1、線面積分典型例題一、對(duì)弧長(zhǎng)的積分的概念、性質(zhì)1、概念：其中：L：平面上的曲線弧段，：L上各小弧段的長(zhǎng)度的最大值，：L上第i個(gè)小弧段的長(zhǎng)度2、幾何意義：表示L的弧長(zhǎng)。3、性質(zhì)：被積函數(shù)的滿足L的方程，與L的方向無(wú)關(guān)，對(duì)積分路徑的可加性4、計(jì)算公式（1），則（2），則（3），則例1 （08年期末考試，一、6，4分）設(shè)L為直線上點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)（1，1）之間的一段，則曲線積分 。例2 （07年期末考試，二、2，3分）曲線L為從原點(diǎn)到點(diǎn)（1，1）的直線段，則曲線積分的值等于 。例3 （06年期末考試，一、4，3分）設(shè)平面曲線L為下半圓周，則曲線積分的值等于 。例4 （03年期末考試，五，8分）在曲線弧

2、L：上分布有質(zhì)點(diǎn)，線密度，求它的質(zhì)量。二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1、概念：，L為有向曲線2、物理意義：變力沿有向曲線L所做的功。3、性質(zhì)：被積函數(shù)的滿足L的方程，與L的方向有關(guān)（），對(duì)積分路徑的可加性4、計(jì)算公式（1），則（2），則（3），則（4）兩類線積分之間的關(guān)系為有向曲線L在（x，y）處的切向量的方向角5、格林公式及其應(yīng)用（1）格林公式：，L是閉區(qū)域D的取正向的邊界曲線。注意：（）公式成立的的條件：D為閉區(qū)域，L是D的取正向的邊界曲線，函數(shù)在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 （）格林公式的適用范圍：若不滿足，可補(bǔ)充適當(dāng)?shù)挠邢蚧《危沟肔封閉；或補(bǔ)充適當(dāng)?shù)拈]曲線挖去奇點(diǎn)，使之滿足格林公式。（2）曲線積分與

3、路徑無(wú)關(guān)的概念及定理定理：設(shè)區(qū)域G是一個(gè)單連通區(qū)域，函數(shù)在G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）在G內(nèi)恒成立。（3）為全微分式的概念，如何求使得？定理：設(shè)區(qū)域G是一個(gè)單連通區(qū)域，函數(shù)在G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分在G內(nèi)為某一函數(shù)的全微分在G內(nèi)恒成立，且 ，為G內(nèi)一點(diǎn)例1 （08年期末考試，一、5，4分）設(shè)L為取逆時(shí)針?lè)较虻膱A周，則曲線積分 。例2 （07年期末考試，六、7分）計(jì)算，其中L為從點(diǎn)（a，0）沿橢圓到點(diǎn)（a，0）的一段曲線。例3 （07年期末考試，十二、7分）設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中連續(xù)可導(dǎo)，且，計(jì)算。例4 （06年期末考試，八、8

4、分）設(shè)上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，求曲線積分，L為從點(diǎn)。例5 （04年期末考試，二、3，3分）曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的充要條件是 。例6（04年期末考試，四、3，7分）設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算曲線積分，式中是第一象限中連接點(diǎn)A(5,0)， B(3,4)的任意光滑曲線。例7（03年期末考試，七、10分）設(shè)，具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且對(duì)在右半平面內(nèi)的任意閉曲線L，曲線積分。求（1）（2）求函數(shù)使它的全微分等于。例8 （02年期末考試，七、10分）已知變力，問(wèn)將質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)沿直線移到曲面的第一卦限部分上的哪一點(diǎn)做功最大？并求出最大功。例9（99研）求，其中a，b為正的常數(shù)，L為從點(diǎn)A(2a,0)沿曲線到點(diǎn)O(0,0)的弧。例

5、10（2000研）計(jì)算曲線積分，其中L是以點(diǎn)(1,0) 為中心，R(>1)為半徑的圓周，取逆時(shí)針?lè)较颉＠?1 計(jì)算，L為曲線中從t0到t的一段。三、對(duì)面積的曲面積分1、概念：，為空間曲面2、幾何意義：的面積；物理意義：面密度為的曲面的質(zhì)量。3、性質(zhì)：被積函數(shù)的滿足的方程，對(duì)積分區(qū)域的可加性4、計(jì)算公式（1）若，（2）若，（3）若，例1 （08年期末考試，五，7分）計(jì)算，其中為。例2 （07年期末考試，一、3，3分）已知曲面的方程為，則 。例3 （06年期末考試，九、8分）計(jì)算曲面積分，其中為上半球面。例4設(shè)曲面是位于第一卦限部分，則曲面積分 。例5設(shè)曲面是，求曲面積分。例6 計(jì)算曲面積分

6、，其中是的邊界曲面。四、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1、概念：，為空間有向曲面2、物理意義：設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的流速場(chǎng)由給出，是速度場(chǎng)中的一片有向曲面，則在單位時(shí)間內(nèi)流向指定側(cè)的流量為3、性質(zhì)：被積函數(shù)的滿足的方程，對(duì)積分區(qū)域的可加性，指的是與相反的一側(cè)。 當(dāng)曲面為母線平行于z軸的柱面時(shí)，在xoy面的投影為一曲線段，因此投影面積為0，從而0.。其余兩種情況類似。4、計(jì)算公式（1）“一投二代三定號(hào)”（2）利用兩類面積分之間的聯(lián)系注：第一類曲面積分可以自己選擇合適的投影方向，該關(guān)系可簡(jiǎn)化第二類曲面積分的計(jì)算，實(shí)現(xiàn)投影轉(zhuǎn)移。（3）Gauss公式：其中是封閉曲面，并取外側(cè)，是所圍成的封閉區(qū)域；P，Q，R在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。（）若P，Q，R在上有奇點(diǎn)，需選擇適當(dāng)?shù)挠邢蚯嫱谌ナ怪怀闪⒌狞c(diǎn)。（）當(dāng)曲面積分計(jì)算較復(fù)雜或計(jì)算量大，而較簡(jiǎn)單時(shí)，常利用Gauss公式計(jì)算曲面積分。例1 （08年期末考試，四，7分）計(jì)算，其中為半球面的上側(cè)。例2 （07年期末考試，五、7分）計(jì)算，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面的上側(cè)。例3 （06年期末考試，二、5，3分）設(shè)為球面的外側(cè)，則曲面積分 。例4（04年期末考試，四、4，6分）計(jì)算曲面積分，是上半球