1、機(jī)械控制理論基礎(chǔ) 第五章 系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)的頻率特性5.1 頻率特性5.2 頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖（伯德圖）5.3 頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖（奈奎斯特圖）5.5 最小相位系統(tǒng)的概念5.6 閉環(huán)頻率特性與頻域性能指標(biāo)5.7 系統(tǒng)辨識5.1 頻率特性1. 頻率特性的概念頻率響應(yīng)是頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。輸出與輸入的正弦幅值之比為BG jA （）輸出與輸入的正弦相位差為G j（ ）G j（ ）sj 式中： 是在系統(tǒng)傳遞函數(shù) 中令 得來， 稱為系統(tǒng)的頻率特性， 和 分別表示頻率特性的幅值和相位角。當(dāng) 從0變化到時， 和 的變化情況分別稱為系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性，總稱為頻率特性。G j（）G

2、 j（）G s（）G j（ ）G j（ ）G j（ ）輸出與輸入的正弦幅值之比為BG jA （）輸出與輸入的正弦相位差為G j（ ）2.頻率特性的含義及特點（1）頻率特性分析是通過分析不同諧波輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來表示系統(tǒng)的動態(tài)特性。sjG jG s（）（ ）傳遞函數(shù) 是輸出 與輸入 的拉氏變換之比，故G s（ ）c t（ ）r t（ ）( )()()( )()s jC sC jG jR sR j=式中：00()( )( )( )stj ts js jC jL c tc t edtc t edt-=（58）（59）0j tR jr tedt（ ）=（）同理：系統(tǒng)的頻率特性為輸出和輸入的傅氏變換

3、之比。系統(tǒng)的頻率特性為輸出和輸入的傅氏變換之比。（510）C jR jG j（ ）= （ ） （ ）（514）( )()()( )()s jC sC jG jR sR j=式中：00()( )( )( )stj ts js jC jL c tc t edtc t edt-=（58）（59）（2）系統(tǒng)的頻率特性是系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù) 的傅氏變換：g t（ ）( )|j tsjG jG sg tedt（ ）（）（513）（3）在經(jīng)典控制理論范疇，頻域分析法比時域分析法簡單 因為它不僅可以方便地研究參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響，而且可方便地研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并可直接在頻域中對系統(tǒng)進(jìn)行校正和綜合，以改善性能。

4、對于外部干擾和噪聲信號，可通過頻率特性分析，在系統(tǒng)設(shè)計時，選擇合適的帶寬，從而抑制其影響。（4）對于高階系統(tǒng)，應(yīng)用頻域分析法比較簡單 對于高階系統(tǒng)，應(yīng)用時域分析法比較困難，而應(yīng)用頻域分析法較為簡單，尤其在系統(tǒng)設(shè)計和校正時。3. 機(jī)械系統(tǒng)動剛度的概念 圖3-2所示，質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為： 222( )111( )2( )1nnX sG ssF smsBs kks=+系統(tǒng)阻尼比 ，系統(tǒng)無阻尼自然頻率 。系統(tǒng)的頻率特性為：2Bmknkm22()11()2()1nnX jG jF jkj=(-) +上式反映了動態(tài)作用力 與系統(tǒng)動態(tài)變形 之間的關(guān)系，實質(zhì)上 表示的是機(jī)械結(jié)構(gòu)的動柔度 ，也就是它的

5、動剛度 的倒數(shù)。 f t（ ）x t（ ）j （）K j（）G j（）G jjK j 1（）（）（）0當(dāng) 時200012nnK jkjkG j2（） （1）（）即該機(jī)械系統(tǒng)的靜剛度為k。0K j當(dāng)時，可以寫出動剛度（）的幅值12222nnK jk22（） （1） （）（515） 其動剛度曲線如右圖所示，對 求偏導(dǎo)，并令K j（）0K j（）可得當(dāng)21 2rnK j 時，（）具有最小值2min21K jk（ ） （516）rrn稱作系統(tǒng)的諧振頻率，由上式看出當(dāng)1時，系統(tǒng)的最小剛度幅值為2minK jk（） 由此可以看出，增大機(jī)械結(jié)構(gòu)的阻尼 ，能大大提高系統(tǒng)的動剛度。若10 7072.則系統(tǒng)不存在

6、諧振頻率，也不會發(fā)生諧振。2minK jk（）例5.1 如圖所示系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為 ，求系統(tǒng)的頻率特性及系統(tǒng)對正弦輸入 的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。1KG sTs（ ）sinr tAt（）解：解：令 則系統(tǒng)的頻率特性為 sj1KG jj T（）系統(tǒng)的幅頻特性為2211KKG jj TT（） 系統(tǒng)的相頻特性為：G jarctan T（）根據(jù)頻率響應(yīng)的定義得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：221AKc tsintarctan TT（）（）如果輸入的不是正弦信號，而是一個階躍信號r tB（ ）sjBR jL r tj（）（ ）輸出的傅氏變換為：()() ()1KBC jG jR jjj T=（+ ）其幅值為:221KBC jT（）

7、 相位為：arctan90T=-輸出響應(yīng)為：11/( )( )1)1)t TKBc tLC sLKBes sT-=(-(可以看出輸出 也不是正弦函數(shù)。c t（ ）例5.2 如圖所示吸振器系統(tǒng)，若質(zhì)量塊 受到干擾力 ，如何選擇吸振器參數(shù) 和 ，使質(zhì)量塊產(chǎn)生的振幅最小。1msinfAt=2m2k解：解：建立系統(tǒng)的微分方程1 11 121221222m xk xk xxfk xxm x+( -) =( -) =212242122121212( )( )( )()X sm skG sF sm m sk mmk msk k其動剛度1222121212m mk kk mmk mK jG jkm41222

8、（）（）（）則位移x1與干擾力f之間的傳遞函數(shù)為：而1F jX jK j（）（）（） 由頻率響應(yīng)可知，當(dāng)系統(tǒng)輸入為正弦信號時，系統(tǒng)輸出為同頻率正弦信號。顯然要使 ,則應(yīng)使 1X j（）0K j （）2222220kkmm=即應(yīng)選擇吸振器參數(shù)滿足上式時，可使質(zhì)量 的振幅為零，施加于 的干擾被 和 吸收了，這就是振動控制中的吸振器。1m1m2m2k例5.3 一典型質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)如圖所示，系統(tǒng)輸入力f(t)為矩形波。f(t)=f(t-2T)，試求系統(tǒng)的輸出位移x(t)。解：解：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2( )1( )X sF smsBsk其幅頻特性2 2221C jk mB()=( -)+相頻特性2arc

9、tanBG jk m () =-=( )-2T系統(tǒng)輸入為周期為的方波信號，分解并用傅氏級數(shù)展開141( )sinnf tn tn=根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)輸出表達(dá)式為：2222 2222141sinarctannBnx tn tk mnnk mnB n() =(-)-（ -）+4.頻率特性的表示方法（1）對數(shù)坐標(biāo)圖或稱伯德(Bode)圖（2）極坐標(biāo)圖或稱奈奎斯特(Nyquist)圖（3）對數(shù)幅相圖或稱尼柯爾斯(Nichols)圖5.2頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖（伯德圖）1.對數(shù)坐標(biāo)圖伯德圖：以對數(shù)坐標(biāo)表示的頻率特性圖，由對數(shù)幅頻圖和對數(shù)相頻圖組成。橫坐標(biāo)是按頻率 的以10為底的對數(shù)分度。用對數(shù)坐

10、標(biāo)表示頻率特性的優(yōu)點：用對數(shù)坐標(biāo)表示頻率特性的優(yōu)點： 可以將幅值相乘轉(zhuǎn)化為幅值相加，便于繪制多個環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性圖； 可采用漸近線近似的方法繪制對數(shù)幅頻圖，簡單方便，尤其是在控制系統(tǒng)設(shè)計、校正及系統(tǒng)辨識方面，優(yōu)點更突出； 對數(shù)分度擴(kuò)展了頻率范圍，尤其是低頻段的擴(kuò)展，對分析機(jī)械系統(tǒng)的頻率特性是有利的。2.各種典型環(huán)節(jié)的伯德圖（1）比例環(huán)節(jié)K比例常數(shù)K不隨頻率而變，故其幅頻特性和相頻特性都是平行于橫軸的水平直線，大小分別為20lgK和0。（2）積分環(huán)節(jié)1j對數(shù)幅頻特性為：1120lg20lg20lgLdBj( ) =-對數(shù)幅頻圖為一直線，且過(1,0)點，斜率為：-20dB/dec

11、對數(shù)相頻特性為：190j （ ）相位角與頻率無關(guān)，是一條平行于橫軸的直線若系統(tǒng)包含兩個積分環(huán)節(jié)，即 ，則其對數(shù)幅頻特性為21G jj（）（）221120lg20lg40lgLdBj( ) =-()對數(shù)幅頻圖為過(1,0)點，斜率為-40dB/dec的直線相頻特性為212 ( 90 )180j ( ) =()=-（3）微分環(huán)節(jié)j對數(shù)幅頻特性為：20lg20lg20lgLjdB（ ）=對數(shù)幅頻圖為一條過(1,0)點，斜率為20dB/dec的直線對數(shù)相頻特性為：90j （ ）當(dāng)有兩個微分環(huán)節(jié)時，幅頻特性為過(1,0)斜率為40 dB/dec的直線；相頻特性為平行于橫軸的水平線，相位角恒等于180度。

12、（4）一階慣性環(huán)節(jié)11/j T（）其幅頻特性22120lg20lg 11LTj T( ) =-+其相頻特性1arctan1Tj T ( ) =-+工程上經(jīng)常采用近似作圖法來畫幅頻特性曲線，方法如下：1TT令 22120lg 10TTLTdBT當(dāng)=時，（ ）=-，即當(dāng)時對數(shù)幅頻圖為一條零分貝直線22-20lg 1-20lg1,0-20dB/decTTLTTdBT當(dāng)時，（ ），即當(dāng)時 對數(shù)幅頻圖的漸近線為一條過（ ， ），斜率為的直線1T/ T,上述兩條漸近線交點的頻率 稱為轉(zhuǎn)角頻率。右圖即為慣性環(huán)節(jié)伯德圖，可以看出漸近線近似畫法的誤差發(fā)生在轉(zhuǎn)角頻率處，誤差值為：20lg 1 120lg13.03

13、dB-+ -（-）=-此外，可以看出慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波的特性。（5）一階微分環(huán)節(jié)1j T幅頻特性22(20lg 120lg 1dBLj TT) =+=+相頻特性( )1arctanj TT +=10,20lg1020db/decTTTLdBLTT根據(jù)近似作圖法，當(dāng)時，（ ），為一條零分貝線 當(dāng)時，（ ），為一條過點（ ， ），斜率為直線可以看出一階微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻圖對稱于零分貝線。（6）振蕩環(huán)節(jié)2112nnjj （）幅頻特性2120lg12nnLjj( ) =()222220lg12dBnn=-（-）+（）相頻特性2221arctan121nnnnjj ( ) =-（）-（）（5

14、26）（525）2220lg40lgnnnLdB，（ ） 040ndB / dec即漸近線是一條過點（， ）斜率為的直線n上述兩條漸近線交點的頻率 稱為轉(zhuǎn)角頻率。 可以看出漸近線與阻尼比 無關(guān)，但實際幅值變化與有 關(guān)，在 附近時，若 值較小，則會產(chǎn)生諧振峰。 n由（525）求出對數(shù)幅頻曲線的漸近線：20lg1 0dBnL，（ ）=-=即漸近線是一條零分貝線18n 對于任何 值，當(dāng)0時，（ ）0；當(dāng)時，（ ）0；當(dāng) 時，（ ）90相頻特性：以 為橫坐標(biāo)，對應(yīng)于不同的 值，形成一簇對數(shù)相頻曲線。n（7）二階微分環(huán)節(jié)2jj12nn （）幅頻特性220lg 12nnjjL( ) =()22220lg1

15、2dBnn=(-) +()相頻特性22212 arctan1nnnnjj ( ) =（） =-（） 可以看出二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性與振蕩環(huán)節(jié)只是相差一個符號，故其對數(shù)幅頻曲線對稱于零分貝線，對數(shù)相頻特性對稱于 線。0（8）延時環(huán)節(jié)je幅頻特性20lg0dBjLe（ ）=即對數(shù)幅頻曲線為一條零分貝直線。相頻特性je （ ）=相位角隨頻率 成線性變化，但對于對數(shù)分度，相頻特性則表現(xiàn)為曲線。3.繪制伯德圖的一般步驟（1）由傳遞函數(shù) 求出頻率特性 ，并將 化為若干典型環(huán)節(jié)頻率特性相乘的形式；（2）求出各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率 等參數(shù)；（3）分別畫出各典型環(huán)節(jié)的幅頻曲線的漸近線和相頻曲線；（4）將各環(huán)節(jié)的對

16、數(shù)幅頻曲線的漸近線進(jìn)行疊加，得到系統(tǒng)幅頻曲線的漸近線，并對其進(jìn)行修正；（5）將各環(huán)節(jié)相頻曲線疊加，得到系統(tǒng)的相頻曲線。G s（ ）G j（）G j（）Tn，阻尼比例5.4 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為103sG ss sss2（ ）（ ）( 2)( 2)畫出系統(tǒng)的伯德圖解解：（1）求系統(tǒng)的頻率特性 ，并化成典型環(huán)節(jié)相乘形式G j（）27.51311222jGjjjjj（ ）（）（）（ ）（2）求各典型環(huán)節(jié)的參數(shù)比例環(huán)節(jié)7 5K.20lg7.517.50L （ ）（ ）積分環(huán)節(jié)1jLdB（ ）為過（1，0）斜率為20/dec的直線 （ ）=-90振蕩環(huán)節(jié)12jj2（）1220 35n,.慣性環(huán)節(jié)j112

17、1112TT轉(zhuǎn)角頻率 一階微分環(huán)節(jié)1j32213TT轉(zhuǎn)角頻率 （3）分別畫出各典型環(huán)節(jié)的幅頻曲線的漸近線和對數(shù)相頻曲線。（4）將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻曲線的漸近線進(jìn)行疊加，得到系統(tǒng)幅頻曲線的漸近線，并對其進(jìn)行修正。4.系統(tǒng)類型和對數(shù)幅頻曲線之間的關(guān)系12111111abmpK T sT sT sG sH spnmsTsT sT s（）（） （）（） （）（ ）（）（） （）設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 為：G sH s（ ） （ ）其開環(huán)頻率特性為：12111111abmpK T jT jT jG jH jpnmjT jT jT j（）（）（）（ ） （ ）（ ）（ ） （）（）（） 即低頻漸近線是 分貝的水

18、平線，如右圖所示20lgpK（1）靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp 對于0型系統(tǒng)，其對數(shù)幅頻曲線在低頻段即 時，幅值為000lim20lg20lgdBpLG jH jK（ ） （ ） （ ）12111111abmpK T jT jT jG jH jpnmjT jT jT j（）（）（）（ ） （ ）（ ）（ ） （）（）（）（2）靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv 對于I型系統(tǒng)，其對數(shù)幅頻曲線在低頻段是一條斜率為20dB/dec的線段1=120lg20lgvvKLKj（ ）v20lg0vvvKLj（ ）即 ，速度誤差系數(shù)Kv在數(shù)值上等于交點頻率 。vvK當(dāng) 時，其幅值為：即速度誤差系數(shù)Kv與對數(shù)幅頻曲線低頻率起始線段（

19、或其延長線）在 時的對應(yīng)幅值相等。若該線段或其延長線與零分貝線的交點頻率為 ，則：1=v（3）靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka 對于II型系統(tǒng)，其對數(shù)幅頻曲線在低頻段是一條斜率為40dB/dec的線段1當(dāng) 時，2120lg20lgaaKLKj=（ ）=（ ）2aaK=即加速度誤差系數(shù)Ka與對數(shù)幅頻曲線起始段（或延長線）在 處對應(yīng)的幅值相等。a220lg0()avaKLj（）1若該線段或其延長線與零分貝線的交點頻率為即 ，速度誤差系數(shù)Ka在數(shù)值上等于交點頻率 。a5.3 頻率特性的極坐標(biāo)圖（奈奎斯特圖）1. 極坐標(biāo)圖優(yōu)點：優(yōu)點：可以將系統(tǒng)在整個頻域中的頻率特性表現(xiàn)在一張圖上，在進(jìn)行穩(wěn)定性分析和系統(tǒng)校正時，

20、應(yīng)用極坐標(biāo)圖比較方便。缺點：缺點：繪圖時必須計算出每個頻率下的幅值和相位角，對多個環(huán)節(jié)串聯(lián)的系統(tǒng)，需要將某一頻率下各環(huán)節(jié)的幅值相乘、相位相加，不如伯德圖方便。 的極坐標(biāo)圖是當(dāng) 從零變化到無窮大時，表示在極坐標(biāo)上的 的幅值與相角的關(guān)系圖。極坐標(biāo)圖是在復(fù)平面內(nèi)用不同頻率的矢量端點軌跡來表示系統(tǒng)的頻率特性。G j（）G j（）2. 典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖（1）比例環(huán)節(jié)K幅頻特性和相頻特性分別為：G jKG j（） =（）0極坐標(biāo)為實軸上的一點（2）積分環(huán)節(jié)1j幅頻特性和相頻特性分別為：1190G jG jj（） =（）極坐標(biāo)為負(fù)虛軸，且由負(fù)無窮遠(yuǎn)處指向原點。（3）微分環(huán)節(jié)j幅頻特性和相頻特性分別為：90

21、G jG jj（）=（）極坐標(biāo)為正虛軸，且由原點指向正無窮遠(yuǎn)處（4）慣性環(huán)節(jié)11/j T（）221111122TG jjXjYj TTT令（） 2211122XG jTTYG jT為（）的實部為（）的虛部式中：2222211(22XYXXY因為 所以 （ ）)01上式表明，當(dāng) 0 時，慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)是一個圓心在（ ， ），21半徑為 的下半圓，上半圓對應(yīng)的是頻率 0慣性環(huán)節(jié)的極坐2標(biāo)圖。（5）一階微分環(huán)節(jié)1j T幅頻特性和相頻特性分別為：2211G jTG jj Tarctan T（） =（） （）01090當(dāng) ，幅值為 ，相位角為 ， ，相位角為 一階微分環(huán)節(jié)為過點（1，0），平行于虛軸的

22、上半部直線。幅頻特性和相頻特性分別為：221nnG jarctan（）（）22122nnG j12（） （） （）（6）振蕩環(huán)節(jié)21jj12nn （） 振蕩環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖與阻尼比 有關(guān)，對應(yīng)不同的值，形成一簇極坐標(biāo)曲線。對于欠阻尼系統(tǒng) 的情況，系統(tǒng)會出現(xiàn)01（）諧振峰值，記作 ，該頻率 稱諧振頻率。對于過阻尼系統(tǒng) ，極坐標(biāo)接近一個半圓，因為 很大時，特征方程的根全為實根，而起主導(dǎo)作用的是靠近虛軸的極點，此時系統(tǒng)已經(jīng)接近為一階慣性環(huán)節(jié)。rMr1（）幅頻特性和相頻特性分別為：222212nnG j（ ） （）（）22arctan1nnG j （ ）（）（7）二階微分環(huán)節(jié)2jj12nn （） 二階微分

23、環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖與阻尼比 有關(guān)，對應(yīng)不同的值，形成一簇極坐標(biāo)曲線。不論 如何，極坐標(biāo)曲線在 時，從點(1,0)開始，在 時指向無窮遠(yuǎn)處。 0=（8）延時環(huán)節(jié)je幅頻特性和相頻特性分別為：22cossin1G j（） =+=G j（） 由上面式子可以看出，延時環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為單位圓，特點是信號通過延時環(huán)節(jié)時，幅值不變而相位角發(fā)生改變，輸出滯后于輸入，滯后角與輸入信號的頻率成正比增大。 當(dāng)慣性環(huán)節(jié)與其他環(huán)節(jié)串聯(lián)時，系統(tǒng)的頻率特性會產(chǎn)生相應(yīng)的變化，例如與慣性環(huán)節(jié)、比例環(huán)節(jié)和延時環(huán)節(jié)串聯(lián)。1jKG jej T（ ） 慣性環(huán)節(jié)與比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為第四象限半圓，加入延時環(huán)節(jié)后，對應(yīng)每一頻率的幅值不變，但相位

24、滯后了 。系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖由原來的第四象限內(nèi)的半園擴(kuò)展到整個復(fù)平面。3.系統(tǒng)奈奎斯特圖的一般畫法例5.5 畫出下列兩個0型系統(tǒng)的奈奎斯特圖，其中K，T1，T2，T3均大于零112212311111KG jj Tj TKGjj Tj Tj T（ ）（）（）（ ）（）（）（）01122G jKG jG jKG j解：當(dāng) 時 （） ，（）0 （） ，（）0 上式說明0型系統(tǒng)的奈奎斯特圖的起點均為正實軸上的一個有限點（K，0）。112201800270G jG jGjGj 當(dāng)時 （ ） ，（ ） （ ） ，（ ）1221180270G jGjGjG j 上式說明，當(dāng)時， （ ）以相位角趨于坐標(biāo)原點；而

25、（ ）以相位角趨于原點，因為 （ ）比（ ）多了一個慣性環(huán)節(jié)例5.6 畫出下列兩個I型系統(tǒng)的奈奎斯特圖，其中K，T1，T2均大于零111KG jjj T（） （ ）（）解：解：頻率特性可表示為12222111KKTKG jjjj TTT（ ）（）（）幅頻特性為1221KG jT（ ） 相頻特性為190arctanG jT（ ）（532）11110900180G jG jG jG j當(dāng) 時： （ ） ，（ ）當(dāng)時： （ ） ，（ ） 根據(jù)式532，令 對 的實部和虛部分別取極限01G j（）1220012200limRelim1limImlim(1KTG jKTTKG jT （ ）（ ）1090

26、G jKT 上式表明， （）的奈奎斯特圖在時，即圖形的起始點，位于相位角為的無窮遠(yuǎn)處，趨于過點（，0）且平行于虛軸的漸近線；時，幅值趨于零，相位角趨于180112211KG jjj Tj T（） （ ）（）（）解：解： 較 增加了一個慣性環(huán)節(jié)1G j（）2G j（）2121 2222222222121211111K TTKTTG jjTTTT （ ）（）（ ）（）（）（）（）（533）幅頻特性為222221211KGjTT（ ） 相頻特性為21290arctanarctanGjTT（ ）22220900270GjGjGjGj 當(dāng) 時： （ ） ，（ ）當(dāng)時： （ ） ，（ ） 根據(jù)式533，令

27、 對 的實部和虛部分別取極限02G j（）122122222001221 2222220012limRelim111limImlim11K TTGjK TTTTKTTGjTT （ ）（ ）（ ）（）（）（）（ ）（）（）22901G jK TTG j 2 上式表明， （）的起始點，也是位于相位角為的無窮遠(yuǎn)處，漸近線為過點 （ ）,0且平行于虛軸的直線； （）的終點即時，幅值趨于零，相位角趨于270例5.7 畫出下面II型系統(tǒng)的奈奎斯特圖，其中K，T1，T2均大于零21211KG jjj Tj T（ ）（ ） （）（）解：解：頻率特性可表示為21 2122222222222121211111K

28、TTK TTG jjTTTT（）（ ）（ ）（）（）（）（）（534）幅頻特性為222221211KG jTT（ ） 相頻特性為12180arctanarctanG jTT（ ）0180ReIm0360G jG jG jG jG jG j 當(dāng) 時： （ ） ，（ ） （ ） ，（ ）當(dāng)時： （ ） ，（ ） 1 2321 21121 2Re05 341ImTTG jK TTG jTTTT 當(dāng)（ ） 時，由式 可得，（），（ ）例5.8 畫出如下系統(tǒng)的奈奎斯特圖，其中K，T均大于零2221nnKG jjTj（ ）（ ）（）解：解：系統(tǒng)頻率特性2222222222222111nnnnnnKKKTG

29、 jjTjTT（ ）=（）（）（）幅頻特性為222221nnKG jT（ ） 相頻特性為arctan180arctan,nnTG jT ， （ ）22222(),arctan1arctan180arctan0270nnnnnnnKG jG jTTG jG jTG jG jTG jG j （ ） （ ），（ ） （ ），（ ） （ ） ，（ ） 00G jKG j ： （ ） ，（ ）對于一般形式的系統(tǒng)頻率特性對于一般形式的系統(tǒng)頻率特性12111abmpK T jT jT jG jpnmjT jT jT j（1）（1）（1）（ ） （ ）（ ） （）（）（）對于不同型次的系統(tǒng)，其奈奎斯特圖具有以

30、下特點：對于不同型次的系統(tǒng)，其奈奎斯特圖具有以下特點：（1）當(dāng) 時，奈奎斯特圖起點取決于系統(tǒng)的型次 00型系統(tǒng) 起始于正實軸的某一有限點；0（ ） I型系統(tǒng) 起始于相位角為 的無窮遠(yuǎn)處，漸近線為一平行于虛軸的直線；1（ ） II型系統(tǒng) 起始于相位角為 的無窮遠(yuǎn)處。2（ ）90180（2）當(dāng) 時，若 ，奈奎斯特圖以順時針方向收斂于原點，即幅值為零，相位角與分母和分子階次之差有關(guān)，即nm90G jnm（ ）（ ）（3）當(dāng) 含有零點時，其頻率特性 的相位將不隨頻率的增大而單調(diào)減小，奈奎斯特圖會產(chǎn)生“變形”或“彎曲”，具體畫法與各環(huán)節(jié)的時間常數(shù)有關(guān)。Gs（ ）G j（）5.4 最小相位系統(tǒng)的概念1.

31、最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 的所有零點和極點都在s平面的左半平面。G s（ ）特點：頻率從零變化到無窮大，相位角變化范圍最小，且當(dāng) 時，其相位角為90n m -( -)2. 非最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 有零點或極點在s平面的右半平面。G s（ ）特點：頻率從零變化到無窮大，相位角變化范圍總大于最小相位系統(tǒng)，且當(dāng) 時，其相位角不等于n m -( - ) 90 =例5.10 判斷下面?zhèn)鬟f函數(shù)是否為最小相位系統(tǒng)，分別畫出伯德圖，并比較相頻特性，其中T1T20123T sT sT sG sG sG sT sT sT s111222111（ ）， （ ）， （ ）11

32、1解：解：分別寫出三個系統(tǒng)零點和極點并畫出分布圖112212312111111G sZPTTGsZPTTGsZPTT（）：零點 ，極點 （）：零點 ，極點 （）：零點 ，極點 可以看出它們中只有 為最小相位系統(tǒng)， 和 為非最小相位系統(tǒng)。1G s（ ）2G s（ ）3G s（ ）可以看出它們的幅頻特性相同，相頻特性不同分別為：112212312arctanarctanarctanarctan180arctanarctanG jTTGjTTGjTT（ ）=-（ ）=-（ ）=-例5.11 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下，求其頻率特性412341231( )111K T sG sK TTTTTsT sTs(

33、+ ) ( ， ， ， ， 均大于零)( - ) (+ ) (+ )解：解：該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，其頻率特性為：4123(1)()(1)(1)(1)K T jG jT jT jT j 幅頻特性為2242222221231()(1)(1)(1)K TG jTTT相頻特性為1423180arctanarctanarctanarctanG jTTTT() =+-01800180G jKG jG jG j 當(dāng) = 時： ()= ，() =當(dāng)時： ()= ，() = 右圖為其奈奎斯特圖（其中k取3）5.6 閉環(huán)頻率特性與頻域性能指標(biāo)1.閉環(huán)頻率特性如圖所示系統(tǒng)其閉環(huán)傳遞函數(shù)為( )( )1( )( )

34、G sF sG s H s+則()()1()()G jF jG jH j被稱作閉環(huán)頻率特性2.頻域性能指標(biāo)rM(0)1Mrmax20lg20lg()20lg(0)rrMMMr(1)諧振峰值 和諧振頻率max()(0)rrMMM0()M(0)1MrM若 ，則諧振峰值為 ，又稱相對諧振峰值，若取分貝值，則：將閉環(huán)頻率特性的幅值用 表示。當(dāng) 的幅值為 時， 的最大值 稱作諧振峰值。()M在諧振峰值處的頻率 稱為諧振頻率。例如：圖示二階系統(tǒng)頻率特性為222()()2()nnnG jjj+幅頻特性為2222()1( )()(1)(2)nnC jMR jn 2 222114M( ) =(-)+0dMd(

35、)=令 ，則：當(dāng) 取最大值 時，應(yīng)滿足：M ( )rM221211 2rrnM=-=-21rdnn可得：100.7072在 范圍內(nèi)，系統(tǒng)會產(chǎn)生諧振峰值Mr ，而且 越小，Mr越大；諧振頻率 與系統(tǒng)的阻尼自然頻率 ，無阻尼自然頻率 有如下關(guān)系： nrd當(dāng) 時， ， ， 系統(tǒng)產(chǎn)生共振。當(dāng) 時，系統(tǒng)不存在諧振頻率 ，即不產(chǎn)生諧振。 0rnrM 0.707二階系統(tǒng)Mr與阻尼比 的關(guān)系如圖46所示。當(dāng) 時Mr迅速增大，此時瞬態(tài)響應(yīng)超調(diào)量Mp也增大，當(dāng) 時，Mr和Mp存在著相似關(guān)系。對于機(jī)械系統(tǒng)，通常要求 00.40.40.70711.4rMbM(0)20lgM 20lgM(0)3 20lg2() =(2

36、) 截止頻率 和頻寬 b截止頻率是指系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的對數(shù)幅值下降到其零頻率幅值以下3dB時的頻率，即：故 也可以說是系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性幅值為其零頻率幅值的 時的頻率，如圖：21b系統(tǒng)的頻寬：指從0到 的頻率范圍。頻寬（或稱帶寬）表征系統(tǒng)響應(yīng)的快速性，也反映了系統(tǒng)對噪聲的濾波性能。大的頻寬可以改善系統(tǒng)的響應(yīng)速度，使其跟蹤或復(fù)現(xiàn)輸入信號的精度提高，但同時對高頻噪聲的過濾特性降低，系統(tǒng)抗干擾性能減弱。因此，必須綜合考慮來選擇合適的頻帶寬度。b一階系統(tǒng)頻寬的求解：1()1G jj T0111112bj Tj T 得：22b1121T=+故1bTT=T一階系統(tǒng)的截止頻率 等于系統(tǒng)的轉(zhuǎn)角頻率 ，即等于系統(tǒng)

37、時間常數(shù)的倒數(shù)。說明頻寬越大，系統(tǒng)時間常數(shù)T越小，響應(yīng)速度越快。b二階系統(tǒng)頻寬的求解：222()()2()nnnG jjj2222112nnM（ ）（） （）2222222201111221-21-2bnnnn （） （）（） （）即2222122nn（） （） 求解得：2241 2244bn例5.12 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為500 0512 51G s.s. s（ ）（）（）nrb求該系統(tǒng)的 ，和解：解：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：2250( )5051( )0.1252.551( )0.1252.555115151G sF sG sssss=+n20.2rad/s0.50550=0. 125可得所以21 1.1521rM=-21 214.14rad/srn=-=2241 22 4425.6rad/sbn=-+-+05001 151 1351maxrrmaxrrMMMMM M.（）此處計算的為相對諧振峰值，即，實際最大幅值（ ）（）（ ）注意：注意：5.7 系統(tǒng)辨識1.概述 系統(tǒng)辨識系統(tǒng)辨