1、金屬塑性變形理論Theory of metal plastic deformation 第五講第五講Lesson Five張貴杰張貴杰Zhang GuijieTel-Mail： 河北理工大學金屬材料與加工工程系Department of Metal Material and Process EngineeringHebei Polytechnic University, Tangshan 0630092022-3-82第十章 應力狀態分析主要內容Main Contento 應力狀態基本概念應力狀態基本概念 o 斜面上任一點應力狀態分析斜面上任一點應力狀態分析 o 求

2、和約定和應力張量求和約定和應力張量 o 主應力及主切應力主應力及主切應力 o 球應力及偏差應力球應力及偏差應力 2022-3-8310.4 主應力及主切應力主應力及主切應力o10.4.1 主應力的概念主應力的概念o 通過坐標變換可以找到只有正應力的通過坐標變換可以找到只有正應力的坐標面，此坐標軸稱為主軸，此應力坐標面，此坐標軸稱為主軸，此應力稱為稱為主應力主應力，該坐標面為，該坐標面為主平面主平面。 2022-3-842022-3-852022-3-86主應力的求解主應力的求解o 如果取微分面如果取微分面ABC為主為主微分面，即該微分面上微分面，即該微分面上只有主應力而沒有切應只有主應力而沒有

3、切應力。這時，作用在此面力。這時，作用在此面上的全應力就是主應力。上的全應力就是主應力。用用 表示主應力，則它表示主應力，則它在各坐標軸上的投影為在各坐標軸上的投影為 nSmSlSnznynx2022-3-87o 代入到斜面應力方程中有代入到斜面應力方程中有nmlnSnmlmSnmllSzyzxznzzyyxynyzxyxxnx 000nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx整理后可得整理后可得又有又有1222nml（*）（*）2022-3-88o 由上面四個方程可求出主應力由上面四個方程可求出主應力 及其方向余及其方向余弦弦l、m、n。顯然，前三個方程構成一個齊。顯然，前三個方程構成

4、一個齊次方程組，顯然不能有次方程組，顯然不能有l = m = n = 0這樣的這樣的解。如要方程組有其他解時，必須取該方程解。如要方程組有其他解時，必須取該方程組的系數行列式為零，即組的系數行列式為零，即 0zyzxzzyyxyzxyxx2022-3-89o 展開此行列式，得展開此行列式，得2)(zyx3)(1zyxI )(222zxyzxyxzzyyx02222xyzzxyyzxzxyzxyzyx令令)(2222zxyzxyxzzyyxI22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI則有則有032213III2022-3-810o 三次方程式稱為三次方程式稱為應力狀態特征方程應力狀態特征方

5、程。此方程。此方程的三個根就是三個主應力，而這三個主應力的三個根就是三個主應力，而這三個主應力均為實根。由因式分解可知均為實根。由因式分解可知 0321 032113322123213由代數學可知，具有相同的根的方程是全等方由代數學可知，具有相同的根的方程是全等方程，因此該式與應力狀態特征方程全等。有程，因此該式與應力狀態特征方程全等。有展開后得展開后得2022-3-811應力張量不變量應力張量不變量zyxI13212222zxyzxyxzzyyxyzzxyyzxzxyzxyzyxI321 對同一點應力狀態，三個主應力的數值是一定的，而對同一點應力狀態，三個主應力的數

6、值是一定的，而與過該點的坐標系的選擇無關，不管應力分量怎樣隨坐與過該點的坐標系的選擇無關，不管應力分量怎樣隨坐標系改變。那么標系改變。那么I1、I2、I3 是不隨坐標系改變的，分別稱是不隨坐標系改變的，分別稱為為一次、二次和三次應力常量一次、二次和三次應力常量，或稱為，或稱為應力張量不變量應力張量不變量。2022-3-812主應力的特點主應力的特點o 三個主應力所作用的主微分面是相互垂直的三個主應力所作用的主微分面是相互垂直的o 將主應力將主應力 1代入（代入（*）式中的任何兩個方程，）式中的任何兩個方程，并與（并與（*）式聯立，可以求解出主應力）式聯立，可以求解出主應力 1的的方向余弦方向余

7、弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主，同理，可以求解出主應力應力 2及及 3的方向余弦的方向余弦l2、m2、n2及及l3、m3、n3 。o 每兩個主應力的方向余弦之間滿足以下關系每兩個主應力的方向余弦之間滿足以下關系0212121nnmml l0323232nnmmll0131313nnmmll2022-3-813o 三個主應力均為實根三個主應力均為實根 o 主應力具有極值性質主應力具有極值性質o 三個主應力中的最大值賦給三個主應力中的最大值賦給 1，最小值賦給，最小值賦給 3，并按大小順序排列，并按大小順序排列 1 2 3，則過該，則過該點任意微分斜面上的正應力中，點任意微分斜面上的正應力

8、中， 1為最大值，為最大值， 3為最小值。為最小值。 2022-3-814主坐標系主坐標系o 因為三個主應力兩兩相互垂直，若取坐標軸因為三個主應力兩兩相互垂直，若取坐標軸與主應力方向一致，則構成與主應力方向一致，則構成主坐標系主坐標系，其坐，其坐標軸稱為標軸稱為主軸主軸。 2 12(y)3(z)1(x) 32022-3-815o 在主坐標系下斜面上的應力為在主坐標系下斜面上的應力為nnmlSmnmlSlnmlSnnn333222111000000nmlSSSnnn321321000000或或232221nmln正應力正應力321000000T為主應力張量為主應力張量2022-3-81610.4

9、.2 主切應力和最大切應力主切應力和最大切應力 o 主切應力主切應力o 任意微分斜面上的切應力也有極大值和最大值。任意微分斜面上的切應力也有極大值和最大值。極值切應力又稱為主切應力。極值切應力又稱為主切應力。 o 在主坐標系下，任意微分斜面上的切應力在主坐標系下，任意微分斜面上的切應力o 上式中消去上式中消去n，得到，得到 n與與l、m的函數關系的函數關系 2221322232222212lnnmmln 2 32322312322322223212 mlmln 2022-3-817o 當微分面轉動時，切應力隨之變化。我們所求當微分面轉動時，切應力隨之變化。我們所求的是，當的是，當l、m、n為何

10、值時，微分面上的切應為何值時，微分面上的切應力取極值。由二元函數力取極值。由二元函數f(x,y)求極值的方法可求求極值的方法可求得微分面上的切應力的極值。得微分面上的切應力的極值。 0 2 0 2 32323223123223132322312321mmlmmflmlllf2 32322312322322223212 ),(mlmlmlfn2022-3-818對此方程組求解分不同情況對此方程組求解分不同情況o 當當 1 2 3時，時，1） ，此解指主微分面上切應力為零，此解指主微分面上切應力為零2） 時，時， 3） 時，時， 4） 時，此種情況不可能成立。時，此種情況不可能成立。 5）若方程中消去若方程中消去m，則有，則有1 , 0nml0 , 0ml21 0 21nml0 , 0ml 21 21 0nml0 , 0ml 0 21 21 nml2022-3-819l0m0n02022-3-820o 當當 1 2 3時，時，則切應力在通過該點的任則切應力在通過該點的任何微分面上為零。何微分面上為零。o 主切應力主切應力 o 最大切應力最大切應力22112232232311323113max2022-3-821l000m000n000切應力切應