1、三、一般迭代法 (補充) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第八節的實根求方程0)(xf可求精確根無法求精確根求近似根兩種情形(有時計算很繁)本節內容:一、根的隔離與二分法 二、牛頓切線法及其變形 方程的近似解 第三三章 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、根的隔離與二分法一、根的隔離與二分法，內只有一個根在若方程,0)(baxf內嚴格單調）（在且baxf,)(為則稱,ba.其隔根區間,0)()(, ,)(bfafbaCxf為隔根區間,ba(1) 作圖法 1. 求隔根區間的一般方法求隔根區間的一般方法 ;)(估計隔根區間的草圖由xfy 轉化為等價方程將0)(xfxoy)(xfy xoy.

2、)(, )(的草圖估計隔根區間由xyxyab)()(xxab)(xy)(xy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2) 逐步收索法01,3 xx方程例如13 xx由圖可見只有一個實根, )5 . 1, 1 (可轉化為.)5 . 1, 1 (即為其隔根區間,的左端點出發從區間ba以定步長 h 一步步向右搜索, 若0) 1()(hjafjhaf) 1(;, 1,0(bhjaj.) 1(內必有根，則區間hjajha搜索過程也可從 b 開始 , 取步長 h 0 .xoy213xy 1 xy1a1b2. 二分法二分法，設,)(baCxf，0)()(bfaf只有且方程0)(xf，一個根),(ba取中點，2

3、1ba1，若0)(1f.1即為所求根則，若0)()(1faf, ),(1a則根;,111baa令, ),(1b否則對新的隔根區間,11ba重復以上步驟,反復進行,得,111bba令,11nnbababa的中點若取,nnba則誤差滿足)(211nnnab )(121abnab)(211nnnba ,的近似根作為0 n1a1b機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 用二分法求方程04 . 19 . 01 . 123xxx的近似實根時,要使誤差不超過,103至少應對分區間多少次 ?解解: 設 ,4 . 19 . 01 . 1)(23xxxxf),()(Cxf則9 . 02 . 23)(2xxx

4、f)067. 5(0,),()(單調遞增在xf又,04 . 1)0(f06 . 1) 1 (f故該方程只有一個實根 , 1,0為其一個隔根區間欲使)01 (1211nn310必需,100021n即11000log2n96. 8可見只要對分區間9次 ,即可得滿足要求的實根近似值10(計算結果見計算結果見“高等數學高等數學”(上冊上冊) P177178)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、牛頓切線法及其變形二、牛頓切線法及其變形:)(滿足xf0)()(,) 1bfafba上連續在不變號及上在)()(,)2xfxfba .),(0)(內有唯一的實根在方程baxf有如下四種情況:xbayoxbay

5、oxbayoxbayo00 ff00 ff00 ff00 ff機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 牛頓切線法的基本思想:程的近似根 .記縱坐標與)(xf 同號的端點為,)(,(00 xfx用切線近似代替曲線弧求方yxbao1x0 x在此點作切線 ,其方程為)()(000 xxxfxfy令 y = 0 得它與 x 軸的交點, )0,(1x)()(0001xfxfxx其中再在點)(,(11xfx作切線 , 可得近似根.2x如此繼續下去, 可得求近似根的迭代公式 :)()(111nnnnxfxfxx),2, 1(n2x稱為牛頓迭代公式牛頓迭代公式 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 牛頓法的誤差估計

6、牛頓法的誤差估計:)()(111nnnnxfxfxx由微分中值定理得)()()(nnxffxfyxbao1x0 x2x)(之間與在nx,0)(f)()(fxfxnn,0則得mxfxnn)(說明說明: 用牛頓法時,若過縱坐標與)(xf 異號的端點作切線 ,則切線與 x 軸焦點的橫坐標未必在.,內ba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(min,xfmba記牛頓法的變形牛頓法的變形:(1) 簡化牛頓法簡化牛頓法若用一常數代替yxbao, )(1nxf即用平行, )()(10nxfxf代替例如用則得簡化牛頓迭代公式. 線代替切線,得)()(011xfxfxxnnn),2, 1(n優點:，避免每次計

7、算)(1nxf因而節省計算量.缺點: 逼近根的速度慢一些. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 yxo0 x1x(2) 割線法割線法為避免求導運算 , )(1nxf用割線代替切線,2121)()(nnnnxxxfxf例如用差商代替從而得迭代公式:)()()()(212111nnnnnnnxxxfxfxfxx2x3x(雙點割線法), 3,2(n特點特點: 逼近根的速度快于簡化牛頓法, 但慢于牛頓法.說明說明: 若將上式中,02xxn換為則為單點割線法, 逼近根的速度與簡化牛頓法相當.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 用切線法求方程074223xxx的近似解, 使誤差不超過 0.01

8、.解解:.742)(23xxxxf設yxo3 4由草圖可見方程有唯一的正實根 ,且9)4(,10)3(ff.43為一隔根區間，因此上，由于在43443)(2xxxf)2)(23(xx046)( xxf)23(2x0)(min4, 3xfm11)3( f機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 yxo3 4,40 x故取得)4()4(41ffx289468. 3而mxfx)(111103. 109. 0，精度不夠故1x再求)68. 3()68. 3(68. 32ffx9 .2103. 168. 363. 3mxfx)(2211042. 001. 0004. 0因此得滿足精度要求的近似解63. 3機動

9、目錄 上頁 下頁 返回 結束 三三. 一般迭代法一般迭代法(補充), )(0)(xxxf 轉化為等價方程將方程在隔根區,0 x間內任取一點按遞推公式),2, 1()(1nxxnn,nx生成數列,limnnx若則 即為原方程的根 .稱為迭代格式 ,)(稱為迭代函數x稱為迭代0 x,lim存在稱迭代收斂若nnx初值 .否則稱為發散 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 用迭代法求方程.2, 1 013內的實根在 xx解法解法1 將方程變形為, 13 xx迭代格式為, 131nnxx5 . 10 x取123nnx05 . 1375. 2396.12779.1903發散 !解法解法2 將方程變形為,13xx迭代格式為, 131nnxx5 . 10 x取12nnx05 . 135721. 133086. 17832472. 132472. 1迭代收斂 , 1.32472 為計算精度范圍內的所求根 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理. :,)(上滿足在區間方程baxxbxaxx)()(1且，連續）1)()(2Lxx且，存在），上有唯一解在方程）,)(1baxx nnnxxbax)(,210）(證明略)迭代法的斂散性與迭代函數的特