/ABC的邊上，連接AG,AF分別交DE于M,N兩點.如圖2,若AB=AC=1,直接寫出MN的長;10.如圖，在ABC中，D是BC邊上一點，點.且滿足AD=AB,/ADE=/C.(1)求證：/AED=/ADC,/DEC=/B；(2)求證：ab2=ae?ac.E是AC邊上一12.如圖，在-ABC中，/C=90°,AC=8,個動點(異于A、B兩點)，過點P分別作為M、N.設(shè)AP-x.(IteAABC中,AB=當(dāng)x=時，矩形PMCN的周長是14；BC=6.P是AB邊上的一AC、BC邊的垂線,垂足(第25題)

17、是否存在x的值，使得4PAM的面積、CBN的面積與矩形PMCN的面積同時相等？青說出你的判斷,并加以說明.14.如圖1,在RtAABC中，BAC90°AD_LBC于點D,弟邊上一點人連接盥交AD于F,0E±B0交BC邊于點E.(1)求證：/ABFsACOE；ACOF(3)也。頭AC3力出占.-11而宿吉建后山_的估16如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C,/DME=/A=/B二a且DM交AC于F,ME交BC于G.(1)寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對;(2)連結(jié)FG,如果a=45。，AB=4超AF=3,求FG的長.19.正方形ABCD邊長為4,M、N分別是B

18、C、CD上的兩個動點，當(dāng)M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直，(1)證明：RtAABMsRtAMCN；(2)設(shè)BMX,梯形ABCN的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)M點運動到什么位置時RtAABMsRtAAMN,求x的值.20.如圖，ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點，AD、CE相交于G.求證：GECD1CEAD315.已知/ABC=90AB=2,BC=3,ADBC,P為線段BD上的動點，點Q在射線AB上，且滿足PCAB(如圖8所示).(1)當(dāng)八。=2,且點Q與點B重合時(如圖9所示)，求線段PC的長；(2)在圖8中，聯(lián)結(jié)AP.當(dāng)AD3,且點Q在線段AB上時，設(shè)點B、Q之間

19、的距離為2APQQy,其中Saapq表示4APQ的面積，pbc表示/PBC的面積，求y關(guān)于X的函數(shù)解析式，并寫出日變量的取值范圍;17.如圖L在平面直角坐標系中，0為坐標原點，點A的坐標為(8,0),直線BC經(jīng)過點B(8,6),C(0,6),將四邊形OABC繞點0按順時針方向旋轉(zhuǎn)度得到四邊形0ABC，此時直線0A、直線BC分別與直線BC相交于點P、Q.(1)四邊形OABC的形狀是當(dāng)90°時，竺的值是RO(2)如圖2,當(dāng)四邊形0ABC的頂點B落在y軸正半軸時，求竺的值；BQ如圖3,當(dāng)四邊形OABC的頂點B落在直線嚴上時，求/kOPB的面積.18.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=

20、1,點P在線段AB上運動，設(shè)AP=X,現(xiàn)將紙片折疊，使點D與邊的交點),點P重合，得折痕EF(點E、F為折痕與矩形再將紙片還原。(1)當(dāng)X=0時，折痕EF的長為#.當(dāng)點E與點A重合時，折痕EF的長為#(2)請寫出使四邊形EPFD為菱形的x的取值范圍，并求出當(dāng)x=2時菱形的邊長;相似三角形解題方法、技巧、步驟、輔助線解析、相似三角形(1)三角形相似的條件：:：二、兩個三角形相似的六種圖形：只要能在復(fù)雜圖形中辨認出上述基本圖形，并能根據(jù)問題需要舔加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形,從而使問題得以解決.三、三角形相似的證題思路：判定兩個三角形相似思路：1)先找兩對內(nèi)角對應(yīng)相等(對平行線型找平行線)，因為

21、這個條件最簡單;2)再而先找一對內(nèi)角對應(yīng)相等，且看夾角的兩邊是否對應(yīng)成比例;3)若無對應(yīng)角相等，則只考慮三組對應(yīng)邊是否成比例;a)已知一對等找另一角兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似找夾邊對應(yīng)成比例兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似j,找夾角相等兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似己知兩邊對應(yīng)成比r找第三邊也對應(yīng)成比例三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似找一個直角斜邊、直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似C）己知一個直找另一角兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似找兩邊對應(yīng)成比例判定定理2d）有等腰關(guān)v找頂角對應(yīng)相等找底角對應(yīng)相等判定定理1判定定理1找底和腰對應(yīng)成比例判定定理3e）相似形的傳遞性若is/2,sZ3.

22、,WJAi-s四、“三點定形法”，即由有關(guān)線段的三個不同的端點來確定三角形的方法。具體做法是：先看比例式前項和后項所代表的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，若能，則只要證明這兩個三角形相似就可以了，這叫做“橫定”：若不能，再看每個比的前后兩項的兩條線段的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，則只要證明這兩個三角形相似就行了，這叫做“豎定”°有些學(xué)生在尋找條件遇到困難時，往往放棄了基本規(guī)律而去亂碰亂撞，亂添輔助線，這樣反而使問題例1、己知：如圖,AABC中，CE，AB,BF，AC.求證:讓AC復(fù)雜化，效果并不好，應(yīng)當(dāng)運用基本規(guī)律去解決問題。AFBA（判斷“橫定”

23、還是“豎定”？）例2、如圖，CD是RtaABC的斜邊AB上的高，/BAC的平分線分別交BC、CD于點E、F,ACAE=AFAB嗎？說明理由。分析方法：1）先將積式（“橫定”還是“豎定”？）例3、己知：如圖，ABC中，/ACB=900,AB的垂直平分線交AB于D,交BC延長線于F。求證：CD"=DEDFo分析方法：1）先將積式過渡”其主要類型有三種，下面（“橫定”還是“豎定”？）五、過渡法（或叫代換法）有些習(xí)題無論如何也構(gòu)造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運用分情況說明.3、等量過渡法（等線段代換法）遇到三點定形法無法解決欲證的問題時，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線

24、上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個三角形，但這兩個三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有，可考慮添加簡單的輔助線。然后再應(yīng)用三點定形法確定相似三角形。只要代換得當(dāng)，問題往往可以得到解決。當(dāng)然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。例1:如圖3,ZABC中，AD平分/BAC,AD的垂直平分線FE交BC的延長線于E.求證：DE2二BECE.分析：4、等比過渡法（等比代換法）當(dāng)用三點定形法不能確定三角形，同時也無等線段代換時，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋，也就是通過對已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結(jié)

25、論中某個比相等的比，并進行代換，然后再用三點定形法來確定三角形。例2:如圖4,在/ABC中，/BAO90°,AD±BC,E是AC的中點,AB的延長線于點F.求證：ACDFAF3、等積過渡法（等積代換法）思考問題的基本途徑是：用三點定形法確定兩個三角形，然后通過三角形相似推出線段成比例；若三點定形法不能確定兩個相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，然后再用三點定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時，則考慮用等積代換法。例3:如圖5,在AABC中，/ACB=90°CD是斜邊AB上的高，G是DC延長線上一點，過B作BE，AG,垂足為E,交CD于點F.

26、求證：CD2=DFDG.小結(jié)：證明等積式思路口訣：“遇等積，化比例：橫找豎找定相似；不相似，不用急：等線等比來代替。”同類練習(xí)：如圖，點D、E分別在邊AB、AC上，且/ADE=/C求證：（1LADEs/ACB;（2）ADAB=AEAC.（1題圖）（2題圖）如圖，ABC中，點DE在邊BC上，且aADE是等邊三角形，/BAC=120求證：（1/ADBs/CEA;（2） DE2=BDCE;（3） ABAC=ADBC.3.如圖，平行四邊形ABCD中，E為BA延長線上一點，/D=/ECA.求證：ADEOACEB.（此題為陷阱題，應(yīng)注意條件中唯一的角相等，考慮平行四邊形對邊相等，用等線替代思想解決）4.如

27、圖，AD為/ABC中/BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線。求證：FD2=FCFBo（此題四點共線，應(yīng)積極尋找條件，等線替代，轉(zhuǎn)化為證三角形相似。）5 .如圖，E是平行四邊形的邊DA延長線上一點，EC交AB于點G,交BD于點F,求證：FC2=FGEF.（此題再次出現(xiàn)四點共線，等線替代無法進行，可以考慮等比替代。）6 .如圖，E是正方形ABCD邊BC延長線上一點，連接AE交CD于F,過F作FM/BE交DE于M.求證：FM=CF.（注：等線替代和等比替代的思想不局限于證明等積式，也可應(yīng)用于線段相等的證明。此題用等比替代可以解決。）7 .如圖，ABC中，AB=AC,點D為BC邊中點，CEAB,BE

28、分別交AD、AC于點F、G,連接FC.求證：（1）BF=CF.(2)BF2=FGFE.（練習(xí)題圖）±AB,8 .如圖，/ABC=90°,AD=DB,DE求證：DC2=DEDF.9 .如圖，ABCD為直角梯形，AB/CD,AB±BC,AC±BDoAD=BD,過E作EF/AB交AD于F.是說明：（1）AF=BE;（2）AF2=AEEC.10 .AABC中，/BAO90°,AD，BC,E為AC中點。求證：AB:AC=DF:AFo11 .已知，CE是RT-ABC斜邊AB上的高，在EC延長線上任取一點P連接AP,作BGAP,垂足為G,交CE于點D.試證：

29、CE2=EDEP（注：此題要用到等積替代，將CE2用射影定理替代，再化成比例式。六、證比例式和等積式的方法:交BE于G求證：(1)FG/FA=FB/FH(2)FD是FG與FH的比例中項.通常是借證三角形相似.找相似對線段比例式或等積式的證明:常用三點定形法”等線段替換法、中間比過渡法、面積法等若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時,應(yīng)將線段比三角形來證轉(zhuǎn)移”（必要時需添輔助線），使其分別構(gòu)成兩個相似明.可用口訣：遇等積，改等比,橫看豎看找關(guān)系;三點定形用相似，三點共線取平截;平行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來代替;兩端各自找聯(lián)系，可用射影和園幕.例1如圖5在4ABC中,AD、BE分別是BC、AC邊

30、上的高，DF，AB于F,交AG的延長線于H ,或橫著找三點，或豎著找三點）,若不能找到相似三角形，應(yīng)考慮將比例式變形，找等積式代換，或直接找等比代換例2如圖6, MBCD中,E是BC上的一點，AE交BD于點F,已知BE： EC=3 ： 1 ,Safbe= 18，求： BF： FD(2) S AFDA1說明：證明線段成比例或等積式,三角形用三點定形法（在比例式中，平截比2說明：線段BF、FD三點共線應(yīng)用平截比定理.由平行四邊形得出兩線段平行且相等，再由定理”得到對應(yīng)線段成比例、三角形相似；由比例合比性質(zhì)轉(zhuǎn)化為所求線段的比；由面積比等于相似比的平方，求出三角形的面積.例3如圖7在aABC中，AD是

31、BC邊上的中線，M是AD的中點，CM的延長線交AB于N.求：AN：AB的值；3說明：求比例式的值，可直接利用己知的比例關(guān)系或是借助己知條件中的平行線，找等比過渡.當(dāng)已知條件中的比例關(guān)系不夠用時，還應(yīng)添作平行線，再找中間比過渡.例4如圖8在矩形ABCD中，E是CD的中點，BEAC交AC于F,過F作FG/AB交AE于G.求證：AG-=AF化4說明：證明線段的等積式，可先轉(zhuǎn)化為比例式，再用等線段替換法，然后利用三點定形法確定要證明的兩個三角形相似.、本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持！例5如圖在aABC中，D是BC邊的中點，且AD=AC,DE_LBC,交AB于點E,EC交AD于點F.(1)求證：AB

32、Cs/FCD;(2)若Safcd=5,BC=10，求DE的長.5說明：要證明兩個三角形相似可由平行線推出或相似三角形的判定定理得兩個三角形相似.再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得到線段的長.例6如圖10過MBC的頂點C任作一直線與邊AB及中線AA分別交于點F和名.過點D作DM/FC交AB于點M.若Smef：S四邊形mdef=2：3,求AE：ED；求證：AEXFB=2AFXED6說明：由平行線推出兩個三角形相似，再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得到兩線段的比.注意平截比定理的應(yīng)用.己知如圖11在正方形ABCD的邊長為1,P是CD邊的中點，Q在線段BC上

33、，當(dāng)BQ為何值時，aADP與AOCP相似？7說明：兩個三角形相似，必須注意其頂點的對應(yīng)關(guān)系.然后再確定頂點P所在的位置.本題是開放性題型，有多個位置，應(yīng)注意計算，嚴防漏解.例8己知如圖12在梯形ABCD中，AD/BC,/A=90°,AB=7,AD=2,BC=3.試在邊AB上確定點P的位置，使得以P、A、D為頂點的三角形與以P、B、C為頂點的三角形相似.8說明：兩個三角形相似，必須注意其頂點的對應(yīng)關(guān)系然后再確定頂點P所在的位置.本題有多個位置，應(yīng)注意計算，嚴防漏解.例H.如圖，已知ABC中，AB=AC,AD是BC邊上的中線，CF/BA,BF交AD于P點，交AC于E點。求證：BP2=PE

34、PFo11分析：因為BP、PE、PF三條線段共線，找不到兩個三角形，所以必須考慮等線段代換等其他方法，因為AB=AC,D是BC中點，由等腰三角形的性質(zhì)知AD是BC的垂直平分線，如果我們連結(jié)PC,由線段垂直平分線的性質(zhì)知PB=PC,只需證明PECs/PCF,問題就能解決了。本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持!例12.如圖，己知：在ABC中，/BAC=900,AD±BC,E是AC的中點，ED交AB的延長線于F。求證：肚曲。12分析：比例式左邊AB,AC在AABC中，右邊DF、AF在4ADF中，這兩個三角形不相似，因此本題第一，從“已知”入手，通過推理論證, 的支撐，一直追溯回到“已知”；

35、,使之成為清晰的思維過程。需經(jīng)過中間比進行代換。通過證明兩套三角形分別相似證得結(jié)論。七、確定證明的切入點。兒何證明題的證明方法主要有三個方面。得出“求證”；第二，從“求證”入手，通過分析，不斷尋求“證據(jù)”第三，從“已知”及“求證”兩方面入手，通過分析找到中間“橋梁”八、相似三角形中的輔助線在添加輔助線時，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進行相關(guān)的計算找到等量關(guān)系。主要的輔助線有以下幾種：（一）、作平行線例1.如圖，ABC的AB邊和AC邊上各取一點D和E,且使AD=AE,DE延長線與BC延長線相交于F,求證：CFH例2.

36、如圖，ABC中，AB<AC,在AB、AC上分別截取BD=CE,DE,BC的延長線相交于點F,證明：ABDF=ACEFO如圖4-5,B為AC的中點，E為BD的中點，貝UAF：AE=如圖4-7,已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于0點，E為AB延長線上一點，0E交BC于F,若AB=a,BC=b,BE=c,求BF的長.ABC中，在AC上截取AD,在CB延長線上截取BE,使AD=BE,求證：DF?AC=BC?FE本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持!例6 :如圖AABC中，AD為中線,CF為任一直線，CF交AD卜E,交AB卜F,求證：AE：ED=2AF：（3）若在運動過程中，存在某時刻使

37、梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求t （用表示）FBo（二）、作延長線例7.如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點,AE的延長線交BC于EFGAB于2G,求證：FG=CF?BFAF例8.如圖4-1,已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點,-AD3.淬E、F分AC干G.求AG：AC的值.（三）、作中線例10：已知：如圖，ABC中，AB二AC,BD，AC于D.求證:BC2-2CDAC.中考綜合題型1.已知：如圖,ABC 中,AB AC, A 36 ,BD是角平分線，試利用三角形相似的關(guān)系說明2AD2DCAC.說明（1）有兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，這是判斷兩個三角

38、形相似最常用的方法，并且根據(jù)相等的角的位置，可以確定哪些邊是對應(yīng)邊.（2）要說明線段的乘積式abcd,或平方式必be,一般都是證明比例式，-d,或-cba再根據(jù)比例的基本性質(zhì)推出乘積式或平方式.2.如圖，矩形ABCD中，AD3厘米，ABa厘米（a3）動點M,N同時從B點出發(fā)，分別沿BA,BC運動，速度是1厘米/秒.過M作直線垂直于AB,分別交AN,CD于P,Q.當(dāng)點N到達終點C時，點M也隨之停止運動設(shè)運動時間為t秒（1）若a4厘米，t1秒，則PM(2)若a5厘米，求時間t,使PNBsAPAD,并求出它們的相似比;(3)若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求t (用

39、表示)本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持!3.如圖，已知ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是lcm/s,點Q運動的速度是2cm/s,當(dāng)點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t(s),解答下列問題:(1)當(dāng)1二2時，判斷BPQ的形狀，并說明理由;(2)設(shè)-BPQ的面積為S(cml求S與t的函數(shù)關(guān)系式;4.如圖(10)所示：等邊，ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點的直線B1QLAC于Ci交AB的延長線于Bi.AC請你探究：一一AB請你繼續(xù)探究：若并證明你的判斷.CDACiCiDDB,必芮是否都成立？AC

40、CDABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請問一一定成立嗎?5.如圖12,在平面直角坐標系中，點A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形,AB=16,點D與點A關(guān)于y軸對稱，AB:BC=4:3,點E、F分別是線段AD、AC上的動點(點E不與點A、D重合),且/CEF=/ACB.(1)求AC的長和點D的坐標；(2)說明/AEF與-DCE相似;6.如圖，在RtABC中，/B=90°,AB=1,BC=-,以點C為圓心，CB為半徑的弧交2點A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點E.CA于點D；以(1)求人£的長度；(2)分別以點A、E為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點F

41、(F與C在AB兩側(cè))，連接AF、EF,設(shè)EF交弧DE所在的圓于點G,連接AG,試猜想/EAG的大小，并說明理由.7 .(2011廣東汕頭，21,9分)如圖(1),ABC與EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9,/BAC=/DEF=90°固定/ABC,將aEFD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止.不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)DE、DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線)于G、H點,如圖(2).(1)問：始終與/AGC相似的三角形有(2)設(shè)CG二x,BH二y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(只要求根據(jù)2的情況說明理由)；8 .如圖8,ABC,是一張

42、銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH,使它的一邊EF在BC上，頂點G、H分別在AC,AB上，AD與HG的交點為M.(1)求證：如ADBC(2)求這個矩形EFGH的周長.9 .(1)如圖L在ABC中，點D,E,Q分別在AB,AC,BC±,且DE/BC,AQ交DE于點P.求DPPE證：BQQC(2)如圖，在/ABC中，/BAC=900正方形DEFG的四個頂點在ZABC的邊上，連接AG,AF分別交DE于M,N兩點.如圖2,若AB=AO1,直接寫出MN的長;10 .如圖，在ABC中，D是BC邊上一點，E是AC邊上一點.且滿足AD=AB,/ADE=/C.(1)求證：/AED=/ADC,/DEC=/B；(2)求證：AB2=AE7AC.11 .學(xué)習(xí)圖形的相似后，我們可以借助探索兩個直角三角形全等的條件所獲得經(jīng)驗，繼續(xù)探索兩個直角三角形相似的條件。（1）“對與兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，兩個直角三角形全等”。類似地，你可以等到：“滿足，或，兩個直角三角形相似”。（2）“滿足斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等”，類似地你可以得到“滿足的兩個直角三角形相似”。請結(jié)合下列所給圖形，寫出已知，并完成說理過程。己知：如圖，試說明RtAKBCSRt',C.