1、2021/4/21 14 正定二次型和正定矩陣一、基本概念二、正定矩陣的充分必要條件三、正定矩陣的性質2021/4/22 2一、基本概念定義定義 設A為實n階對稱矩陣，如果對于任意非零向量X，二次型f=XTAX均為正數，則稱二次型f為正定的，其矩陣A 稱為正定矩陣.定義定義 如果對于任意向量X，二次型f=XTAX均為非負(非正)數，則稱二次型f為半正(負)定的，其矩陣A 稱為半正(負)定矩陣.定義定義 如果實二次型f=XTAX對于某些向量X為正數,并且對于對于某些向量X為負數,則稱二次型是不定的.2021/4/23 3例例222212211222221221122212()221112()22

2、111210.01fghfxxxxx xxAgxxxxx xxAhxxA 正定二次型,正定矩陣;負定二次型,負定矩陣;不定二次型不定矩陣2021/4/24 4二、正定矩陣的充分必要條件定理定理 實對稱矩陣A正定的充分必要條件是其特征值都是正數.證明證明 設實對稱矩陣A的特征值 都是正數.存在正交矩陣Q,使得 QTAQ= , 為對角矩陣,其對角線元素為 , 對于 令 1,n 1,nTTTTT21()()0.niiifX AXQYAQYYQ AQ YYYy 10,0,n,XO 1,YQ X 即 ,顯然 又 故XQY ,YO 這就證明了條件的充分性.2021/4/25設A是正定矩陣,而 是其任意特征

3、值, X是屬于 的特征向量, 則有 ,AXX 于是TTT0,0,0.X AXX XX X 故必要性得證.推論推論 若A是正定矩陣,則|A|0.證明證明 TTT111,| | | | | |0.nQ AQQ AQQA QQA QQA QA 52021/4/26 6定理定理 實對稱矩陣A負定的充分必要條件是其特征值都是負數.2021/4/27 7例例 判斷下列矩陣是否為正定矩陣622250 .207A 解解622622250250207207EA 2021/4/28 822123(6)(5)(7)4(5)4(7)(6)(5)(7)848(6)(1235)8(6)(6)(1227)=(3)(6)(9

4、).3,6,9.2021/4/29 9 E:=matrix(1,0,0,0,1,0,0,0,1);A:=matrix(6,-2,2,-2,5,0,2,0,7);f:=det(lambda*E-A);f_factor:=factor(f); := E100010001 := A6-22-250207 := f318 299 162 := f_factor()6 ()3 ()92021/4/21010例例設A為n階實對稱矩陣,且滿足 證明A為正定矩陣.證明設 為A的特征值,則 為 的特征值,故 32243.AAAEO 32243 32243AAAEO 322430,2021/4/211113232

5、222222431242(1)(1)2(1)(1)(3)0,1.30,( 1)12110. 230 無實根.A的特征值為1,n重故A是正定矩陣.2021/4/21212定理定理 實對稱矩陣A正定的充分必要條件是它與單位矩陣合同.證明 充分性.設實對稱矩陣A合同與E,即存在可逆矩陣C,使得 對于任意向量XO,由于C可逆,可從 解出Y O,于是T,C ACE CYX TT210,niiX AXYYy 故A是正定的.必要性.設實對稱矩陣A是正定的.由于A是實對稱的,A合同于一個對角矩陣 ,其對角線元素是A的特征值 由于A是正定的,這些特征值大于零,而這樣的對角矩陣與單位矩陣合同,故A合同于單位矩陣.

6、, 1,n 2021/4/213定理定理實對稱矩陣A 正定的充分必要條件是存在可逆矩陣P，使得A=PTP.證明設A=PTP,P可逆.對于任意 ,由于P可逆,PXo,故Xo ,Xo 2TTT()0.X P PXPXPXPX設A正定,則A合同于單位矩陣,即存在可逆矩陣,使得A=PTEP=PTP.2021/4/214例例 A正定,B實對稱,則存在可逆矩陣R, 使得RTAR和RTBR同時為對角形.證明證明存在P,使得PTAP=E,PTBP實對稱,存在正交矩陣Q,使得 QTPTBPQ=D為對角形,令R=PQ,則TTTTT,R ARQ P APQQ EQER BR為對角形.2021/4/215例A,B正定

7、,AB正定的充分必要條件是A,B可交換.證明必要性設AB正定,則AB對稱,充分性 設A,B可交換,則AB是實對稱矩陣,A正定,A=CCT,AB=CCTBCTBC, CTBC是正定矩陣,特征值為正,AB特征值也為正數,故AB正定.TTT().ABABB ABA 2021/4/21616定理定理 n階實對稱矩陣A負定的充分必要條件是它與負單位矩陣 合同.nE 2021/4/21717為了敘述下一個正定矩陣充分必要條件，我們引進定義定義 給定實對稱矩陣則其前s行前s列元素組成的行列式稱為A的順序主子式.即(),ijn nAa |,1,sijs sAasn 1112131112111232122232

8、122313233(),aaaaaAaAAaaaaaaaa 2021/4/2181811111111,.snsnsssnnnaaaaAAAaaaa 的行列式的行列式.定理定理 實對稱矩陣 正定的充分必要條件是其順序主子式全大于零.()ijn nAa 證明證明 必要性設A是正定矩陣,則對于非零向量1(,),iiXxx TT()0.iTiiiiXX A XXO AO即Ai為正定矩陣,故其行列式0.iA 2021/4/21919充分必要性.設矩陣A的所有順序主子式0.要證明A是正定矩陣.用數學歸納法證明.n=1時顯然:21111110,0,0.axa x 設對于n1結論成立.An-1正定,存在n-1

9、階非退化矩陣G,使得T11.nnG AGE 令11,| | 0.1GOCCGO則T1T11TTTTTT111TTT11.1nnnnnnnnnnnnAGOGOC ACaOOGOG AGG AGGEGOaGaGa 再令2021/4/22020T122TT2112TT111TTTT11TT11TT2212,| 10,1111.| |0,nnnnnnnnnnnnnnEGCCOC C AC CEOEGEGGGaOEGEGOaGGOEOEOOaGGOddA CC 2021/4/22121令11/2331/2,|0.nEOCCdOd 令123123TTTT3211231111/21/2,| | 0,().n

10、nnCC C CCCCCC ATCC C AC C CEOEOEOEOdOdOd 則于是A與單位矩陣合同,故A是正定的.推論推論 n階實對稱矩陣A負定 順序主子式Ai滿足( 1)0,1, .iiAin 2021/4/22222例例 用順序主子式判斷上例的矩陣的正定性.622250 .207A 解解123| 60,62|304260,25622|25021020281620.207AAA 故A正定.2021/4/22323實對稱矩陣實對稱矩陣A A正定的充分必要條件是正定的充分必要條件是1.1.其特征值都是正數其特征值都是正數. .2.2.A A合同于合同于3. 可逆可逆.4.4.A A的順序主

11、子式全是正數的順序主子式全是正數. .5.A的主子式全是正數的主子式全是正數.nET,AP P P 2021/4/22424例例 判斷下列二次型是否正定:2221121322339912481306071fxx xx xxx xx1299624613030 ,990,24371996333661302651111818 (65 11 2)18 7130,265AAA := detA8321762021/4/225222123222222121323222123222222121323222123123991307111112()48()60()22299130716()24()30()6994

12、170,( ,)0.ffxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x222222()0,1().2aabbababab 2021/4/226例例 t在什么范圍取值時二次型222123123121323(,)32224f x xxxxxx xx xx x 是正定二次型?解解1232221111132 .| 10,|20,1322111002)(2)tAAAttAttttttt 2021/4/22722212424434(34)0.(34)0,4/ 3,0.4/ 30.tttttttttttt 2021/4/228定義定義 實對稱矩陣A的第 行和第 列的元素組成的

13、行列式稱為主子式.例如1,kii1,kii12312 45 13245 ,24 52 32352A 是2階主子式.其中只有 是2階順序主子式.12242021/4/22929實對稱矩陣A半正定的充分必要條件是1.其特征值都是非負數.2.A合同于3.A的正慣性指數p=r.4.A的所有主子式非負.,( ).rEOrr AOO 2021/4/230定理定理 實對稱矩陣A半正定的充分必要條件是所有主子式非負.證明 設A半正定.則A+tE正定.其所有主子式1 11 212 12 2211210.00.kkkkkk kki ii ii ii ii ii iniikki ii ii iiiataaaaaAt

14、ECaaattA 個.2021/4/231設A的所有主子式非負.考慮矩陣 其順序主子式.tAAtE 111212122212110|.kktkkkkkkkataaaataAaaattc tc ic 是A的 階主子式之和,故 ki 0,|0,kitkcAt tA正定,對于任意非零向量X, 令 得T0,tX A X 0t T0.X AX 故A半正定.2021/4/232例例112112 .221A 但A并非半正定，事實上，A對應的二次型222123121323221233123244(2)3,1,1,30.1230.21fxxxx xx xx xxxxxxxxf 主子式1231110,0,| |

15、0.11AAAA順序主子式2021/4/23333三、正定矩陣的性質1.若A為正定矩陣,則|A|0,A可逆.2.若A為正定矩陣,則A-1也是正定矩陣.證明 A為正定矩陣,其全部特征值為正數,A-1的全部特征值是它們的倒數,也全是正數,故A-1正定.3.正定矩陣的對角線元素都是正數.4. A為正定矩陣,Ak也是正定矩陣.5.A,B為同階正定矩陣,則A+B是正定矩陣.6.若A為正定矩陣,則存在可逆矩陣P,使得A=PPT.7. A為正定矩陣,A 的所有主子式大于零.2021/4/23434證明證明 由于A合同于單位矩陣,存在可逆矩陣Q,使得A=QTEQ=QTQ=QT(QT)T=PPT,P=QT.8.

16、 若A為n階正定矩陣, 則 正定.(),n mr Pmn TP AP證明證明 對于任意m維列向量 由于,XO (),n mr Pmn 矩陣P的列向量組線性無關, 是P的列向量的非零線性組合,故 而A正定,故PXTTT()()()0,XP AP XPXA PX 故 是正定矩陣.TP AP,PXO 2021/4/23535TT,A A AA的若干性質1.若A為n階可逆矩陣,則 為正定矩陣.TT,A A AA證明 是實對稱矩陣 .對于任意 A可逆, 否則 TTTTTT()(),A AAAA A TA A,XO ,AXO 1,.AXO XA XO 2TTT() ()0.X A AXAXAXAX 故 正

17、定.TA A2.若A為 矩陣,且 則 為m階正定矩陣, 為n階半正定矩陣,但非正定矩陣.nm (),r Amn TA ATAA證明 任意 A的列向量組線性無關,XO (),r Am ,AXO 2TTT()0.X A AXAXAXAX 2021/4/236(),Tr Amn 的列向量組線性相關，存在n維列向量使得 ,于是,Xo0,TTTX AA XX AoTA Xo2,()0,nTTTTTTTXRX AA XA XA XA XA X故故 不是正定矩陣。TAATA2021/4/237373.若A為 矩陣,且 則 和 分別為m階和n階半正定矩陣但非正定矩陣.nm ( )min( ,),r Arn m