1、運城學院學士學位論文淺談新課改后數形結合在高中數學中的應用系 別： 應用數學系 學科專業： 數學與應用數學專業 班 級： 1141 姓 名： 來燕燕 學 號： 2011064114 指導教師： 解瑞金 存檔時間： 2013年7月 內含材料： 讀書筆記 論文學 士 學 位 論 文 系 別: 應用數學系 學科專業: 數學與應用數學 姓 名: 來燕燕 運 城 學 院二零一三年六月淺談新課改后數形結合在高中數學中的應用系 別： 應用數學系 學科專業： 數學與應用數學 姓 名：來燕燕指導教師：解瑞金運 城 學 院二零一三 年 六 月 淺談新課改后數形結合在高中數學中的應用摘要數形結合就是根據數與形之間的

2、對應關系，使數量關系和圖形巧妙的結合起來，借助形的直觀性和數的規范性以及它們之間的對應與轉化關系來研究、解決數學問題的一種思想方法。現在高中教學對數學思維能力有較強要求，特別是在新課改實施后，更加注重提高學生的探究能力，要求主動進行探究式學習，強調實際動手操作，而不是機械被動的接受，真正做到以學生為本，與社會接軌，而數形結合是這一難題的重大突破口，如果能利用好這一工具，就可以起到事半功倍的效果.本文通過具體例題分析、探究在高中新課程改革中數形結合思想在教學中的應用.關鍵詞 數與形 數形結合 新課程改革 高中數學Introduction to application of symbolic-gr

3、aphic combination in mathematics in high school after the new curriculum reformAbstract Symbolic-graphic combination is based on the corresponding relationship between number and shape , ingeniously make combination of quantitative relation and graphics , with theintuitionofform , and the normalityo

4、f number and the corresponding and transformation betweenthemto research and solving math problems.Currently,mathematics thinking ability in high school has being demanded urgently, especially after the implementation of new curriculum reform, it stresses that students should improve their own capab

5、ilities, carries on the exploratory learning actively.To be truly student-centered,trulysocial integrated ,the actual beginning ability rather than mechanical passive acceptance is emphasized. The tool of symbolic-graphic combination is a breakthrough of this problem that if use it well，you can play

6、 a multiplier effect .This article explores the focus of analysis, through specific examples ，the thought of the application of symbolic-graphic combination in the new high school curriculum reform in teaching.Keywordsnumber and shapesymbolic-graphic combination the new curriculum reformhigh school

7、mathematics目錄引 言1第1章 數形結合思想的研究作用21.1 數形結合在高中數學教學中的應用21.2 高中數學教學過程中新課改的必要性51.3 從新課程教學內容的特點來看數形結合51.4 從高考題設計來看數形結合6第2章 數形結合在解題中的運用72.1 數形結合解決最值問題82.2 函數及其圖像內容凸顯的數形結合思想122.3 幾何內容充滿了數形結合思想15總 結16致 謝17參考文獻 17引言數形結合簡言之，就是通過建立數與形之間的對應關系，把抽象的數學語言直觀化來解決數學問題.它包括“以形助數”和“以數輔形”兩個方面1：或者是借助形的生動性和直觀性來闡明數與數之間的聯系，即以形

8、作為手段，解決數學問題，比如應用向量圖像的直觀性來說明向量之間的關系運算；或者是借助于數的嚴謹性和周密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段來解決問題，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質2.縱觀整個高中數學教材，都有用到數形結合思想，而且在高三的章節復習過程中也得到全面鞏固，但學生在實際動手解題過程中仍會遇到很多問題，通過平時觀察發現，現在很多學生對圖形的綜合應用性不強，很容易思維混亂，只停留在最淺層的圖形分析上，知識不能靈活貫通.經過教育實習實踐和閱讀相關文獻發現，數形結合可以使數學問題變得簡單易懂，而大部分學生做題時比較盲目，不講究方法、技巧，只是就題論題，不能很好的提取題中隱含的信

9、息，也很難做到舉一反三，因此有必要對高中數學教學中應用數形結合思想解決數學問題的技巧進行研究、探索.文中通過具體實例詳細分析了新課程改革后數形結合在高中數學中的應用.在分析過程中，結合數學教學實際，仔細回顧學生的解題誤區，并指出相應的解決對策，意在讓學生更好的理解并學會運用數形結合這一思想方法，對老師如何提高數學教學質量和提高學生成績有切實可行的價值.第1章 數形結合思想研究的作用1.1 數形結合在高中數學教學中的應用高中數學與初中數學在知識的深度和廣度上都大幅度增加，如二次函數、參變量問題、三角函數公式的運用、空間與平面及實際運用問題等，相同時間內接受的知識增加不少，但沒有太多的課時讓學生消

10、化吸收；在語言方面也有明顯的區別，初中數學主要是通俗、易懂，而從高一開始數學內容比較抽象，邏輯性比較強，對高一新生來說思維跨度比較大，因此，教師在平時教學過程中要注意逐漸培養學生將數學文字語言向圖形、符號語言轉化的能力.新課改強調學生是學習的主體，但在教學過程中教師仍是領導者，是領路人的角色，教師如果只是純粹的講授新知，學生很容易走進死學的胡同，容易產生厭學情趣.高中生還普遍存在一聽就懂，一看就會，一做就錯的現象，而數形結合則將教師單純的“教”變成“教”與“學”并舉，利用數圖的配合呈現知識點之間的關系及科學探究的思路，直觀形象的揭示問題本質，讓學生真正自主學習，由“要我學”向“我要學”轉變.

11、例如在講授完函數概念后，向學生具體介紹函數模型：指數函數、對數函數冪函數，通過圖形對比記憶，最終目的是讓學生多方面、多層次的理解函數的本質；關于集合在高中課本開始部分講到集合，作為一種新概念的引入，數形結合的方法成為很好的過渡，在一定程度上幫助學生理解交、并、補等概念.表1.1 韋氏圖的應用（1）借助圖形理解概念.圖中陰影部分表示集合S中子集A的補集，記為CA圖中陰影部分表示集合A與集合B的交集，記為AB圖中陰影部分表示集合A與集合B的并集，記為AB由表1.1知，集合和集合的交集就是兩個集合的公共部分；集合和集合的并就是兩個集合的全部；集合中的子集的補集就是中除去的剩余部分.通過圖形，幾個基本

12、概念之間的聯系、區別就很明了了.（2）借助圖形記憶公式高中數學內容多公式也多，記憶起來比較麻煩.特別在三角函數這一板塊，三角函數的基本關系式、誘導公式等有幾十個，要準確記憶不是易事，而且很容易記混，如果利用三角函數的幾何直觀圖來表示，借助直角坐標系和單位圓，如圖1.1所示，問題就很容易解決.圖 1.1 設r是圓的半徑，則=,（）,(),，則結合三角函數的定義知：，（）.借助圖形我們還能得到如圖1.2的情況：正切余弦正弦圖 1.2每種三角函數在各個象限的符號（正號或負號）就能夠容易記憶.且有“奇變偶不變，符號看象限”，我們很容易判斷各三角函數的符號，如的符號，在的圖形上再往左旋轉，把看成銳角，可

13、以判斷在第三象限，有. （3）借助圖形記憶運算圖像由于它的直觀性與整體感，是人們數學學生的重要工具，數學教學中許多運算可以通話圖形幫助理解并加強記憶，借助圖形的直觀性來理解抽象概念，如向量的加減法運算，它的整個運算過程運用圖1.3很容易完成，但用文字很難描述.向量的減法平行四邊形法則三角形法則圖1.3 向量的運算 借助圖形教師可以很形象的把向量的運算法則講解清楚，學生也能清楚理解并掌握.在數學教學中，對數量的關系問題，分析其幾何意義，借助圖形的直觀性來解決問題，使邏輯思維和形象思維很好的結合起來，對學生素質的拓展和解題能力的提高都有很大的幫助，也為探究數學新知開辟了一條重要途徑. 1.2 高中

14、數學教學過程中新課改的必要性 新一輪基礎教育課程改革是“新課改”的全稱.從根本上說，我們當今處在知識大爆炸的信息時代，社會正日新月異的向前發展，如果我們所學的知識仍停步不前，我們就會被淘汰，要做到真正對學生負責，讓他們真正全面、自主、個性的發展，新課程改革已成為教育的新潮流.高中數學課程標準在課程理念、課程目標、課程內容及實施建議等各個部分都對數形結合思想方法做了具體要求，較傳統教學相比，新課改強調知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀“三維”目標的達成，因此，進行新課改已成為一種必要： （1）培養學生思維能力的需要.數學教育改革要求學生既要掌握數學基礎知識，又要掌握基本技能.一旦學生掌握一

15、種數學思想方法，他們會在思想上有所突破，數學思維及問題解決能力也可以提高到一個新的層次.通過國內外相關文獻比較分析，數形結合一方面在宏觀認識上能對學生的各種能力起到促進作用，比如觀察、理解、記憶、邏輯等；另一方面，還能培養學生的創新和實踐動手能力，讓學生主動參與、積極探究、學會合作，適應社會的發展需要. （2）提高教學效果的需要.長時間以來受到傳統觀念的束縛，數學教育側重于學習現成知識的結論、解題技巧和方法，卻忽略了數學學習的最初目的、基本態度和學生能力的培養，從而降低了教育的質量.學生需要的并不是現成的結論、經驗，只有通過自己分析、總結經驗，才能真正掌握一門學習技巧，在學習、生活中都會受益匪

16、淺.1.3從新課改教材的內容特點來看數形結合新課改的核心理念就是一切以學生的發展為前提.因此，現代教學要注重培養學生的主動學習能力和數學思維能力，優化學習動機，數形結合思想偏重于將某些抽象的數學問題直觀化，生動化，能夠變抽象思維為形象思維，使很多問題簡單化，這樣可以優化學習，提高學生的學習興趣，使學生健康、快樂的學習. 新課改后，高中數學課程分為必修和選修兩部分.必修部分包括集合、函數概念與基本初等函數、立體幾何初步、平面幾何、平面解析幾何初步、平面上的向量、三角恒等變換、解三角形、數列、不等式等2.可以說，整個高中數學基本上都在數形結合的思想下展開.新課標的基本理念是注重高中數學的基礎性，發

17、揚我國高中數學重視基礎知識教學和基本能力的培養.就高中數學新教材比原先的舊版教材，有許多鮮明的特點：數學語言在抽象程度上更突出，思維方法向理性層次變遷，知識內容的整體增加3，如常見的求函數的值域，最值問題，解方程及解不等式或是三角函數等問題，很大程度簡化了解題過程，在選擇，填空題中這種優勢更為顯著，因此，教師要幫助學生把這一觀點深植到學生的認知結構中，靈活的運用這一思維工具.1.4 從高考題設計來看數形結合隨著社會的發展，不斷提倡創新型人才，高考命題也朝著多樣性和多變性發展，強調檢測學生的創新能力，特別是學生運用數學知識分析解決實際問題的能力.學生在平時學習中要加強對知識理解的準確性、深刻性及

18、綜合運用能力.向量與平面解析幾何都具有數形結合的特征，在它們的知識點交匯處命題正是高考命題的一大亮點.題設條件中，通常涉及夾角、平行、垂直、共線、長度等問題，應用這些條件時，通常是向量的坐標運算把其轉化為解析幾何中的條件，使問題坐標化、代數化、符號化，從而應用代數運算來解決解析幾何中的相關問題.其中，平面向量的的數量積的坐標形式運算，兩非零向量平行、垂直的充要條件，向量的夾角公式，模的計算等都是常用到的知識. 從考試的角度來看，解選擇題，填空題只要答案對就可以了，至于用到什么方法、手段都不重要，但思路要清晰，平時做題過程中要盡可能弄清每一個題的解決方法，在解一道題時可能會有好幾種不同的解法，這

19、就要求學生能夠理解和掌握所學知識并很好的運用.由于不要求過程，解題過程中用數形結合可以化常規為特殊，避免小題大作，真正做到準確和快速.例 1.1 （上海）如圖1.4，與是四面體中互相垂直的棱，=2.若且，其中為常數，則四面體的體積的最大值是_ . 解析因為且，可見點和點是在為焦點的橢圓上；又因為與垂直，可知四面體是由三角形繞旋轉到這個位置得到的.作垂直于于點，且垂直于，所以四面體的體積最大值即當三角形的面積最大時，即EF取最大值時；即取最大值時.的最大值是，的最大值是，所以四面體體積最大值為.圖 1.4圖1.5小結 本題主要是考查學生空間立體想象能力，根據題意結合圖形來解答.本題最大的難點是借

20、助空間圖形進行分解與組合，作出輔助線，本題也不是只考查四面體的相關知識，還應用了橢圓的相關知識，我們習慣自上而下觀察圖形，在本題中我們要學會換位思考作出相應輔助線解答.高中的解析幾何大多會包含許多知識點，也考查學生的變向思維能力，命題一般都緊密結合教材，但不局限于教材，因此備受出題者的青睞.高考中的幾何題通常概念性很強，思維活躍，計算要求不是很高，解中常常通過數形結合思想從動態的角度把抽象的數學語言與直觀的幾何圖形結合起來，達到研究、解決問題的目的，考查學生的綜合動手動腦能力.第2章數形結合在解題中的運用 新教材更加注重學生的認知規律，借助實例引入新知識，增強學生的數學應用意識，激發學生的求知

21、欲望，因而提高課堂效率.所以，教師要立足新教材，又不僅僅局限于新教材，在吃透教材的基礎上挑選經典題型，并努力創設解決問題的各種情境，誘導學生自己動手、動腦參與到問題的解決中.2.1 數形結合解決最值問題利用數形結合思想可以解決一些比較復雜的最值和值域問題，特別是一些三角函數的題目和我們通常見到的線性規劃問題.近幾年來，在高考數學試卷中，都有實際應用問題，實際上就是數學知識在現實生活中的應用，正符合現在新課改的目的要求學以致用，與生活接軌，與社會接軌.例2.1 某公司計劃2013年在甲，乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告費用不超過90000元，甲、乙兩個電視臺的廣告費標準分別為50

22、0元/分和200元/分，假定甲、乙兩個電視臺為該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少元？分析 本題屬于典型的求最值題，它考查的是時間分配問題，所以采用線性規劃的方法解決.先設分配給甲、乙電視臺的廣告時間分別為、,然后建立關于,所滿足的約束條件（即不等式）和目標函數.然后借助幾何圖形，在可行域內求目標函數的最大值.在求最大、最小值時，先令目標函數為0，即,根據限制條件作出圖形，然后平移目標函數，若求最小值目標函數向左平移，最后一個接觸點就是所求點，函數值就是所求值；若求最大值目標函數向右平移，最后接觸點就是所求點，函數值就是所求值4.解 設公司在甲電視臺

23、和乙電視臺做廣告是時間分別為分鐘和分鐘，總收益為元，由題意得 即 目標函數為.畫出二元一次不等式組所表示的平面區域，即可行域，如圖2.1所示的陰影部分.作直線L：,即.平移，從圖2.1可知，當過點時，目標函數取的最大值.聯立 解得=100,=200.故點的坐標為.（元），即公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙公司做200分鐘廣告，公司收益最大，最大收益是70萬.圖2.1 100200100200小結 本題考查線性規劃的實際應用，同時也考查了數形結合思想.在物資調運、產品安排、下料問題、飼料配方等問題中，一般運用線性規劃來求其最大值或最小值.本題實際上還考慮了不等式的應用，這就要求在解題時要學會

24、靈活運用所學知識，注意知識的連貫性.在近幾年的高考試卷中都可以找到實際應用的題，正符合新課改的核心理念“以學生為本，關注學生的全面發展”.例2.2 已知實數、滿足,求的最小值.分析 在本題中，充分利用了數學式的幾何意義：（1）是點到點（1,2）的距離的平方，兩點之間線段最短；（2）是點的軌跡，該題實際上是求點（1,2）到直線的最短距離，這些幾何意義起到了以“形”助“數”的作用.在明確了即為點（1,2）到的距離后，這一距離并不是從圖形上測量而得，而是用點到直線的距離公式求得的，這就是“數”解“形”的作用.解 的幾何意義是：點到點（1,2）的距離的平方，而點到上移動.顯然的最小值是點（1,2）到直

25、線的距離.即，所以2，即的最小值為4.小結本題和上述例題同屬一類，但不是單純的運用題設條件寫出限制條件，通常函數求最值需要畫出幾何圖形，該題只告訴了直線，但不要忽略了在題目最后中我們還可以提取到點（1,2）到的距離，該題還可理解為,求的最小值.做題過程中要分析解決問題首先要理解題意，借助圖形，注意所說的圖形可以只是比較大概的草圖，通過圖形幫助理解大意是很有效的方法.在平時訓練中，教師可以適當增加一些開放式題和新型題的訓練以開拓學生的知識面，加強對圖形的應用.例2.3 某生產廠家在生產機器零件時需要使用型膠水粘合零件之間的磁鋼與夾板，但長期以來對該膠的使用沒有明確的規定標準，經常出現用膠過多，膠

26、水外溢；或用膠過少，產生脫落，影響了產品質量.經過試驗，已有一些恰當用膠量的具體數據（表2.1），現在需要提出一個既科學又簡便的方法來確定磁鋼面積與用膠量的關系，試解決此問題.表 2.1序號12345678910磁鋼面積/cm11.019.426.246.656.667.2125.2189.0247.0443.4用膠量/g0.1640.3690.4040.6640.8120.9721.6882.864.0767.332分析 本題看似與圖形沒有關系，實際上該題與上述兩個例題是同一類型，從生產廠家考慮還是希望用最少的材料產生最大的效益，所以該題還是求最值問題.分析題意，就是要建立一個以磁鋼面積為自

27、變量，用膠量為因變量的關系.本題中沒有給出函數的模型，需要通過分析所給的數據，選擇適當的模型求解.觀察散點圖2.2，可以清楚地看到這些基本在一條直線附近，所以可以選擇直線作為模擬模形. 解 若令x表示磁鋼的面積，單位，令表示用膠量，單位，根據圖像可以設二者的函數關系為.取點（56.6，0.812），（189.0，2.86），將其坐標帶入，得：解得.所以所求的關系式是.8462200100圖 2.2小結本題還是考查函數的應用.列方程解應用題的難點是如何根據題意尋找等量關系布列方程，要突破這一難點，往往就是要根據題意畫出相應的示意圖，這里隱含著數形結合的思想方法在題中沒有給出函數模型時，需要通過分

28、析所給的數據，選擇適當的模型求解.如何選擇函數的模型呢？最好的方法是畫出散點圖，觀察與之最接近的函數圖像，知識要學會活學活用.我們要立足教材，但絕不能局限于教材，學會發散思維，這才符合新課改的目的.2.2 函數及其圖像內容凸顯了數形結合思想函數是高中數學的重要內容，所占份額比較大，包括三角函數、指數函數、對數函數、冪函數、一元二次函數等，因此，要加強數形結合意識，做到腦中有圖，將圖形性質與數量關系聯系起來，可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，達到化難為易，解決問題的目的.例2.4 已知二次函數的圖形如圖2.3所示，下列結論：；.其中正確結論的個數為（ ）. A.4個 B.3個 C.2個 D.1

29、個解析 從圖像的開口向和圖向與周交點的縱坐標可以直接得到.對于，要根據拋物線的對稱軸來確定.若拋物線對稱軸在軸右側，即-，則,所以異號；反之，同號.本題中拋物線對稱軸在軸右側，所以；所以.對于，需要根據拋物線定點橫坐標與1的大小比較.觀察圖像可得，-,所以.而是二次函數當自變量取值為-2時的函數值，觀察圖像可發現點在軸下方，所以.又由圖像可得當時的函數值的絕對值大于時的函數值的絕對值，所以,所以.故選擇項.1-1圖 2.3小結 與圖形相關的函數題，圖形是一個突破口，解題過程中一定要緊密結合圖形解答.本題的突破口是二次函數開口向下，說明，這就要求學生做題過程中一定要加強對基礎內容的鞏固與練習，本

30、題看似簡單，實際上全是對二次函數基本概念的考查.對于二次函數)，開口向上，開口向下；對稱軸是-；若，說明函數圖像與軸有兩個交點，方程有兩個解；若,說明函數圖像與只有一個交點，即方程有一個解（或兩個相同的解）；若,函數圖像與x軸無交點，方程無解.以上都是二次函數的基本性質，要求學生熟練掌握并靈活運用.例2.55已知函數在區間（-，4）上是減函數，則的范圍是_.解析 在解這個題目時，必須應用數形結合與分類討論的思想方法，否則容易得出.求解這個題目是逆向思維的過程根據單調性求參數的值，由于二次函數的單調區間從頂點的橫坐標處分開，即對稱軸的橫坐標，而根據題設求得頂點的橫坐標是，含有參數,無法確定它與4

31、的大小關系，所以要分類討論，分類的標準是與4的大小關系，針對每種情況畫出一個草圖（如圖所示），根據圖像可知符合題意的是右邊的兩邊曲線，而這兩種情況與第三條曲線的區別就在于它們的對稱軸的位置不同，概況起共同性可以得出符合條件的關系是,即4在的左邊，從而求解得.14圖 2.41小結 本題與上例題同屬一類，都是有關二次函數的題型，但本題的難度要求更高，在熟練掌握二次函數基本性質后考查的知識面更深、更廣.很多題目的求解過程中如果能自覺運用數形結合的思想方法，可以避免不應該出現的錯誤，例2.5中畫出圖像可以快捷正確地求解.例 2.66 方程的實根的個數是（ ）. A 1個 B 2個 C 3個 D 4個解

32、析 用代數的方法求解該方程是很困難的，因此考慮數形結合法：觀察圖形方程的解是函數與圖像的交點的橫坐標.-121圖 2.5所以這兩個函數圖像的交點個數即為方程解的個數.在同一坐標系里作出與的圖像，如上圖2.5，不難看出，這兩個圖像有三個交點，故方程有三個解，正確選項為.小結 在解有關三角函數的問題中，運用數形結合思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.方程與函數是密切聯系的兩個數學概念，方程的解是相應函數圖像交點的橫坐標，因此，對一些解起來困難的方程可以借助數形結合比較容易.再者，在做選擇題時要求思路清晰，但不要求過程，結合圖形可以快速解答.2.3 幾何內容

33、充滿了數形結合思想立體幾何初步的教學重點是幫助學生形成空間抽象思維能力，通過對實際模型的認識，學會將幾何問題代數化，用代數語言描述，將自然語言轉化為圖形語言和符號語言. 例 2.77如圖2.6，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中點，,.（1）求證：/平面； （2）求證：平面平面； （3）求異面直線與所成的角的正切值.圖 2.6分析 求異面直線所成的角時，先作平行線并把所作的角放在三角形中解三角形，如果求的角為鈍角，根據異面直線所成的角的范圍（0，90，取其補角即可. （1）由于，分別為，的中點，想到中位線，可用線面平行的判定定理證明；（2）觀察圖形只要證明平面即可；（3）由（1）知，或其補

34、角為所求的角，然后在中進行計算.證明 （1）是的中點，是的中點又平面，平面/平面 （2）底面又且平面平面平面平面（3）由（1）知，故知或其補角為所求的角在中，在中，異面直線與所成的角的正切值為. 小結 本題考查了考查線面平行，面面垂直的判定定理以及異面直線所成的角.還考查了學生的邏輯推理和空間想象能力，該題目難度不是特別大，再就是幾何類的題目考查的不深，這就要求學生一定能夠理解、掌握并熟練運用相關定理與判定，萬變不離其宗.空間立體圖比較抽象，要求學生學會借助圖形作出相應的輔助線完成解答.總結總之，數形結合是數學學習中最重要也是最基本的一種數學思想，它將題目中的數量關系和圖形結合起來.其解題思維新穎、方法直觀明了，對拓展學生的解題思維、提升解題能力有著積極的作用.數形結合不僅可以幫助我們更好、更透徹地理解和掌握數學概念、定理等，而且也是對數學知識在更高層次上的抽象和概括的考查，因此，要注重在實際應用中數形結合的學習、使用.此外，在使用數形結合思想分析和解決問