1、精選優質文檔-傾情為你奉上分類計數原理與分步計數原理一、知識精講分類計數原理與分步計數原理分類計數原理：做一件事，完成它可以有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法 ，在第二類辦法中有種不同的方法，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的辦法。分步計數原理：做一件事，完成它需要分成個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第步有種不同方法，那么完成這件事共有種不同的方法。特別注意:兩個原理的共同點是把一個原始事件分解成若干個分事件來完成。不同點在于，一個與分類有關，一個與分步有關，如果完成一件事情共有類辦法，這類辦法彼此之間相互獨立的，無論哪一類辦法中的哪一種方法都

2、能單獨完成這件事情，求完成這件事情的方法種數，就用分類計數原理；如果完成一件事情需要分成個步驟，各個步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成 每一個步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事情的方法種數就用分步計數原理。二、例題例1、把一個圓分成3塊扇形，現在用5種不同的顏色給3塊扇形涂色，要求相鄰扇形的顏色互不相同，問有多少鐘不同的涂法？若分割成4塊扇形呢？dcab解：（1）不同涂色方法數是：（種）（2）如右圖所示,分別用a,b,c,d記這四塊,a與c可同色,也可不同色,先考慮給a,c兩塊涂色,分兩類(1) 給a,c涂同種顏色共種涂法,再給b涂色有4種涂法,最后給d涂色

3、也有4種涂法,由乘法原理知,此時共有種涂法(2) 給a,c涂不同顏色共有種涂法,再給b涂色有3種方法,最后給d涂色也有3種，此時共有種涂法故由分類計數原理知，共有+=260種涂法。例2、甲、乙、丙、丁四個公司承包8項工程，甲公司承包3項工程，乙公司承包1項，丙、丁各承包2項，問共有_種承包方式？解：由分步計數原理有：種。思維點拔【思維點拔】 解決這類題首先要明確：“完成一件事”指什么？如何完成這件事（即分步還是分類）？進而確定應用分類計數原理還是分步計數原理。 分步計數原理中的“分步”程序要正確?！安健迸c“步”之間是連續的,不間斷的,缺一不可。 分類計數原理中的“分類”要全面, 不能遺漏?！邦?/p>

4、”與“類之間是并列的、互斥的、獨立的,也就是說,完成一件事情,每次只能選擇其中的一類辦法中的某一種方法。 例3 電視臺在”歡樂今宵”節目中拿出兩個信箱,其中存放著先后兩次競猜中成績優秀的觀眾來信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.現有主持人抽獎確定幸運觀眾,若先確定一名幸運之星,再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴,有多少種不同的結果?解: (1) 幸運之星在甲箱中抽,再在兩箱中各定一名幸運伙伴,有30×29×20=1740種結果;(3) 幸運之星在乙箱中抽,同理有20×19×30=11400種結果。由分類計數原理,共有 17400+11400=28800

5、種不同結果?！驹u述】在綜合運用兩個原理時，一般先分類再分步。例4 從集合1，2，3，µ ，10中，選出由5個數組成的子集，使得這5個數中的任何兩個數的和不等于11，這樣的子集共有多少個？解：和為11的數共有5組：1與10，2與9，3與8，4與7，5與6，子集中的元素不能取自同一組的兩數，即子集中的元素取自5個組中的一個數，而每個數的取法有2種，所以子集個數為2´2´2´2´2=25=32【評述】本題的關鍵是先找出和為11的5組數，然后利用分步計數原理求出結果。練習題：在一個正六邊形的六個區域栽種觀賞植物（如圖），要求同一塊中種同一種植物，相鄰的

6、兩塊種不同的植物，現有4種不同的植物可供選擇，則有多少種栽種方案？解：考慮A、C、E種同一種植物，此時共有種方法?？紤]A、C、E種二種植物，此時共有種方法。考慮A、C、E種同三種植物，此時共有種方法。故總計有108+432+192=732種方法。三、小結：1分類計數原理和分步計數原理是解決排列、組合問題的理論基礎。這兩個原理的本質區別在于分類與分步，分類用分類計數原理，分步用分步計數原理 。2元素能重復的問題往往用計數原理。3注意：“類”間相互獨立，“步”間相互聯系。 排列一、內容歸納1知識精講：（1）排列:從n個不同的元素中取出m個(mn)元素并按一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出

7、m個元素的一個排列.（2）排列數: 從n個不同的元素中取出m個(mn)元素的所有排列的個數.（3）排列數公式:.規定 0！=12重點難點: 正確區分排列與組合,熟練應用公式計算排列數3思維方式: 分類討論的思想.4特別注意：排列數公式的連乘形式常用于計算，公式的階乘形式常用于化簡與證明.二、例題：例1、有7 名學生站成一排,下列情況各有多少種不同的排法。（1）甲、乙必須排在一起;（2）若甲不在排頭，乙不在排尾;（3）甲、乙、丙互不相鄰;（4）甲、乙之間須隔一個人;（5）若甲必須在乙的右邊（可以相鄰，也可以不相鄰），有多少種站法？（6）若將7人分成兩排，前四后三，有多少種站法？解：（1）(捆綁法

8、)； (2)；(3)(插空法); (4);(5); (6)【思維點撥】對于相鄰問題，常用“捆綁法”；對于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）；對于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”，（特殊元素先考慮）。例2、用09這十個數字組成沒有重復數字的正整數（1）共有幾個三位數?（2）末位數字是4的三位數有多少？（3）求所有三位數的和;（4）四位偶數有多少？（5）比5231大的四位數有多少？解：(1) 百位不能為 “0”,因此共有個;（2）末位為4,百位不能為 “0”,因此共有×=64個（3）考慮各數位上的數字之和,可得所有三位數的和為:（4）分末位數字是否為0兩種

9、情況考慮。種；（5）千位上為9,8,7,6的四位數各有個;千位上是5,百位上為3,4,6,7,8,9的四位數各有個; 千位上是5,百位上為2,十位上為4,6,7,8,9的四位數各有個; 千位上是5,百位上為2,十位上為3且滿足要求的共有5個,因此共有2392種。【思維點撥】注意區分分類計數原理與分步計數原理的運用。練習:由0,1,2,3,4,5共六個數字組成沒有重復數字的六位數,問其中小于50萬又不是5的倍數的數共有幾個?解:先將0和5放到中間4個數位上,然后再排其他數字,故共有個數符合要求.例3：一天要排語文、數學、英語、生物、體育、班會六節課（上午四節，下午二節），要求上午第一節不排體育，

10、數學課排在上午，班會課排在下午，問共有幾種不同的排課方法？解法一:（從數學課入手）（第一類）數學排在第一節，班會課排在下午，其余四科任排，得（第二類）數學排在上午另三節中的一節，班會排在下午，體育排在余下（不會第一節）三節中的一節，其余三科任排，得共有排法（種）解法二（從體育課入手）（第一類）體育課在上午 （第二類）體育課在下午 共有排法（種）【思維點撥】注意特殊的位置和特殊的元素先考慮。三、小結1對有約束條件的排列問題，應注意如下類型： 某些元素不能在或必須排列在某一位置；某些元素要求連排（即必須相鄰）；某些元素要求分離（即不能相鄰）；2基本的解題方法： 有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常

11、是先排特殊元素或特殊位置，稱為優先處理特殊元素（位置）法（優先法）； 某些元素要求必須相鄰時，可以先將這些元素看作一個元素，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內部排列，這種方法稱為“捆綁法”； 某些元素不相鄰排列時，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱為“插空法”； 在處理排列問題時，一般可采用直接和間接兩種思維形式，從而尋求有效的解題途徑。 組合一、 內容歸納1、知識精講(1)組合 從n個不同元素中，任取m(mn)個元素并組成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。(2)組合數 從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元

12、素的組合數，用符合C表示。組合數公式為C=這里，m，nN*，并且mn，組合數公式還可以寫成C= 規定C=1 (3) 組合數的性質C=C C=C+C2、重點難點：組合概念的理解及應用3、思維方式：與排列問題進行類比思考4、特別注意：分類時標準應統一，否則易出現遺漏和重復二、例題例1、某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語與日語的各1人,有多少種不同的選法？解：由于73=109，所以9人中必有1人既會英語又會日語 從只會英語的6人中選1人，只會日語的2人中選1人，有N1=6×2=12 既會英語又會日語的那位選定，其余8人中選1人，有N2=

13、1×8=8由分類記數原理得N= N1+ N2=20例2、從1，2，30這前30個自然數中，每次取不同的三個數，使這三個數的和是3的倍數的取法有多少種？解：令A1，4，7，10，28，B2，5，8，11，29，C3，6，9，30組成四位數的方式有以下四類符合題意：A，B，C中各取一個數，有種；僅在A中取3個數，有種；僅在B中取3個數，有種；僅在C中取3個數，有種，故由加法原理得：1360種【評述】按元素的性質分類是處理帶限制條件的組合問題的常用方法，對于某幾個數的和能被某數整除一類的問題，通常是將整數分類，凡余數相同者歸同一類例3、馬路上有編號為1，2，3，10的十只路燈，為節約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關掉的情況下，求滿足條件的關燈方法有多少種？解：問題等價于在七只亮著的路燈產生的六個空檔中放入三只熄掉的路燈，因此，所求的方法種數為C=20【思維點拔】 注意插空法的應用。解決一些不相鄰問題時，可以先排一些元素然后插入其余元素，使問題得以解決。三、小結：1、組合數公式有兩種形式，(1)乘積形式；(2)階乘形式。前者多用于數字計算，后者多用于證明恒等式，注意公式的倒用。即由寫出C。2、解受條件限制的組合問題，通常有分組法和排除法