1、泰勒展開式在高考題中的應(yīng)用泰勒展開式在高考題中的應(yīng)用高中數(shù)學(xué)中函數(shù)導(dǎo)數(shù)部分占據(jù)了重要的位置，高考試題中函數(shù)導(dǎo)數(shù)題往往也是以難題、壓軸題形式出現(xiàn).如何應(yīng)對(duì)函數(shù)導(dǎo)數(shù)難題？高等數(shù)學(xué)中有一些知識(shí)、方法與中學(xué)數(shù)學(xué)相通本文針對(duì)一類函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題借助高等數(shù)學(xué)中的泰勒展開式解決該類初等數(shù)學(xué)問題.如果函數(shù)f(x)在定義域I上有定義，且有n1階導(dǎo)數(shù)存在，x,x0I,則f(X)f(Xo)f(Xo)1!(xXo)f(x0)2!(xxo)2f(xo)nxxo)3f(n1)()介于x和xo間.上式即為函數(shù) f (x)在xo點(diǎn)處的泰其中Rn1fL2(xxo)。1,其中(n1)!勒展開式.1nn 1 x(1) Rn 1.n23

2、xx令f(x)ln(x1),xoo,有l(wèi)n(x1)x23x2上式可以進(jìn)行放縮，比較ln(x1)和x、x一的大小，2可以得到不等式：xyln(x1)x,(x下面證明該不等式.x2證明：設(shè)h(x)xln(x1),h(x)o,)單調(diào)遞減，h(x)h(。)o,即有x1設(shè)f(x)ln(x1)x,f(x)1x1xo).(*)1x1xo,(xo),貝Uh(x)在x1x1x2一ln(x1),當(dāng)xo時(shí)取等號(hào).2x-o,(xo),則f(x)在o,)單調(diào)遞減，f(x)f(o)o,即有l(wèi)n(x1)x,當(dāng)xo時(shí)取等號(hào)綜上所述，有不等式:ln(x1)x,(xo),當(dāng)xo時(shí)取等號(hào)如圖所示:例題展示考題1(2015年福建卷理

3、科20題)(2)證明：當(dāng)k 1時(shí)，存在x0而不等式xln(x 1) x在x 0時(shí)恒成立.已知函數(shù)f(x)ln(1x),g(x)kx,(kR)(1)證明：當(dāng)x0時(shí)，f(x)x;0,使得對(duì)任意的x(O,xo)，恒有f(x)g(x);(3)確定k的所有可能取值，使得存在t0,對(duì)任意的x(0,t),恒有f(x)g(x)x2.解析：(1)在對(duì)(*)式的證明過程中已經(jīng)體現(xiàn).匕1人1k(x.)(2)設(shè)h(x)ln(1x)kx,h(x)kk-.x1x1當(dāng)k0時(shí)，h(x)0,則h(x)在(0,)單調(diào)遞增，則有h(x)h(0)0,即f(x)g(x)，此時(shí)x0可以取任意正實(shí)數(shù).當(dāng)0k1時(shí)，令h(x)0,解得有1 -

4、1x1,Q0k1,-10kk-1.取x01,則有對(duì)任意的x(0,x0),有kf(x)g(x).分析：第(2)問的結(jié)論可以從圖2中解釋.(3)|ln(1x)kxx2可化為.22kxxln(1x)kxx，此不等式要求在某個(gè)區(qū)間(0,t)成立即可，2kxx2x二因此可以得到2,其中x0,kxx2xk 化簡，得k,即有1,因此有k1.1考題2(2015年山東卷理科21題)設(shè)函數(shù)f(x)ln(x1)a(x2x),其中aR.(1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由;(2)若x0,f(x)0成立，求a的取值范圍第(1)問利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，需要對(duì)a進(jìn)行討論，這里不再贅述2(2)由f(x)0,得a(

5、xx)ln(x1),利用不等式ln(x 1) x,有a(x2x)ln( x 1) x,對(duì)上式進(jìn)行適當(dāng)放縮，即利用a(x2 x)x求a的取值范圍1在(0,1)上單調(diào)遞增，有x 11、，在(1,)上單調(diào)遞增，有x 1,一x1，一當(dāng)x(0,1)時(shí)，a-，由于h(x)xxx1ah(0)1;當(dāng)x1時(shí)，有a01,此時(shí)aR;一，x1當(dāng)x(1,)時(shí)，a,h(x)xxx1.1calim0.xx1綜上所述，x0,要使f(x)0恒成立，a的取值范圍.是0,1考題1的第(3)問，考題2的第(2)問都是恒成立問題，求參數(shù)的取值范圍.本文這兩問的做法，都是先對(duì)不等式適當(dāng)放縮后進(jìn)行求解，這在平時(shí)求解參數(shù)范圍時(shí)是不常見的.之

6、所以這兩個(gè)題能夠利用上述想法進(jìn)行求解，是因?yàn)樘├照归_式的本質(zhì)上是將一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)f(x)近似表示為一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，是一種函數(shù)逼近的思想.該多項(xiàng)式函數(shù)與函數(shù)f(x)之間2x的誤差是非常小的.本文出現(xiàn)的不等式(*)式中的x與x分別是泰勒展開式的第一項(xiàng)2和前兩項(xiàng).這兩個(gè)函數(shù)與函數(shù)ylnx1之間的相差是比較多的，但是在原點(diǎn)附近的較小區(qū)間內(nèi)這兩個(gè)函數(shù)與函數(shù)ylnx1誤差是很小的.因此本文是利用了這一點(diǎn)，對(duì)該類問2X題進(jìn)行求解.通過放縮將lnx1轉(zhuǎn)化成x或者x這種多項(xiàng)式函數(shù)形式，利用多項(xiàng)式函2數(shù)求參數(shù)范圍是相對(duì)簡單的.應(yīng)用舉例1(2014年陜西卷理科21題)設(shè)函數(shù)f(x)ln(1x),g(x)xf(x),

7、x0.其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)令g1(x)g(x),gn1(x)g(gn(x),nN,求gn(x)的表達(dá)式;(2)若f(x)ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；設(shè)nN，比較g(1)g(2).g(n)與nf(n)的大小關(guān)系，并加以證明ax分析：第(2)問需ln(x1),x0恒成立，x1ax應(yīng)用不等式ln(x1)x,有xln(x1)-a,x0,x1對(duì)上式進(jìn)行放縮，利用x-a,x0求a的取值范圍.x1當(dāng)x0時(shí)，上式化簡為0a0,此日aR；當(dāng)x0時(shí)，上式化簡為14一，即ax1,則有a1;x1綜上所述，有a的取值范圍是(,1.2(2013年全國大綱卷理科22題)已知函數(shù)f(x)ln(1x)*1M1x(1)若x0時(shí)f(x)0,求的最小值；(2)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an分析：第(1)問需要f(x)1 1 1I 2 3 ln(1 x)1.一，證明：a2n nx(1 x)0 在 x1 xan ln2.4n0時(shí)恒成立，x2利用不等式 x 一 ln(x22x1),有 x ln(x 1)x(1 x)、六寸生下,該不等式在 x1 x0時(shí)取等x(1 X)-,x 0 求1 x的最小值.X