1、第三章習(xí)題 A1.證明：3.1.2設(shè),存在,可測(cè),則亦存在,且=證若，可測(cè)，顯然，存在，不妨設(shè)，0且互不相等，為X中互不相交的可測(cè)集，由所以又,故，從而若，可測(cè)，顯然有，存在，顯然，且令，顯然，且，=.，則，由于存在，故，中至少一個(gè)有限，不妨設(shè)，由于，由知，且=，從而，從而存在，同理由=，且= 2設(shè)如§中例3，求.解§中例3中的定義如下:設(shè)是任一非空集,取定,對(duì)任給,定義 ；且又由定義知=+=0 +=3設(shè)，則證由3.2.2引理知,對(duì)有，又由3.2.3(i)知, ，從而，故4設(shè)則證由，知因?yàn)椋杂擅}3.2.3知，又，故5. 設(shè)則對(duì)每個(gè)可測(cè)集有證“”由存在由于，又故，由命題

2、3.2.4知,即“”令即，由命題3.2.5知，在上，從而.同理可證.又 ，故在上.6設(shè)對(duì)任何可測(cè)集有則.證令,則有，在上，則有，由命題3.2.5，當(dāng)時(shí)于于，故于.7求證：若則À 上的集函數(shù) 是一個(gè)測(cè)度證() À ；() 若À 則À ； () 若À ，則À ，故À 為上的一個(gè)代數(shù)， () (即)；() 若À 是互不相交的可測(cè)集,故À上的集函數(shù)是一個(gè)測(cè)度.8設(shè)對(duì)上的任何有界可測(cè)函數(shù)g有則.證:取；則，故在上.9設(shè)則證已知由命題 3.2.3 (ii) 知：為升列,則為降列,又由3.2.7 ()知,其中 最后讓我

3、們說(shuō)明，此由已知，故，即可知.10設(shè)，且有限,則.證令，則由積分單調(diào)性，得：. 令，則當(dāng)時(shí)，由積分的可加性，得利用積分的下連續(xù)性，令，故.11設(shè)可測(cè)（1每個(gè)至少屬于個(gè)，則某個(gè)證 且至少屬于個(gè) 使得若不然，則，均有，矛盾12設(shè)在集上在的長(zhǎng)為的余區(qū)間上求解 令則這樣的共有個(gè)，且互不相交，又在上，13設(shè)在可微，則在上可積.證（1）先證對(duì)適當(dāng)?shù)目煞e由倒數(shù)定義知，存在故對(duì)，使得在中，有 （2）再證對(duì)上述，當(dāng)時(shí)，有 ，同理可證，綜上所述，在上可積14設(shè)一致連續(xù)，則.證不妨設(shè)，設(shè)當(dāng)時(shí)，不趨于0，則存在對(duì)任意的，總存在，因一致連續(xù)，故，使得對(duì)每個(gè)，在每個(gè)上，且互不相交，從而由此得出，這與已知矛盾故.15設(shè)是上

4、的計(jì)數(shù)測(cè)度，則有可數(shù)集，使.證不妨設(shè)由命題3.2.3（ii）知：有有限測(cè)度，即存在使得有有限測(cè)度.由于是計(jì)數(shù)測(cè)度，因?yàn)榭蓴?shù)個(gè)可數(shù)集的并集還是可數(shù)集，所以是可數(shù)集集是可數(shù)集.不妨設(shè)16設(shè)或，則.證當(dāng)時(shí)，有，由Levi定理，有，又，故積分都存在，同樣由于，也有，故存在，從而也存在 同理可證當(dāng)時(shí)，亦有上述結(jié)論17設(shè)可測(cè)，則幾乎每個(gè)至多屬于有限個(gè).證可測(cè)可測(cè)則由定理的推論知 在上幾乎處處有限.設(shè)屬于無(wú)限多個(gè),則.則幾乎每個(gè)至多屬于有限個(gè)18設(shè)可測(cè)至少屬于個(gè)，則.證首先證明對(duì)于可測(cè)集序列，是中可測(cè)集此由各可測(cè)，故各相應(yīng)的特征函數(shù)是上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)列于是令，其中是單調(diào)上升可測(cè)函數(shù)列的極限函數(shù)，故也是可測(cè)函

5、數(shù)，即，于是由可測(cè)函數(shù)為特征性質(zhì)，是中可測(cè)集注意到，于是證得可測(cè)其次，一方面顯然有，另一方面，由定理，于是得到，即19求解因?yàn)椋诜秦?fù)連續(xù)，由3.3.2可逐項(xiàng)積分， ) 20設(shè)若，則；若則證() 若，則由定理，有 （ii）若則由定理，有 即從而. 21設(shè)，則.證（1）先取一列，使得，（2）由有.由定理2.4.2 () ，又有的子列由定理，則.22、設(shè)或則.證當(dāng)，有.，則當(dāng)則有子列幾乎處處收斂于可積 .23設(shè)，則.證由于，故于是.設(shè)則又故因?yàn)?，由控制收斂定理，有，則.24設(shè)，驗(yàn)證，且.證 ，取，則.25求解令，在上，在上， 取，則又，由控制收斂定理.26求.解令，在上，在上，取，則又，由控制收

6、斂定理.27求.解令，在上，在上，取，則又，由控制收斂定理.28求.解令，在上，在上，取，則.又由控制收斂定理.29求.解令，在上，在上，取，則.又 .30求.解令，在上，在上，取，則.又.31. 證由知，當(dāng)時(shí)，故有，令，則，且當(dāng)時(shí)，易驗(yàn)知，而當(dāng)時(shí)，易驗(yàn)知，取控制函數(shù) 則在可積，于是用控制收斂定理，以及簡(jiǎn)單計(jì)算可知32設(shè)則證如果，則由已知，取，所以如果，驗(yàn)證若，則對(duì)任給的，=這與已知矛盾. 同理，取，則33設(shè)則在內(nèi)連續(xù).證設(shè)，則，于是令由已知，且對(duì)幾乎所有的對(duì)在內(nèi)連續(xù)，由定理3.3.6（ii），得在點(diǎn)連續(xù)，因此在內(nèi)連續(xù).34求解令，由3.3.6（iii），知：，又.35求.解令 又.36設(shè)可測(cè)

7、，則.說(shuō)明：本題顯然原所與條件不足如果與預(yù)先沒(méi)有關(guān)聯(lián)關(guān)系，是不能推導(dǎo)出結(jié)論成立的例如，不妨就設(shè)，當(dāng)然已有，但完全可能與的積分值無(wú)極限關(guān)系為此，我們給出本題的一種改造方案并解答如下改造題：設(shè)a.e. 且另有可測(cè)，滿(mǎn)足，求證證由于那么，由于所補(bǔ)給條件：在的控制下收斂，就有，另外，由于，依據(jù)積分的絕對(duì)連續(xù)性，當(dāng)，綜上已證得37設(shè)在上可積，在的某稠子集上，則.證() 設(shè)在連續(xù)，連續(xù)，則，同理，設(shè)在連續(xù)，則，再令，則，由已知，存在某子集在中稠，且對(duì)每一，則存在，又注意到是，g的連續(xù)點(diǎn)，故.所以對(duì)每一有，即.() 由于在上可積，故，且，由命題3.2.4知?jiǎng)t綜上所述，38設(shè)在上有界，其間斷點(diǎn)集只有可數(shù)個(gè)極限

8、點(diǎn)，則在上可積.證因?yàn)椋渲斜硎镜墓铝Ⅻc(diǎn)集，它可數(shù)由已知，可數(shù)，故可數(shù)，從而可數(shù)，故所以在上幾乎處處連續(xù)，則在上可積39. 設(shè)在上可積，I，則在上可積.證因I故當(dāng)時(shí)，有，故有，即在上有界又在上可積在上幾乎處處連續(xù)即對(duì)取定的，對(duì)上述的時(shí)，有在上幾乎處處連續(xù)，則在上可積.40.設(shè)，研究函數(shù)在上的可積性解 ,若 則收斂，從而 絕對(duì)收斂，由定理3.4.2知當(dāng)時(shí)，發(fā)散，又 .令 ，顯然在連續(xù)（0是瑕點(diǎn)），又= =當(dāng)，即時(shí)，收斂，也即收斂故當(dāng)時(shí)，條件收斂又 不存在發(fā)散當(dāng)時(shí)，而在（L）不可積在（L）不可積從而當(dāng)時(shí)，發(fā)散41設(shè)如3.5.1，則.證由Fubini定理的3.5.2(i)其中內(nèi)層積分中的與無(wú)關(guān)，故可

9、作為常數(shù)提出，于是得到同理，中的積分值又與無(wú)關(guān)，可作為常數(shù)提出，故得：又由已知：，即，再由定理3.5.2的(ii)知.42設(shè)，則證“”由Fubini定理，故對(duì)幾乎處處的有限，從而利用反證法可取到一點(diǎn)，使得，而且，即又，故，從而同理 “” .43求.解原式 由定理，44設(shè)則證 45設(shè)，則.證由式左，可判定二重積分域是圖示， 令式左，由定理，可換序?yàn)?5題圖則46設(shè)，則 注：本題有錯(cuò)，以為例，則，容易求出左，而右具體改正方案，留作討論47設(shè)，則.證，由定理，(令) 48設(shè)當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，否則，求解（）若，當(dāng)，則，故（）若，則，使得令，則， 但，因?yàn)榭蓴?shù)，故可數(shù)，故，所以，因此=149設(shè)是上的計(jì)數(shù)測(cè)度，對(duì)其他有則 證=）注意到按的定義，對(duì)每一固定的，關(guān)于的第一重求和號(hào)下，即中最多只有兩項(xiàng)不為零 于是對(duì)時(shí)，而對(duì)，都有 現(xiàn)在另一方面而依的定義，對(duì)固定的在一個(gè)求和號(hào)下實(shí)際上都只有兩項(xiàng)不為零，且取相反數(shù)于是評(píng)注：本題在乘積空間上，給出一個(gè)二元函數(shù)用以說(shuō)明Fubini