1、第九章多元函數微分法及其應用【教學目標與要求】1、理解多元函數的概念和二元函數的幾何意義。2、了解二元函數的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上的連續函數的性質。3、 理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件， 了解全微分形式的不變性。4、理解方向導數與梯度的概念并掌握其計算方法。5、掌握多元復合函數偏導數的求法。6、會求隱函數（包括由方程組確定的隱函數）的偏導數。7、了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。8了解二元函數的二階泰勒公式。9、理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極 值存在

2、的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格郎日乘數法求條件極值，會求簡多元函數的最大 值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。【教學重點】1、二元函數的極限與連續性；2、函數的偏導數和全微分；3、方向導數與梯度的概念及其計算；4、多元復合函數偏導數；5、隱函數的偏導數；多元函數極值和條件極值的求法；6、曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線；【教學難點】1、二元函數的極限與連續性的概念；2、全微分形式的不變性；3、復合函數偏導數的求法；4、二元函數的二階泰勒公式；5、隱函數（包括由方程組確定的隱函數）的偏導數；6、拉格郎日乘數法，多元函數的最大值和最小值。【教學課時分配】（18學時）第1次課&#

3、167;1第2次課§ 2第3次課§ 3第4次課§ 4第5次課§ 5第6次課§ 6第7次課§ 7第8次課§ 8第9次課習題課【參考書】1 同濟大學數學系高等數學（下），第五版 高等教育出版社2 同濟大學數學系高等數學學習輔導與習題選解，第六版高等教育出版社3 同濟大學數學系高等數學習題全解指南（下），第六版高等教育出版社§9 1多元函數的基本概念一、平面點集n維空間1 區域由平面解析幾何知道當在平面上引入了一個直角坐標系后平面上的點P與有序二元實數組(X y)之間就建立了一一對應于是 我們常把有序實數組(X y)與平

4、面上的點P視作是等同的 這種建立了坐標系的平面稱為坐標平面二元的序實數組(X y)的全體即R2 R R (x y)| X y R就表示坐標平面坐標平面上具有某種性質P的點的集合稱為平面點集記作E (xy)| (X y)具有性質 P例如平面上以原點為中心、r為半徑的圓內所有點的集合是C (xy)| X2 y2 r2如果我們以點P表示(X y) 以IoPl表示點P到原點0的距離那么集合C可表成C P| | OPI r鄰域設Po(xoyo)是XOy平面上的一個點是某一正數與點Fb(XOyo)距離小于的點P(X y)的全體稱為點Po的鄰域 記為U(Pb即U(Po, ) PPPoI 或U(B) (,y)

5、(X Xo)2 (y yo)2鄰域的幾何意義U (Po)表示XOy平面上以點Po(xo yo)為中心、>o為半徑的圓的內部的點P (X y)的全體點Po的去心鄰域 記作U(Pl ) 即U(P), ) Po PoP注如果不需要強調鄰域的半徑則用U (Po)表示點Po的某個鄰域點Po的去心鄰域記作U (Po)點與點集之間的關系任意一點P R2與任意一個點集 E R2之間必有以下三種關系中的一種(1) 內點 如果存在點P的某一鄰域U(P) 使得U(P) E 則稱P為E的內點(2) 外點 如果存在點P的某個鄰域U(P) 使得U(P) E則稱P為E的外點(3) 邊界點如果點P的任一鄰域內既有屬于E

6、的點也有不屬于E的點 則稱P點為E的邊點E的邊界點的全體稱為E的邊界 記作 EE的內點必屬于E E的外點必定不屬于 E 而E的邊界點可能屬于 E也可能不屬于E聚點如果對于任意給定的o 點P的去心鄰域U(P,)內總有E中的點 則稱P是E的聚點由聚點的定義可知點集E的聚點P本身可以屬于E也可能不屬于E例如設平面點集E (xy)1X2 y2 2滿足1 X2 y2 2的一切點(X y)都是E的內點 滿足x2 y2 1的一切點(X y)都是E的邊界 點 它們都不屬于E 滿足X2 y2 2的一切點(X y)也是E的邊界點它們都屬于E 點集E以及它的界邊E上的一切點都是 E的聚點開集如果點集E的點都是內點則

7、稱E為開集閉集如果點集的余集EC為開集則稱E為閉集開集的例子 E (xy)1<X2 y2<2閉集的例子 E (xy)|1 X2 y2 2集合(xy)|1x2 y2 2既非開集也非閉集連通性 如果點集E內任何兩點都可用折線連結起來且該折線上的點都屬于E 則稱E為連通集區域(或開區域) 閉區域y)x2y2有界集例如 E (xy)|1x2y22例如E連通的開集稱為區域或開區域開區域連同它的邊界一起所構成的點集稱為閉區域2對于平面點集E,O是坐標原點一個集合如果不是有界集集合(x y)x2y2X y1是無界閉區域(x其中無界集 例如集合(x y)l2 n維空間設n為取定的一個自然數 構成的

8、集合即RnRRE如果存在某一正數r 使得U(O r)則稱E為有界點集就稱這集合為無界集2是有界閉區域 集合(x我們用Rn表示n元有序數組(xR (xX2y)l X yX2Xn)l1是無界開區域Xn)的全體所XiRiI 2nRn中的元素(X1X2Xn)當所有的X (i 1或O在解析幾何中立對應2通過直角坐標因而Rn中的元素X (x量Xi稱為點X的第i個坐標或n維向量坐標原點或n維零向量Xn)有時也用單個字母X來表示n)都為零時稱這樣的元素為R2(或R3)中的元素分別與平面(或空間)中的點或向量建Rn中的一個點或一個n維向Rn中的零元0稱為Rn中的X2Xn)也稱為X的第i個分量 特別地X2(X1R

9、n中的零元記為0多元函數概念例1圓柱體的體積 V和它的底半徑r、高h之間具有關系Vr2h這里 當r、h在集合(r h) | r>0h>0內取定一對值(r h)時V對應的值就隨之確定例2 一定量的理想氣體的壓強p、體積V和絕對溫度T之間具有關系RTP V其中R為常數這里值就隨之確定當V、T在集合(V T) | V >0T>0內取定一對值(V T)時 P的對應定義1設D是R2的一個非空子集稱映射f D R為定義在D上的二元函數通常記為Z f(x其中點集D稱為該函數的定義域y) (X y) D (或 Z f(P) P D)X y稱為自變量Z稱為因變量上述定義中與自變量x、y的

10、一對值(Xy)相對應的因變量Z的值 也稱為f在點(X y)處的函數值 記作f(x y) 即Z f(x y)值域 f(D) z Z f(x y) (X y) D函數的其它符號Z Z(X y) Z g(xy)等類似地可定義三元函數U f(x y Z) (XyZ)D以及三元以上的函數一般地把定義1中的平面點集D換成n維空間Rn內的點集D 映射f D R就稱為定義在D上的n元函數通常記為Uf(X1X2Xn)(X1X2Xn)D或簡記為Uf(x)X (X1X2Xn)D也可記為Uf(P)P(X1X2Xn)D關于函數定義域的約定在一般地討論用算式表達的多元函數 Uf(x)時就以使這個算式有意義的變元X的值所組

11、成的點集為這個多元函數的自然定義域因而對這類函數它的定義域不再特別標出 例如函數Z ln(xy)的定義域為(xy)| X y>0(無界開區域)函數Zarcsin(x2y2)的定義域為(xy)| x2y21(有界閉區域)二元函數的圖形 點集(x y z)|z f(x y) (X y) D稱為二元函數Z f(xy)的圖形二元函數的圖形是一張曲面三多元函數的極限與一元函數的極限概念類似 無限接近于一個確定的常數A定義2 :設二元函數f(P)如果在P(X y)則稱A是函數f(xP0(x0yo)的過程中對應的函數值f(xy)當(X y) (xoyo)時的極限f(xy)的定義域為 DPo(xoyo)

12、是D的聚點如果存在常數y)A對于任意給定的正數總存在正數使得當P(x, y) D U (Po,)時 都有成立If(P) A| |f(x y) A|則稱常數A為函數f(xy)當(Xy)(xgy0)時的極限記為f(x,y)或 f(x y) A (X y) (x0 y0)也記作Iim f(P) A或 f(P) A(P P0)P P)lim(x,y) (X0,y0)上述定義的極限也稱為二重極限例 4.設 f(x, y) (x2 y2)sin 丁 2 求證 Iim f(x,y) 0 X y(,y) (0,0)證 因為f(,y) o l(2 y2)sin1y? 0| 2 y2lsin1yd 2 y2可見

13、>0 取則當 0 J(X 0)2 (y 0)2即 P(Xly) D U(Ol )時 總有l f( y) 0|因此Iim f(, y) 0(,y) (0,0)必須注意(1) 二重極限存在 是指P以任何方式趨于P0時函數都無限接近于A(2) 如果當P以兩種不同方式趨于P0時函數趨于不同的值則函數的極限不存在討論2y 2 2 y2 0函數f(x,y) X y在點(00)有無極限0 2 y2 0提示 當點P(X y)沿X軸趨于點(00)時Iim f(, y) Iim f(,0) Iim 0 0(, y) (0,0)X 0X 0當點P(X y)沿y軸趨于點(00)時Iim f (, y) Iim

14、f(0, y) Iim 0 0(,y) (0,0)y 0y 0當點P (Xy)沿直線y k有1.Xy 1k2kIim 22 Iim22(,y) (0,0) X2 Y X 02 k221 k2y k因此 函數f(y)在(00)處無極限極限概念的推廣多元函數的極限多元函數的極限運算法則與一元函數的情況類似例5求Iim沁Y)(,y) (0,2) XIim(,y) (0,2) XIimy IimIim y 12 2(,y) (Q2) Xy(,y) (0,2) Xy (,y) (0,2)四多元函數的連續性定義3設二元函數f(P) f (Xy)的定義域為DR)(Xoyo)為D的聚點 且PoD 如果Iim

15、f (x,y) f(xo,yo)(,y) (o,yo)則稱函數f(X y)在點Po(xoyo)連續如果函數f (xy)在D的每一點都連續那么就稱函數f (X y)在D上連續 或者稱f (Xy)是D上的連續函數二元函數的連續性概念可相應地推廣到n元函數f(P)上去類似的討論可知一元基本初等函數看成二元函數或二元以上的多元函數時自的定義域內都是連續的例6設f(x,y) Sin X 證明f(xy)是R2上的連續函數證設Po(xoyo)R20由于Sin X在xo處連續故0 當 |x xo|時有|sin XSin xo|以上述作Po的鄰域U(Po)則當P(X y) U(Po)時顯然| f(x y)f(x

16、oyo)l|sin XSin xo|即f(xy) Sin X在點Po(xoyo)連續由Po的任意性知Sin X作為Xy的二元函數在R2上連續它們在各定義4設函數f(xy)的定義域為DPo(xoyo)是 D的聚點 如果函數f(x y)在點Po(xoyo)不連續則稱Po(xoyo)為函數f(x y)的間斷點例如Xy函數f (x, y)X2 y2 oX2 y2 o其定義域DR2O(o o)是D的聚點 f(x y)當(X y) (oo)時的極限不存在所以點O(o o)是該函數的一個間斷點1 又如 函數Z Sin p 2其定義域為 D (xy)| x2 y21 圓周C (xX y 1y)| x2 y21

17、上的點都是 D的聚點 而f(xy)在C上沒有定義當然f(xy)在C上各點都不連續所以圓周C上各點都是該函數的間斷點注間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點連續函數的商在分母不為零處仍可以證明多元連續函數的和、差、積仍為連續函數連續多元連續函數的復合函數也是連續函數多元初等函數與一元初等函數類似多元初等函數是指可用一個式子所表示的多元函數這個式子是由常數及具有不同自變量的一元基本初等函數經過有限次的四則運算和復合運算而得到的例如XX 2y Sin(X y)ex?" “都是多元初等函數1y2一切多元初等函數在其定義區域內是連續的 或閉區域所謂定義區域是指包含在定義域內的區域例7求 Iim

18、y(,y) (1,2)Xy般地 求Iim f(P)時 如果f(P)是初等函數PPo且Po是f(P)的定義域的內點則 f(P)在點Po處連續于是Iim f(P) f(F¾)例8求Iim亠(,y) (o,o) Xy五、多元連續函數的性質性質1 (有界性與最大值最小值定理)在有界閉區域 D上的多元連續函數必定在D上有界且能取得它的最大值和最小值性質1就是說 若f(P)在有界閉區域 D上連續則必定存在常數M 0使得對一切P D 有If(P)I M 且存在P1、P2 D 使得f(P1) maxf(P) P Df(P2) minf(P) P D性質2 (介值定理)在有界閉區域 D上的多元連續函數

19、必取得介于最大值和最小值之間的任 何值小結1. 區域的概念；2. 多元函數的定義；3. 多元函數的極限及其求解；4. 多元函數的連續性。教學方式及教學過程中應注意的問題在教學過程中要注意區域的定義和多元函數的定義, 的重點，要結合實例，反復講解。師生活動設計課后習題：7，8， 9講課提綱、板書設計作業 P63: 5( 2)( 4)( 6)，6( 2)( 3)( 5)( 6)多元函數的極限和連續性的理解是本節§ 92 偏導數、偏導數的定義及其計算法對于二元函數Z f(x y) 如果只有自變量X變化 而自變量y固定這時它就是X的元函數 這函數對X的導數就稱為二元函數Z f(xy)對于X的

20、偏導數定義 設函數Z f(x y)在點(xoyo)的某一鄰域內有定義當y固定在yo而X在xo處有增量X時相應地函數有增量f(xoXyo)f(xo yo)如果極限存在則稱此極限為函數 Zf(xlim f(xo,yo) f (XO) yo)X oy)在點(xoXyo)處對X的偏導數 記作例如類似地函數X Xo Xy yoX Xoy yoZX X xo y yo或 fx(xo,yo)x,yo) f (xo,yo)fx(Xo,yO) lXmofxoXf(x y)在點(Xo yo)處對y的偏導數定義為Iim f(o,yoy) f(×o,yo)y o記作xoyoxoyoy X Xo y yo或

21、fy(xoyo)偏導函數如果函數Z f(xy)在區域D內每一點(X y)處對X的偏導數都存在那么這個偏導數就是 x、y的函數它就稱為函數Z f(xy)對自變量X的偏導函數 記作XZX或 fx(X)Y)偏導函數的定義式fx(x,y)lim f( ,y) f(,y)X oX類似地可定義函數Z f(x y)對y的偏導函數記為-Zy或 fy(X, y)y偏導函數的定義式fy(x,y) Iim f(,yy) f(,y)y oy討論下列求偏導數的方法是否正確f(o, yo)f(, y) X Xy yofy(X0,y0) fy(X,y)x Xoy yof(x0,y0) ddXf(X,y) x0fy(x0,y

22、0)舟 f(x0,y)y yo偏導數的概念還可推廣到二元以上的函數例如三元函數U f(x yZ)在點(X y Z)處對X的偏導數定義為f( ,y,z) f (,y,z)f(, y,z)IimX 0X其中(X y Z)是函數U f(x yZ)的定義域的內點它們的求法也仍舊是一元函數的微分法問題例1求Z X2 3xy y2在點(12)處的偏導數例2求Z x2sin 2y的偏導數例 3 設 Z Xy(X 0,x 1)求證 X-1-Z 2zy X InXy例4求rX2 y2 Z2的偏導數例5已知理想氣體的狀態方程為PV=RT(R為常數)求證因為RTVRTPPVR衛VVTRT2所以弋RTRT IPV說明

23、的問題偏導數的記號是一個整體記號不能看作分子分母之商二元函數Z f(xf(0y0)f(xfy(0y0)f(0偏導數與連續性y)在點(0y0)的偏導數的幾何意義y0)是截線Z f(xy)y是截線Zf(0對于多元函數來說y0)在點M0處切線TX對X軸的斜率y)在點M0處切線Ty對y軸的斜率即使各偏導數在某點都存在也不能保證函數在該點連續例如f(,y)Xy-22X y0X2X2y2在點(00)有f(00)提示fy(00)但函數在點(00)并不連續f(,0) 0f(0, y) 0f(0,0) ddXf(,0) 0 fy(o,o) djyf(°-y) 0當點P(X y)沿X軸趨于點(00)時有

24、Iim f(, y) Iimf(X,0) Iim 0 0(, y) (0,0)X 0X 0當點P(X y)沿直線y k趨于點(00)時有.Xyrk2kIim 22 Iim 2廠22(,y) (00) X y X 0 k X 1 ky k因此Iim f (,y)不存在 故函數f(x y)在(00)處不連續(,y) (0,0)類似地可定義函數Z f( y)對y的偏導函數記為Z yfZy y或 fy(X, y)偏導函數的定義式fy(X, y)Iim f (X，yy)f(, y)y 0y二高階偏導數設函數Z f(y)在區域D內具有偏導數X f(, y)y fy(X, y)則稱它們那么在D內f(y)、f

25、y(y)都是X y的函數如果這兩個函數的偏導數也存在是函數Z f(y)的二偏導數按照對變量求導次序的為同有下列四個二階偏導數如果函數Z f( y)在區域D內的偏導數f(y)、fy(xy)也具有偏導數則它們的偏導數稱為函數Z f(y)的二階偏導數按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數2zfy(x, y)2z2 f××(X, y)Xy X2zfyx(X, y)(丄)y2fyy(X,y)X2z"x2同樣可得三階、JZXfy(x,y)2ZX y四階、以及X(JZ yfy(X, y)稱為混合偏導數X(；)2Zy X2Z2yn階偏導數二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導

26、數例6設Z x3y23xy3 Xy1求X23ZX32ZX y由例6觀察到的問題2Zy X2ZX y定理如果函數Z f(xy)的兩個二階混合偏導數2-Z在區域D內連續y X X y2z那么在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等類似地可定義二元以上函數的高階偏導數例7驗證函數Z In X2 y2滿足方程證因為 Z In X2 y2 2n(x2 y2)所以ZXZyXX2 y2yX2y22Z(x2 y2) X2xy2 X2X2(x2 y2)2(x2 y2)2!z (x2 y2) y2y x2 y2 y2(x2 y2)2(x2 y2)2因此2 2X yT2272(X y )例&證明函數72(X y

27、1U丄滿足方程2uX22u2uZ2提示X2 y2 Z2UJrX2r2 X2U1 3xX2r3r42U1 3y2y2r3 r5U2U2y22U (Z2(2UX、其中r證同理XXX21r3丄X2因此一3X3x2T52UZ2丄r33z23x2)Tr)3( X2 r5y2 z2)x-(r3) X r6r31352 0r5x3r2jlXr6小結1偏導數的概念及有關結論：定義，記號，幾何意義，偏導數的存在與連續性；2偏導數的計算方法：求導的先后順序。教學方式及教學過程中應注意的問題在教學過程中要注意偏導數的定義以及偏導數的求法，特別是求導先后順序問題是本節的重點，要結合實例，反復講解。師生活動設計X1.設

28、Z f (U),方程U (U) yP(t)dt確定U是X, y的函數，其中 f(u), (U)可微,P(t), (U)連續，且 (U)1,求 p(y)-z P(X)-Z。X y2課后習題：5，6講課提綱、板書設計作業 P69: 1 (4) (6) (8) ,4, 6 (3) , 8§ 9 3全微分及其應用、全微分的定義根據一元函數微分學中增量與微分的關系有偏增量與偏微分定義如果函數Z f(xy)在點(Xy)的全增量Z f(x X yy) f( y)可表示為Z A x B y o( )(, ( x)2 ( y)2)其中A、B不依賴于x、 y而僅與x、y有關則稱函數Z f(xy)在點(X

29、y)可微分f(xX y) f(x y)fx(xy) Xf(xX y)f(xy)為函數對X的偏增量fx(Xy)X為函數對X的偏微分f(xy y) f(x y)fy(y) yf(xy y)f(xy)為函數)對y的偏增量f y(xy)y為函數對y的偏微分全增量Z f(x X y y)f(x y)計算全增量比較復雜我們希望用 X、y的線性函數來近似代替之記作dz 即稱A X B y為函數Z f(x y)在點(X y)的全微分dZ A x B y如果函數在區域D內各點處都可微分那么稱這函數在D內可微分可微與連續可微必連續但偏導數存在不一定連續這是因為如果Z f(xy)在點(Xy)可微則Z f(xX yy

30、) f(x y) a XB y o()于是Iim Z OO從而Iim(X, y) (0,0)f (X X, yy) limof(x, y)Z f (X, y)因此函數Z f(xy)在點(Xy)處連續定理1(必要條件)如果函數Z f(x y)在點(X y)可微分則函數在該點的偏導數-Z、一Z必定存在且函X y數Z f(xy)在點(Xy)的全微分為dz x yX y證設函數Z f(x y)在點P(X y)可微分 于是 對于點P的某個鄰域內的任意一點P(XXyy)有ZAXByo() 特別當 y0時有f (XXy) f(xy) A X o(x|)上式兩邊各除以X再令X 0而取極限就得IimX 0f(x

31、,y)Xf(x,y) A從而偏導數X存在且Z XA同理可證偏導數-存在y且Z B y所以dzZXZyXy簡要證明設函數Zf(xy)在點(Xy)可微分于是有ZAXB y o()特別當 y O時有f (XXy) f(xy) A X o(|X)上式兩邊各除以X 再令X 0而取極限就得Iimf (X ,y)f(x,y)Iim AO(I Xl) AX 0XX 0X從而Z存在且-ZA同理Z存在且Z B所以dZ Z X Z yXXyyXy偏導數、-Z存在是可微分的必要條件但不是充分條件例如函數f (x, y)斗2 y2vx2 y2OX2 y2O) O但函數在(OO)不可微分窮小這是因為當(Xy)沿直線y X

32、趨于(OO在點(OO)處雖然有f x(OO) O及 f y(OO即 Zfx(OO) X fy(OO)y不是較高階的無Z f(O,O)Xfy(O,O) yO)時X yX X 1 O()2 ( y)2 ( )2 ( )22定理2(充分條件)如果函數Z f(x y)的偏導數 、-Z在點(Xy)連續則函數在該點可微分X y定理1和定理2的結論可推廣到三元及三元以上函數按著習慣x、y分別記作dx、dy并分別稱為自變量的微分貝U函數Z f(x y)的全微分可寫作dz -ZdX -Zdy X y二元函數的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數的微分符合疊加原理疊加原理也適用于二元以上的函數例如函數U

33、f (X y Z)的全微分為du -UdX -Udy -UdZ XyZ例1計算函數Z X2y y2的全微分例2計算函數Z eXy在點(2 1)處的全微分例3計算函數U X Sin * eyZ的全微分小結1. 全微分的定義；2. 可微、可導、連續性之間的關系。教學方式及教學過程中應注意的問題在教學過程中要注意全微分的定義，可微、可導、連續性之間的關系是本節的重點，要結合實例，反復講解。師生活動設計1.函數Z f(X, y)在(xO,y°)可微的充分條件是()(A) f(x,y)在(xO,y°)連續；(B) fx(, y), fy(, y)在(0在0()o, yo)的某領域內存

34、在;(C) Z f(, y) X fy(, y) y 當.X)y)20時是無窮小量;(D) Z f(, y) X fy(, y) y" 2 2J( ) ( y)2課后習題：5講課提綱、板書設計作業 P75: 1( 1)( 3)，3當.()2 ( y)2時是無窮小量§S 9 4多兀復合函數的求導法則設Zf(UV)而U(t)V(t) 如何求dzdt設Zf(UV)而U(Xy) V(X y) 如何求和Xy1復合函數的中間變量均為一元函數的情形定理1如果函數U(t)及 V(t)都在點t可導函數Z f(uV)在對應點(U V)具有連續偏導數則復合函數dz Z du dt U dtZ f

35、 (t)Z dvV dt(t)在點t可導且有簡要證明1 因為Z f(uV)具有連續的偏導數所以它是可微的即有ZdU U又因為U 及V%tdtdzdu-ZdVV(t)都可導因而可微dv Vdtdt即有代入上式得dzZdUldtU dt丄需dt (丄譽VdtUdt-ZdV)dtV dt從而dzdt 簡要證明Z duU dtZ dvV dt取得增量t時U、V及Z相應地也取得增量U、V及 Z由 Z f(U2當tV）、IU(t)及 V（t）的可微性有ZZUU -V v 。（）-o( t)卒tVdt0(t) 0()(UdU dtZ dV)V dt7t (-UV)O(t) o()ZZdUZ dv(ZU晉0(

36、)tUdtV dtt令t 0 上式兩邊取極限即得dzZdUZ dvdtUdtV dt注Iim o(t o t）Iim。（）、（t 0U)2 (tV) 2 0(dU)2dt3o推廣設Zf (UVW)U(t)V(t) W(t) 則Z f(t)(t)對t的導數為dzZ dUZ dVZ dwdtU dtV dtW dt上述dz稱為全導數dt2復合函數的中間變量均為多元函數的情形定理2如果函數U(Xy)V(Xy）都在點(Xy）具有對X及y的偏導數函數Z f（UV）在對應點（UV）具有連續偏導數則復合函數Zf (X y)(X y)在點(X y)的兩個偏導數存在且有ZZUZVZZUZ VXUXVXy UyV

37、 y推廣設Z f(U VW )U(Xy)V(Xy)W(X y)貝 UZZUZ VZWZZ UZVZWXUXVXWXyU yVy Wy討論(1)設 Z f(U V) U(Xy)V(y)則-ZZXy提示ZZUZZ UZ dvXUXyU yVdy(2)設 Zf(u X y)且U (X y)則Z 一ZXyZf UfZfUf提示XU XXy Uy y這里 Z與一f是不同的Z是把復合函數Z f (Xy) XXXX數 是把f(u X y)中的U及y看作不變而 對X的偏導數Xy中的y看作不變而對X的偏導-Z與丄也朋類似的區別y y(X3.復合函數的中間變量既有一元函數定理3如果函數U函數Z f(uV)在對應點

38、(Uy)的兩個偏導數存在eus in Vf (X, y, Z)UVSin tf(Xf(X又有多元函數的情形(X y)在點(X y)具有對X及對y的偏導數V)具有連續偏導數則復合函數Z函數V(y)在點y可f (X y) (y)在點且有Z dvV dyXyex2y 求 禾口 -ZX yy2Z2而 Z x2sin yetV cos t求全導數dzXyZ)f具有二階連續偏導數y)的所有二階偏導數連續(1)()2X由直角坐標與極坐標間的關系式得U f(X y)f( CoS Sin )F(其中Xcos ySin y2應用復合函數求導法則2wW及X X Z把下列表達式轉換成極坐標系中的形式)y arcta

39、n 丄XUUUUXUyUXXX2UUUUyUXUyyy2得cosSin兩式平方后相加得U ysinU cos再求二階偏導數同理可得兩式相加巳22uX22UX2全微分形式不變性設 Z f(u(-ucos(-ucos22cos22去丿)2(”U Sin)Sin2u Sin cosU 2sin cos U sin22u Sin 222-Sin2U 2sin2uCoS22u 12122u Sin cos2u CoS22V)具有連續偏導數如果Z f(uV)具有連續偏導數U COS21_2u2 2U)則有全微分dz -ZdU dvUV而 U (X y) V(Xy)也具有連續偏導數則dz dx X-Zdyy

40、Z（丿dx 丄dy）二dx dy） UX y V X y-ZdU dv UV由此可見無論Z是自變量U、V的函數或中間變量 U、V的函數 它的全微分形式是一樣的這個性質叫做全微分形式不變性例6設Z eusin V U Xy VXy利用全微分形式不變性求全微分解 dz -ZdU -ZdVeusin VdUeucos VdVUVeUsi n V(y dx Xdy ) eUcos V(dx dy)(ye USin V e UCoS V)dx (Xe US in V e UCoS V )dyexy y Sin(X y) cos(x y)dxexy x Sin(X y) CoS(K y)dy小結1復合函數

41、求導的鏈式法則“分段用乘，分叉用加，單路全導，叉路偏導”；2.全微分形式不變性。教學方式及教學過程中應注意的問題在教學過程中要注意復合函數求導的鏈式法則“分段用乘，分叉用加，單路全導，叉路偏導”，全微分形式不變性，要結合實例，反復講解。師生活動設計1. 已知 f(,y)yx2 1， f(, y)ly2 2x,求 f2(,y)y22. 設函數Z f(x,y)在點(1,1)處可微，且f(1,1)1， |(1,1) 2， |(1,1) 3，Xy(X) f (X, f (x,x),求-d 3(x) |x1dx講課提綱、板書設計作業 P82： 2，4，6，9，10§95隱函數的求導法則、一個方

42、程的情形隱函數存在定理1設函數F(X y)在點P(Xoyo)的某一鄰域內具有連續偏導數F(Xoyo) 0Fy(Xoyo) 0 則方程F(X y) 0在點(xoyo)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續導數的函數y f(x)匕滿足條件yf(x°)并有dyFXdxFy求導公式證明將yf(x)代入 F(X y) 0得恒等式F(X f(x)0等式兩邊對X求導得dX0由于Fy連續且Fy(X0y0)得所以存在(X0yo)的一個鄰域在這個鄰域同Fy 01dy FX dX Fy1驗證方程 的隱函數y解定理1可知設 F(X y)方程X2y2f(X)2 2X y2 2X y0在點(01)的某一鄰域

43、內能唯一確定一個有連續導數、當X 0并求這函數的一階與二階導數在X 0的值則 FX 2xFy 2y F(01)0Fy(01)2 0 因此由0在點(01)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續導數、當X 01的隱函數y f(x)dyFXXdy0dx Fy ydxX 0d2yy Xyyx(A)ydx2y2y2時yy2 X2Jy3 Yl隱函數存在定理還可以推廣到多元函數一個二元方程F(X y) 0可以確定一個一元隱函數一個三元方程F(X y Z) 0可以確定一個二元隱函數隱函數存在定理2設函數F(X y Z)在點P(xoyozo)的某一鄰域內具有連續的偏導數且F(xoyoZo) 0Fz(oyozo)0則方

44、程F(X y z) 0在點(xoyozo)的某一鄰域內恒能唯一確ZFXXFZZyFyFZ公式的證明將Zf(xy)代入F(X yZ)o得 F(X y f(xy) o將上式兩端分別對X和y求導得FXFZ-Z oFyFZ-Z oXy因為FZ連續且Fz(xoyoZO)o所以存在點(xoyozo)的一個鄰域使Fz o于是得定一個連續且具有連續偏導數的函數Z f( y)它滿足條件Zof(oyo)并有ZFXZFyXFZyFZ2z例2 設 X2y2 Z24zo求-Z2X2解設F(Xy Z)X2y2Z24z 則 FX 2x Fy 2z 4Z2xXXFZ2z42 ZJZ (2 X)Xf (2 X)億)(2 X)2 2X2(2 z)2(2 z)2(2 z)3、方程組的情形在一定條件下由個方程組F(X yUV)OG(XyU V) o可以確疋一對二兀函數U u(x y)V V(X y)例如方程XU yVo和yUXV 1可