1、精選文檔第四章 內(nèi)積空間在第三章中，我們把維空間中的向量的模長(zhǎng)推廣到一般線性空間中去，得到了賦范線性空間的概念。但在中可以通過(guò)兩個(gè)向量的夾角討論向量與方向的問(wèn)題。這對(duì)僅有模長(zhǎng)概念的賦范線性空間是做不到的。我們知道，中向量的夾角是通過(guò)向量的內(nèi)積描述的，因此在本章我們引入了一般的內(nèi)積空間的概念。4.1 內(nèi)積空間的基本概念首先回憶幾何空間中向量?jī)?nèi)積的概念。設(shè)，設(shè)與夾角為，由解析幾何知識(shí)可得其中， ，令，稱為與的內(nèi)積，不難證明它有如下性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）注：由定義可得，我們看到，兩個(gè)向量的夾角僅與向量的內(nèi)積有關(guān)。利用內(nèi)積我們可以討論如向量的直交及投影等重要幾何問(wèn)題。現(xiàn)在我們引入一般的內(nèi)積空間

2、的概念。【定義 4.1】 設(shè)為數(shù)域上線性空間，若對(duì)任兩個(gè)元素（向量），有惟一中數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為，并且滿足如下性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）則稱為與的內(nèi)積，有了內(nèi)積的線性空間叫做內(nèi)積空間，當(dāng)為實(shí)數(shù)域（或復(fù)數(shù)域），叫為實(shí)（或復(fù)）內(nèi)積空間。 注:由性質(zhì)（3）與性質(zhì)（4）知，內(nèi)積運(yùn)算關(guān)于第一變?cè)蔷€性的。由性質(zhì)（2）與性質(zhì)（4）可推知.于是當(dāng)為內(nèi)積空間時(shí)，內(nèi)積關(guān)于第二個(gè)變?cè)彩蔷€性的。而常稱為共軛齊次性，因此在為賦內(nèi)積空間時(shí)，內(nèi)積是共軛線性的。今后討論中不加注明時(shí)，恒設(shè)為復(fù)內(nèi)積空間。【引理 4.1】（Schwaraz不等式） 設(shè)為內(nèi)積空間，對(duì)任意，成立不等式證明：若，則任，有，則顯然不等式成立。現(xiàn)在設(shè)

3、，則，有取代入上式可得，由此可得證畢。【定理 4.1】 設(shè)為內(nèi)積空間，對(duì)任，令，則是的范數(shù)。證明：因范數(shù)的前兩條性質(zhì)可直接由內(nèi)積的性質(zhì)推出，我們僅驗(yàn)證它滿足第三條性質(zhì)（即三角不等式）。事實(shí)上故有.證畢。注：常稱為內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)，于是內(nèi)積空間按此范數(shù)成為一個(gè)賦范線性空間。在此意義下，第二章關(guān)于賦范線性空間的有關(guān)內(nèi)容都適用于內(nèi)積空間。特別當(dāng)內(nèi)積空間按由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)完備的，稱為Hilbert空間。以下介紹幾個(gè)常用的Hilbert空間的例子。例 4.1 表示（實(shí)或復(fù)）Euclid空間，對(duì)于，類似于幾何空間中向量的內(nèi)積定義，令不難驗(yàn)證成為一個(gè)空間。例 4.2 ，當(dāng)，時(shí)，令容易證明成為內(nèi)積空間。以下證明

4、為Hilbert空間。任取列，則對(duì)任當(dāng)時(shí)，有因而有故數(shù)列是列，因數(shù)域完備，則存在，使，令，則任，當(dāng)時(shí)，有則令，對(duì)每個(gè)及任，有因而，亦有，只要，所以，注意是線性空間，則，且，這即表明在中收斂，故為Hilbert空間。例 4.3 為有限或無(wú)窮區(qū)間，對(duì)任，定義內(nèi)積這里中的元素是實(shí)值或復(fù)值二次可積函數(shù)，也不難驗(yàn)證是內(nèi)積空間。現(xiàn)在證明是Hilbert空間。設(shè)為列，則對(duì)每個(gè)，存在自然數(shù)，有對(duì)任有限區(qū)間，由不等式，有式中，為的長(zhǎng)度。故級(jí)數(shù)收斂，于是由引理（見(jiàn)第一章）我們有 從而知是集上可積函數(shù)，則比在上為處處有限函數(shù)，即級(jí)數(shù)在上幾乎處處收斂，而為中任意有限區(qū)間，則級(jí)數(shù)在上幾乎處處收斂，因而級(jí)數(shù)在上幾乎處處收

5、斂，亦即函數(shù)在上幾乎處處收斂于函數(shù).現(xiàn)在證明，且.對(duì)任意，因?yàn)橹辛校瑒t存在，當(dāng)時(shí)，有，即令，利用第一章積分的性質(zhì)，得到即，且，因此.因此列在中收斂，故是Hilbert空間。（1） 內(nèi)積的連續(xù)性。設(shè)，則有證明：由不等式，得 因收斂有界。證畢。（2） 極化恒等式。對(duì)內(nèi)積空間中元素與，成立證明可直接運(yùn)用范數(shù)的定義和內(nèi)積的性質(zhì)得到。留給讀者作為練習(xí)。注：當(dāng)為實(shí)數(shù)內(nèi)積空間時(shí)，則極化恒等式為（3） 中線公式。對(duì)內(nèi)積空間中元素與，成立證明：證畢。注：也常稱中線公式為平行四邊形公式。因在平面中，平行四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)度的平方和等于四條邊的長(zhǎng)度平方和。另外，可以證明中線公式是內(nèi)積空間中由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)的特征性質(zhì)，

6、即當(dāng)為賦范線性空間時(shí)，若對(duì)其中任何元素與關(guān)于范數(shù)成立中線公式，則必在中可定義內(nèi)積，使范數(shù)可由此內(nèi)積導(dǎo)出。也就是一個(gè)賦范線性空間成為內(nèi)積空間的條件是其范數(shù)要滿足中線公式。因此，內(nèi)積空間是一類特殊的賦范線性空間。例如，當(dāng)且時(shí)，不是內(nèi)積空間。因?yàn)椋。瑒t，且，顯然不滿足中線公式。又例如，按范數(shù)不是內(nèi)積空間。這只要取，及，則，且，明顯不滿足中線公式。再例如，當(dāng)且時(shí)，也不是一個(gè)內(nèi)積空間。習(xí)題 4.11. 證明：Schwarz不等式中等號(hào)成立與線性相關(guān)。2. 設(shè)為實(shí)內(nèi)積空間，若，證明：.若，所證明事實(shí)有什么幾何意義？3. 設(shè)為內(nèi)積空間，若對(duì)任何，有，試證明.4. 設(shè)為Hilbert空間，求證的充要條件是，

7、且.5. 驗(yàn)證極化恒等式。6. 設(shè)是維線性空間的一組基，對(duì)于，有惟一表示，其中，求證是上一個(gè)內(nèi)積的充要條件是存在正定矩陣，成立4.2 內(nèi)積空間中元素的直交與直交分解4.2.1 直交及其性質(zhì)仿照中兩個(gè)向量的直交概念，我們有如下定義。【定義 4.2】 設(shè)是內(nèi)積空間，若，稱與直交，記為.設(shè)，若與每個(gè)元素直交時(shí)，則稱與直交，記為.又，若，都有，則稱與直交，記為.設(shè)，記,則稱為的直交補(bǔ)。由以上定義，可得如下簡(jiǎn)明事實(shí)（性質(zhì)）：（1） 零元素與中每個(gè)元素直交。（2） 若，則.（3） .（4） 若，則.（5） 任，若，則；若，則.此外我們還有一下幾條有用性質(zhì)：（6） 若，且，則.這是因?yàn)?（7） 若，且，則成

8、立勾股公式.這個(gè)性質(zhì)留給讀者自己驗(yàn)證。（8） 對(duì)任，則是的閉子空間。事實(shí)上，任意，則對(duì)每個(gè)，有，于是有，故；又任意，則任意，有，故，因此成為的線性子空間。現(xiàn)在證明是閉集。若，則為閉集，當(dāng)，任取，則存在，有.對(duì)任意，應(yīng)用事實(shí)（6），有則，于是推得，即，因此為閉集。證畢。（9） 設(shè)為非空集，則. 事實(shí)上，因，則.另外，對(duì)任意，任意取，若，則是中有限個(gè)元素的線性組合，即于是，即.而當(dāng)，則存在元素，有，由以上證明知，于是由性質(zhì)（6）得知.綜上所說(shuō)，故.證畢。4.2.2 直交投影及變分引理仿照中向量在坐標(biāo)軸上投影的概念引入以下定義。【定義 4.3】 設(shè)是內(nèi)積空間的一個(gè)線性子空間，若存在，使成立，則稱為在

9、上的直交投影（可簡(jiǎn)稱為投影）。注：一般情況，某個(gè)元素在的某個(gè)空間上不一定存在投影。但當(dāng)投影存在時(shí)，則可證明投影的惟一性。因?yàn)槿艏岸际窃谏系耐队埃瑒t由定義有，于是，故.對(duì)于，任向量在軸（即子空間）上有投影為.并且知道點(diǎn)到軸上每個(gè)點(diǎn)的距離最小者為.這種現(xiàn)象如何在一般的（特別是無(wú)限維）內(nèi)積空間中表現(xiàn)是個(gè)需要探討的問(wèn)題。為此，我們首先給出重要概念。【定義 4.4】 設(shè)是度量空間，是中非空子集，則稱為到集的距離，記為.若存在某，使，則稱為在中最佳逼近元。注：一般情況下，某元，在某集中不一定存在最佳逼近元。并且在最佳逼近元存在時(shí)也不一定惟一。因此，最佳逼近元的存在性及惟一性成為逼近理論中一個(gè)主要研究方向。

10、在此我們僅介紹一個(gè)在微分方程，現(xiàn)代控制論等學(xué)科都有重要應(yīng)用的基本結(jié)果。【定理 4.2】（極小化向量定理） 設(shè)是空間中的凸閉集，則任意，必有中惟一存在最佳逼近元。證明：令，則存在，使.因是凸集，則，于是必有.在中線公式中以代換，以代換，則有因此是完備內(nèi)積空間中列，則存在，使.因是閉集，則，并且有這證明了最佳逼近元的存在性。現(xiàn)在證明惟一性。設(shè)也是的最佳逼近元。還是由中線公式得故，即.證明。我們通常也稱此定理為變分引理。由于子空間一定是凸集，并注意定理的證明過(guò)程，則定理?xiàng)l件改為是內(nèi)積空間中完備的子空間時(shí)，定理結(jié)論仍成立。4.2.3 投影定理【定理 4.3】（投影定理） 設(shè)是內(nèi)積空間的完備線性子空間，

11、則任意，必在中惟一存在投影。即必惟一存在，使.證明：由題設(shè)，依據(jù)極小化向量定理，在中存在最佳逼近元，記為任取復(fù)數(shù)，則，且有當(dāng)時(shí)，取代入上式，得于是推得，再注意，此式也成立，因而.令，即有.投影的存在性得證。投影的惟一性已由定義4.3的注得證。證畢。注：（1）為空間時(shí)，則對(duì)任閉集子空間投影定理成立。（2）表達(dá)式也常稱為元素的直交分解，故投影定理也叫做直交分解定理，是中向量的直交分解的推廣。由于在一般賦范線性空間中沒(méi)有直交概念，因此不能討論直交分解的問(wèn)題。（3）對(duì)于空間及子閉空間，在投影定理?xiàng)l件下有即表示為兩個(gè)直交子空間的直和，常稱為與的直交和，或直交分解。投影定理在內(nèi)積空間理論中是極為重要的基本

12、定理。由于投影，就是元素在子空間中的最佳逼近元，因此在現(xiàn)代逼近論，概率論以及控制論中許多問(wèn)題都可以抽象為如下的數(shù)學(xué)問(wèn)題。設(shè)是內(nèi)積空間，且，問(wèn)是否存在個(gè)數(shù)，使得，其中.并且一般假設(shè)線性無(wú)關(guān)。由于是一個(gè)維賦范線性空間，故完備，則由投影定理，對(duì)于，必惟一存在，使.現(xiàn)在我們給出求解的方法，因，則由投影定理，我們有即得線性方程組記其系數(shù)行列式為.因?yàn)榉匠探M已知有惟一解，故，并且可計(jì)算出.最后，我們?cè)俳o出投影定理的兩個(gè)推論。【推論 4.1】 設(shè)是內(nèi)積空間的真閉線性子空間，則中必有非零元素。證明：由題設(shè)，則存在.由投影定理得知，存在，使得，于是必，否則，與之矛盾。證畢。【推論 4.2】 設(shè)是內(nèi)積空間的真閉線

13、性子空間，則.特別當(dāng)，則在中稠密。證明：由性質(zhì)（8），是中真閉線性子空間，因完備，則完備。顯然，有，于是。同樣得知也完備。如果，于是關(guān)于，應(yīng)用推論4.1，存在非零元素，且，故，從而，矛盾。從而必有，證畢。習(xí)題 4.21. 設(shè)是實(shí)內(nèi)積空間，若，則.問(wèn)是復(fù)內(nèi)積空間時(shí)，結(jié)論是否成立？2. 證明：內(nèi)積空間中的兩個(gè)元素直交的充要條件是對(duì)任意數(shù)，成立.3. 設(shè)是內(nèi)積空間中兩兩直交的非零元素組，求證：線性無(wú)關(guān)。4. 設(shè)是內(nèi)積空間，則對(duì)任意，有.5. 設(shè)是空間，是的子集，求證是包含的最小閉子空間。6. 設(shè)是空間中非空子集，求證：.7. 設(shè)為空間中全體偶函數(shù)的集合：（1） 求證是中全體奇函數(shù)。（2） 任意，求在

14、上的投影。8. 設(shè)為空間，元素列且兩兩直交，求證：級(jí)數(shù)收斂數(shù)值級(jí)數(shù)收斂。9. 證明：直交性質(zhì)（1）-（5）.10. 設(shè)是內(nèi)積空間中兩兩直交元素組，求證：.4.3 直交系返照中情況，在內(nèi)積空間引入直角坐標(biāo)系的概念。【定義 4.5】 設(shè)是內(nèi)積空間中一個(gè)不含零元的子集，若中任意兩個(gè)不同元素都直交，則稱為的一個(gè)直交系。又若中每個(gè)元素的范數(shù)都是1，則稱為標(biāo)準(zhǔn)直交系。注：為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們僅討論至多含可列個(gè)元素的直交系，因?yàn)閷?duì)不可列情況，在方法上同可列情況并無(wú)本質(zhì)的區(qū)別。例 4.4 在（實(shí)或復(fù)）空間中是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交系。例 4.5 在內(nèi)積空間，以下元素列是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交系其第個(gè)分量是1，其余分量都是0，例 4

15、.5 在實(shí)內(nèi)積空間中，若定義內(nèi)積為則三角函數(shù)系是的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交系。【定義 4.6】 設(shè)是內(nèi)積空間中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交系，對(duì)任，稱為元素關(guān)于的系數(shù)，常簡(jiǎn)稱為的系數(shù)。于是有形式級(jí)數(shù)，稱為元素關(guān)于可以展開(kāi)為級(jí)數(shù)。注：一般情況下，級(jí)數(shù)不一定收斂。即或收斂，也不一定收斂于.在什么條件下元素可以展開(kāi)為級(jí)數(shù)的問(wèn)題自然是重要的。【定理4.4】 設(shè)是內(nèi)積空間中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交系，記對(duì)任意給定，則在上的投影是，即是在內(nèi)的最佳逼近元。證明：因，由于，則只須證明.由4.2性質(zhì)（9），又僅須證于是由，知結(jié)論成立。證畢。注：任意，任，成立【定理4.5】（Bessel不等式） 設(shè)是內(nèi)積空間中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交系，則對(duì)任意，成立Bessel

16、不等式其中，證明：已知，其中，則由勾股定理得令，得結(jié)論成立。證畢。注：Bessel不等式指元素在每個(gè)上投影的范數(shù)的平方和不大于的范數(shù)；由此知為收斂級(jí)數(shù)，于是推得事實(shí)特別對(duì)內(nèi)積空間關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)直交系三角函數(shù)系（見(jiàn)例4.3），對(duì)任意，其系數(shù)為其中即通常的系數(shù)，則由Bessel不等式，得注意這里用了收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)的可交換性。在內(nèi)積空間給定標(biāo)準(zhǔn)直交系情況下，其對(duì)應(yīng)的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)序列，并確定了由到內(nèi)積空間內(nèi)的一個(gè)映射為其中，.不難證明是線性映射。 反之，任意中的元素，一般情況下，不一定存在中元素，使，但在完備時(shí)，有以下定理。【定理4.6】（） 設(shè)是內(nèi)積空間中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交系，則對(duì)任意，惟一存在，使，且成立等式證

17、明：令，因?yàn)椋捎诩?jí)數(shù)收斂，則根據(jù)收斂準(zhǔn)則，有故是完備空間中一個(gè)列，則存在，有現(xiàn)在設(shè)為任意自然數(shù)，則再注意，令，即得等式.最后證明惟一性。若，也滿足定理結(jié)論，且則因（由定理4.3），令，推得.由極限的惟一性，必.證畢。注：在為空間時(shí)，可確定一個(gè)有到內(nèi)的映射。但在一般情況下，不能斷定映射是滿射。因此不一定為由到上的一一映射。在維空間中，標(biāo)準(zhǔn)直交基（直角坐標(biāo)系）的極大性是至關(guān)重要的，對(duì)此我們有如下推廣。【定義4.7】 設(shè)是內(nèi)積空間中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交系，若對(duì)任意，有，則必，我們就稱是完全的。如例4.2中的標(biāo)準(zhǔn)直交系是中一個(gè)完全的標(biāo)準(zhǔn)直交系。【定理4.7】（） 設(shè)是空間中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交系，則一下的命題等價(jià)：

18、（1）是完全的；（2）對(duì)任意，成立等式，其中，；（3）對(duì)任意，有，其中，；（4）對(duì)任意兩個(gè)元素有證明：（1）（2）.設(shè)是完全的，對(duì)任意，記，則由定理4.5知，再由定理4.6知，惟一存在，使得且成立因?yàn)椋瑒t，.由于是完全的，于是必有，因此有，命題（2）成立。（2）（3）.現(xiàn)在假設(shè)命題（2）成立，任意取，令，則有即得，于是命題（3）成立。（3）（4）.現(xiàn)在假設(shè)命題（3）成立，任意取，令，則有，.于是可得即命題（4）成立。（4）（1）.現(xiàn)在假設(shè)命題（4）成立，取，若，此時(shí)任取，有，即，故，因此命題（1）成立。證畢。注：若空間存在的標(biāo)準(zhǔn)直交系，則任意，有，映射是由到上的一個(gè)等距同構(gòu)映射，故與的等距同構(gòu)

19、。 以下的定理在判別某標(biāo)準(zhǔn)直交系的完全性時(shí)是經(jīng)常有用的。【定理4.8】 設(shè)是空間中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交系，如果等式在中某稠密子集上成立，則是完全的。證明： ，則是的閉線性子空間。任，令，則由假設(shè)成立，同定理4.7（2）（3）之證明得，故.于是.因是閉集，則，即得.由定義，任，有，且，.因此由定理4.7命題（3）成立推得則是完全的。證畢。例 4.7 中三角函數(shù)系是完全的。 因?yàn)槿≡谥谐砻堋?duì)任意三角多項(xiàng)式不難驗(yàn)證成立等式。 根據(jù)定理4.7，對(duì)任意，其中級(jí)數(shù)依范數(shù)收斂于.但這并不能推知每個(gè)，有由線性代數(shù)及解析幾何的知識(shí)，我們知道直交組比一般的線性無(wú)關(guān)組的性質(zhì)更為優(yōu)越，若某向量可用標(biāo)準(zhǔn)直交組線性表示，其組合

20、系數(shù)有內(nèi)積容易求出，十分方便。以下介紹一個(gè)得到標(biāo)準(zhǔn)直交系的常用的方法。對(duì)內(nèi)積空間中已知的某線性無(wú)關(guān)序列，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)直交化過(guò)程可獲得一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交系。其過(guò)程如下：第一步，把標(biāo)準(zhǔn)化，令第二步，記由定理4.4得知，在上的投影為，由投影定理，記，則.因?yàn)椋€性無(wú)關(guān)，則，此時(shí)令不難看出有第三步，記，也由定理4.4得知，在上的投影為，依據(jù)投影定理，記，則，因?yàn)椋€性無(wú)關(guān)，則，此時(shí)令且易知于是歸納有第步，記，同樣由定理4.4得知，在上的投影為，并根據(jù)投影定理，記，則，又因?yàn)椋€性無(wú)關(guān)，則，此時(shí)令則易知于是以上程序無(wú)限進(jìn)行下去，即得一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交系.由定理4.7后面的注得知具有可列的完全的標(biāo)準(zhǔn)直交系的空間與等距同構(gòu)

21、。因是可分的（即存在有限或可列稠密子集），則也是可分的。相反地，我們有如下定理。【定理4.9】 設(shè)是空間，則（1） 若是可分的，則必有至多可列的完全的標(biāo)準(zhǔn)直交系；（2） 設(shè)是無(wú)限維的可分空間，則的每個(gè)完全的標(biāo)準(zhǔn)直交系都是可列集。證明： 由于存在有限或可列（也稱為至多可列）個(gè)元素，使，且不妨設(shè)為線性無(wú)關(guān)集合。由標(biāo)準(zhǔn)直交化程序，可構(gòu)造出對(duì)于的（等勢(shì)的）標(biāo)準(zhǔn)直交系.當(dāng)為維內(nèi)積空間時(shí)，則有，故有從而有于是必有故是完全的。定理4.9（1）證畢。又X存在可列稠密子集D，任取X一個(gè)完全標(biāo)準(zhǔn)直交系M，則M是一個(gè)無(wú)限集。任取，M，且，都有記 ， 則。由于在中稠密，則存在，有。于是的勢(shì)大于的勢(shì)。因而必是可列集。證

22、畢。 習(xí)題4.31. 在內(nèi)積空間中，試給出一個(gè)使不等式成為嚴(yán)格不等式的例子。2. 設(shè)是內(nèi)積空間中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交系，求證對(duì)任意，有3設(shè)是內(nèi)積空間中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交系，給定，令，則對(duì)任意，求證：（1） 使成立不等式的僅有有限個(gè)；（2） 設(shè)的個(gè)數(shù)為，則有。4在中，試將，標(biāo)準(zhǔn)直交化。5求，使取最小值。6設(shè)是空間中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交系，若，有， 求證：（1） ；（2）級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的。7設(shè)是空間中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交系，給定，若，求證且有。8設(shè)是空間中一個(gè)完全標(biāo)準(zhǔn)直交系，試問(wèn)是否每個(gè)都可用 線性表示。9設(shè)是空間中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交系，任意，求證在中收斂，并且與每個(gè)直交。4.4空間上有界線性泛函 在理論及應(yīng)用中,對(duì)一個(gè)具體的賦范線

23、性空間來(lái)說(shuō),往往要和它的共軛空間結(jié)合一起來(lái)研究。為此,知道有界線性泛函的一般形式,自然是十分重要的。對(duì)于一般賦范線性空間,獲得這種表示是相當(dāng)困難的。但對(duì)于空間,情況卻非常簡(jiǎn)單。4.4.1 定理 【定理4.10】 設(shè)是空間，對(duì)于每個(gè)，惟一存在，使任意，有并且還有證明：若為零泛函，則取中零元素即可。現(xiàn)在設(shè)，令為的零空間。因是連續(xù)線性泛函，則是的閉子空間。因，則必有為的真子空間。由投影定理，必定有且。所以任取，因?yàn)閯t。于是有從而得。此時(shí)令，即有存在性得證。現(xiàn)在證明由惟一確定。如果還有，使于是有，即，所以，惟一性得證。最后證明。當(dāng)，事實(shí)明顯。現(xiàn)在設(shè)，則。首先由不等式有，于是推得；另一方面，取，又有于是

24、推知。因此必成立。定理證畢。注：定理4.10告訴我們產(chǎn)生了一個(gè)由到內(nèi)的映射。現(xiàn)在要說(shuō)明它是一一映射。因?yàn)槿我馊《ㄔ兀瑒t確定上一個(gè)泛函為，由內(nèi)積的性質(zhì)可知是線性的。再由不等式，有，因而是有界泛函，且，故。類似于定理4.10的證明，可推知。于是可得以下的由到上的映射是個(gè)一一映射：，使，。任取復(fù)數(shù)及元素，令，則對(duì)任意，有即有因此稱為復(fù)共軛線性映射，并且有即是一個(gè)等距映射（或稱為保范映射）。故稱映射是到上的復(fù)共軛等距映射。在這種意義下，認(rèn)為元素與對(duì)應(yīng)的泛函是一致的，即。因此，稱為自共軛空間（必須注意是在復(fù)共軛等距同構(gòu)意義下）。4.4.2 空間上的共軛算子我們?cè)诘?章討論過(guò)賦范線性空間上的共軛算子問(wèn)

25、題。現(xiàn)在我們利用空間與共軛空間的一致化，引入所謂空間上的共軛算子概念。這類算子是在研究矩陣及線性微分（或積分）方程的問(wèn)題中提出來(lái)的，有著廣泛的應(yīng)用。【定義4.8】 設(shè)和是兩個(gè)內(nèi)積空間，是一個(gè)有界線性算子。又設(shè)是有界算子，若對(duì)任意的，都有就稱是的共軛算子（或伴隨算子）。 注：在復(fù)空間情況下，第3章關(guān)于賦范線性空間所引進(jìn)的共軛算子與定義4.8所陳述的共軛算子并不完全一致，設(shè)及復(fù)數(shù)，按第3章所述定義，有但依定義4.8的概念，卻有而在實(shí)空間情況下，兩者完全一致。例4.8 設(shè)為復(fù)空間，對(duì)于有界線性算子，則為行列的矩陣，即當(dāng)時(shí)，有此時(shí)，任取，有其中 我們看到共軛算子是的轉(zhuǎn)置共軛矩陣。如果是維（實(shí)或復(fù)）內(nèi)積

26、空間，取定為其一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交基，是維（實(shí)或復(fù)）內(nèi)積空間，取定為其一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)直交基。設(shè)是一個(gè)線性算子（則一定有界）。令則任意，有惟一表示，于是有 不難看出，線性算子由一個(gè)行列的矩陣所決定。類似于空間的情形，可得的共軛算子由的轉(zhuǎn)置共軛矩陣表示。以下定理說(shuō)明了一般情況下共軛算子的存在性。【定理4.11】設(shè)是空間，是內(nèi)積空間，則對(duì)任意有界線性算子，必惟一存在共軛算子。證明：對(duì)任意取定，確定了上線性泛函，其中。因則，且。由定理，惟一存在有我們得到了算子為，且。使對(duì)任意的，有。現(xiàn)在證明是由到的有界線性算子。任意取復(fù)數(shù)及元素，因有 因此。這說(shuō)明是線性的。再由的定義，對(duì)任意的，有，因此有，即為有界線性算子，而的惟

27、一性是明顯的。證畢。再給出一個(gè)實(shí)例。設(shè)是矩形區(qū)域上平方可積函數(shù)，則由核定義了空間上的有界線性算子為是一個(gè)型積分算子。現(xiàn)在求的共軛算子。任取，因?yàn)樵诮o定條件下可交換積分次序，有故有 。即是以為核的型積分算子。由例4.8,我們看到共軛算子是轉(zhuǎn)置共軛矩陣概念的推廣，因此它必然具有許多類似轉(zhuǎn)置共軛矩陣的性質(zhì)。【定理4.12】(共軛算子的性質(zhì)) 設(shè)，是空間，是內(nèi)積空間。，是復(fù)數(shù)，則以下命題成立：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）存在有界線性逆算子的充要條件是也存在有界線性逆算子，有；（7）。證明：（1）任取有因此有。性質(zhì)（1）得證。（2）證明留給讀者證明。（3）任取有，因此有。于是由定義4.

28、8得知。性質(zhì)（3）得證。（4）由定理4.11的證明已知。因此也有，即。于是必。任取，因則得。另一方面，任取，且，有則得即有。綜上所證就得到。性質(zhì)（4）得證。（5）由假設(shè)知。任取，因于是有。性質(zhì)（5）得證。（6）設(shè)存在有界線性逆算子，則，其中 分別是及上單位（恒等）算子。因明顯有，則利用性質(zhì)（5）可得因此知是的逆算子，即成立。反之，設(shè)存在有界線性逆算子，于是由前證有存在有界線性逆算子。性質(zhì)（6）得證。定理證畢。（7）設(shè)，則，于是由性質(zhì)（6），存在有界線性逆算子，而，可見(jiàn)，故。同理可證即所以 而分別是，的余集，因此習(xí)題4,41設(shè)是空間，是內(nèi)積空間，若，有，求證。2設(shè)是空間，求證是自反空間。3證明，

29、其中分別是空間上單位算子和零算子。4 試求作用于上的算子的共軛算子：（1）（2）。5試求作用于上的算子的共軛算子：（1），其中，是實(shí)常數(shù)；（2），其中。6 設(shè)是復(fù)空間，。求證：若，則對(duì)任意，有。7設(shè)是空間，且，求證：。8設(shè)，是空間，。記的零空間與值域分別為，。（1） 任，若，求證；（2） 若（1）中，都是閉線性子空間，若，求證；（3） 求證； 。9 設(shè)是復(fù)空間，是的閉線性子空間，求證：若是是某個(gè)非零有界線性泛函的零空間，則是的一維空間。4.5自共軛算子在4.4節(jié)中我們引進(jìn)了空間上共軛算子的概念，如果，那么。當(dāng)是實(shí)空間且是有窮維時(shí)，算子就可看成實(shí)方陣，而就是的轉(zhuǎn)置。若=，那么矩陣就是對(duì)稱矩陣。通

30、過(guò)線性代數(shù)我們知道，對(duì)稱矩陣有很多好的性質(zhì)。在這里我們將對(duì)稱矩陣的概念一般化，引入一類重要的算子。【定義4.9】 若=，則稱為自共軛算子（或自伴算子）。【定理4.13】 設(shè)是空間，則下面的結(jié)論成立：（1） 若，則為自共軛算子當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)是實(shí)數(shù)。（2） 若且為自共軛算子，則對(duì)任何實(shí)數(shù)是自共軛算子。（3） 若且為自共軛算子，則是自共軛算子的充要條件是。證明：（1）設(shè)對(duì)任何，是實(shí)數(shù)，來(lái)證。由于所以，令，那么。又及于是得及故，對(duì)，可見(jiàn)，即是零算子。于是。反之，若，則那么是實(shí)數(shù)。（2）由性質(zhì)（1）之證，由于是實(shí)數(shù)，所以是自共軛算子。 （3）首先設(shè)，那么由共軛算子的性質(zhì)知即自共軛，反之 注：從定理4.13的

31、性質(zhì)（2）可以看出，自共軛算子組成的一個(gè)實(shí)線性子空間，而且從下面的定理近一步得知，這個(gè)子空間在算子的一致收斂和強(qiáng)收斂下均是閉子空間。【定理4.14】設(shè)是一列自共軛算子，。若對(duì)每個(gè)，有，則是自共軛算子。證明：對(duì)，由及內(nèi)積的連續(xù)性得故 【推論4.3】設(shè)是一列自共軛算子，且，則也是共軛的。證明：由算子的一致收斂可推出算子的強(qiáng)收斂，再由定理4.14可證得此推論成立。【定理4.15】自共軛算子的每個(gè)譜點(diǎn)都是實(shí)數(shù)。證明：設(shè)，來(lái)證，則。對(duì)每個(gè)是實(shí)數(shù)，于是 可見(jiàn)算子是一對(duì)一的，下面證的值域是閉的。設(shè)，于是有。由式得因此是列，而完備，故存在，使。根據(jù)的連續(xù)性，有，即。這樣由投影定理得知，為證，僅需證。若不然，設(shè)

32、，但。因?yàn)椋敲匆嗉础Ｗ⒁獾绞亲怨曹椝阕樱仁阶筮吺菍?shí)數(shù)，而等式右邊是復(fù)數(shù)，矛盾。故，這說(shuō)明是上一對(duì)一滿設(shè)。因此由逆算子定理，即。 從定理4.15可見(jiàn)自共軛算子的譜集是實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)有界閉集，下面的定理4.16進(jìn)一步說(shuō)明譜集的范圍。【定理4.16】 對(duì)于自共軛算子，令則：（1）；（2）且。證明：記，對(duì)于，有，于是，即。另一方面，對(duì)任何可直接驗(yàn)證下面等式成立：于是得設(shè)特別取，則，即故，因此。仿定理4.15之證，得。同理，若可得。這樣下面來(lái)證（類似可證，）。注意到得可取列使得，且。又 故不存在有界線性逆算子，若不然，則由 得出矛盾。 就一般而言，自共軛算子未必有特征值，但當(dāng)算子是緊自共軛時(shí)，特征值

33、一定存在。【定理4.17】設(shè)是緊自共軛算子，那么有特征值。證明：如果是零算子，則結(jié)論顯然。現(xiàn)設(shè)（零算子）。不失一般性，設(shè)，則，由之定義，此時(shí)。取且，使。因是緊算子，那么有收斂子序列。設(shè)，因?yàn)閯t 所以，即。因，則，所以是的特征值。結(jié)合第3章關(guān)于緊算子的理論，如果是自共軛算子，那么的譜集將十分簡(jiǎn)單，即存在一組互不相同的非零實(shí)數(shù)（有窮或可列），每個(gè)是的特征值，使。記，即為算子對(duì)應(yīng)特征值的特征子空間的維數(shù)，為該子空間的規(guī)范正交基，則若可以展成則。習(xí)題4.51在中舉例說(shuō)明線性算子滿足，但不是自共軛算子。 2設(shè)是空間上的自共軛算子，證明：對(duì)任何偶自然數(shù)都有。3設(shè)（二維酉空間），定義算子為求，并證明。4設(shè)是

34、空間，稱為正規(guī)算子，是指。證明：如果 是自共軛算子，則是正規(guī)算子，請(qǐng)舉例說(shuō)明是正規(guī)算子，但卻不是自共軛算子。5設(shè)是空間，證明：為正規(guī)算子的充要條件是存在兩個(gè)自共軛算子，且，使。6設(shè)是空間上一列正規(guī)算子，若，證明：為正規(guī)算子。7若是空間上一個(gè)正規(guī)算子，證明：。4.6 投影算子 正算子和酉算子利用投影定理我們引進(jìn)投影算子的概念，投影算子也是一類非常重要的自共軛算子。【定義4.10】 設(shè)是空間的一個(gè)給定的閉子空間，則對(duì)，由投影定理，存在惟一的垂直分解其中。定義算子 為，并稱為由到上的投影算子。注：根據(jù)投影算子的定義，對(duì)每個(gè)投影算子，惟一對(duì)應(yīng)一個(gè)閉子空間，使，為清楚起見(jiàn)，有時(shí)記為。【定理4.18】（1

35、）投影算子是有界線性算子。（2）當(dāng)時(shí)，。（3）。（4）即是冪等算子。證明：對(duì)任意及任意元素，有由于，都是線性子空間，那么故。因此即是線性算子。另一方面，由，得，即，說(shuō)明是有界的。因，取，由的定義有，于是等價(jià)于因此，得。定理4.18之性質(zhì)（3），性質(zhì)（4）由的定義顯然成立。【定理4.19】為投影算子的充要條件是：（1）是自共軛算子；（2）是冪等，即。證明：設(shè)是投影算子，則條件（2）自然成立，僅需證明是自共軛算子，對(duì)任意，記于是故，因此。反之，設(shè)條件（1），設(shè)條件（2）成立，來(lái)證明是某一閉子空間上的投影算子。記（算子的值域），顯然是的子空間。我們來(lái)證是閉的。設(shè)，取使，根據(jù)條件（2），再由的連續(xù)性，

36、得。故。對(duì)，來(lái)證。事實(shí)上由條件（1）和條件（2），對(duì)任何，有可見(jiàn)，特別且，即是的投影算子。讀者利用定理4.19很容易證明投影算子的如下性質(zhì)：（1）設(shè)是兩個(gè)投影算子，則為投影算子的充要條件是，此時(shí)是的投影算子。（2）設(shè)是兩個(gè)投影算子，則為投影算子的充要條件是，此時(shí)是的投影算子。現(xiàn)在引進(jìn)另一類特殊的自共軛算子正算子。【定義4.11】設(shè)是空間，是上自共軛算子，若對(duì)，有。則稱為正算子。記為。注：（1）通過(guò)正算子的概念，我們可對(duì)自共軛算子類引進(jìn)一種序，設(shè)，是自共軛算子，若，則記（注意 ，不必是正算子）。（2）對(duì)上的任何有界線性算子，及都是正算子，這是因?yàn)椋?）若是正算子，是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，則也是正算子。（4）若是正算子，