1、精品文檔精品文檔10.3二項式定理【考綱要求】1、能用計數原理證明二項式定理 .2、會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題【基礎知識】n 八0n _ 1 n_12 n_2 2r n_r rn n1、一項式je理：(a+b) =Cna +Cna b + Cna b +Cna b +Cnb二項式的展開式有n+1項，而不是n項。2、二項式通項公式：TT=C；ajb( r =0,1,2,n)(1)它表示的是二項式的展開式的第r+1項，而不是第r項(2)其中C：叫二項式展開式第r +1項的二項式系數，而二項式展開式第r +1項的系數是字母事前的常數。(3)注意 r =0,1,2, ，,n3、二項式

2、展開式的二項式系數的性質(1)對稱性：在二項展開式中，與首末兩項“等距離”的兩項的二項式系數相等。即Cm=Cn -m n(2)增減性和最大值：在二項式的展開式中，二項式系數先增后減，且在中間取得最 大值，如果二項式的事指數是偶數， 中間一項的二項式系數最大； 如果二項式的事指數是奇 數，中間兩項的二項式系數相等且最大。(3)所有二項式系數的和等于 2n,即C0+Cn+C； +Cn'+C；/+Cn1 =2n奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等，即C0C2C4 =C1C3 C5 =2n/L/nnnnn n44.二項展開式的系數a0,a1,a2,a3, ,an的性質：對于 f (x

3、) =a0 +a1x +a2x2| +II +anxn % + a1 +a2 +a3 + an = f (1),a。-a a? -a3(-1)%= f (-1)5、證明組合恒等式常用賦值法?！纠}精講】例 1 若(1 2x)2004=a0+a1x+a2x2 +a2004x2004, x R 求(4+a) + (句+&) +% a;004)解：對于式子：(1 - 2x)2004 = a0 ' a1x a2x2 ' a2004x2004, x- R,令x=0,便得到：a0 =1令 x=l,得至 1 a0+a1 +a2 +a2004 =1又原式：(a0 +a) + ( a0

4、+a2) +( a。+ a2004 )=2004a0 (a1a2a2004) =2003a。(a。aa?a2004 ):原式：(a0 +a)+ (a0+a2)+ (a0+a2004)=2004例2.已知二項式（.jX 2）n, （nCN*）的展開式中第5項的系數與第3項的系數的 x比是10: 1,（1）求展開式中各項的系數和（2）求展開式中系數最大的項以及二項式系數最大的項解：（1）二第5項的系數與第3項的系數的比是10: 1,44 Cn '(一)= 10 ,解得 n=8 c2 <-2)21令x=1得到展開式中各項的系數和為（1-2） 8=1（2）展開式中第項，第r+1項，第r+

5、2項的系數絕對值分別為r An _rr r 1C8 2 ，C8 2 , C8 2若第r+1項的系數絕對值最大，則必須滿足:r nr rr 1 r 1C8 2 &C8'2 并且 C82r r d< C8 2 ,解得 5<r<6;一一 .一一一 ,一 一，1所以系數最大的項為 T7 =179211x1;項式系數取大的項為 丁5=1120,一6 x10.3二項式定理強化訓練【基礎精練】1 .在二項式（x21）5的展開式中，含x4的項的系數是（）xA. 10B. 10C. - 5D. 52 . （2009 北京高考）若（1 +M2）5=a + bd2（a, b為有理數

6、），則 a+b=（）A. 45 B . 55 C . 70 D . 803 .在（ /+ q1）n的展開式中'所有奇數項的系數之和為1 024,則中間項系數是（）A. 330B .462 C . 682 D . 7924 .如果§x2；）的展開式中含有非零常數項，則正整數n的最小值為 （）A. 10B . 6C.5 D .35 .在,一y）的展開式中，系數大于一i的項共有（）A. 3項B .4項 C .5項 D .6項6 .二項式（1 -x）4n+的展開式中，系數最大的項是（）A.第2n + 1項 B .第2n+2項C.第2n項D.第2n+ 1項和第2n+ 2項7 .若（x2

7、+13）n展開式的各項系數之和為32,則其展開式中的常數項是x8 .（ x+馬）5的展開式中x2的系數是；其展開式中各項系數之和為.（用x數字作答）9.若一.，21,的展開式的第7項為N，則x =10 .已知（/工）n的展開式中，前三項系數的絕對值依次成等差數列.24x（1）證明：展開式中沒有常數項；（2）求展開式中所有有理項.11 .設(2x1)5=既+&x+a2x2+ asx5,求:(1) 30+31 + 32+93+94；(2)| 既| + | a1 + | a2| +1 明 + | a4| + | a5| (3) a1 + a3+a5；2.、2(4)( 8+&+聞一(a

8、i+&+a5).【拓展提高】1.在(3x2y)20的展開式中，求:(1)二項式系數最大的項；(2)系數絕對值最大的項；(3)系數最大的項.【基礎精練參考答案】1.B【解析】：T<+1= C5x2(5 k)( -x 1)k= ( - 1) kCkx10 3k( k= 0,1 ,，5),由 10 3k=4得k=2.含x4的項為工，其系數為C5=10.2.C【解析】：由二項式定理得:(1 +V2)5=1+c5/2+c5(2)2+c5(72)3+c5(2)4+c5 - (2)= 1+5/2 + 20 +20 啦+20 +4 = 41 + 2972,：a=41, b= 29, a+ b=

9、70.3.B【解析】：二二項式的展開式的所有項的二項式系數和為2n,而所有偶數項的二項式系數和與所有奇數項的二項式系數和相等.由題意得,2n 11 024 , n n =11, 展開式共有12項，中間項為第六項、第七項，系數為C51 = C61 = 462.4.C【解析】：: Tk+1 = d(3x2)n-k2 2：x x)=(1)k Ck 2k x"5k,.一、.5k:由題意知2n 5k= 0,即n=ynCN*, k C N,n的最小值為5.5.B【解析】：2xy)的展開式共有6項，其中3項(奇數項)的系數為正，大于f 1 1;第六項的系數為 c520!>- 1,故系數大于一

10、1的項共有4項.< 2/6.A【解析】：由二項展開式的通項公式Tk+1=C：n書(x)k=( 1)kC4n書xk,可知系數為(一1) kckn書，與二項式系數只有符號之差，故先找中間項為第2n+ 1項和第2n+2嘰又由第2n+1項系數為（一1）2n C：nd1 = C：n書，第2n+ 2項系數為（一1）2n+ 1C：；f = C： <0,故系數最大項為第2n+1項. 4 n 14 n 17.10【解析】：展開式中各項系數之和為S=G + Cn+ G = 2 =32, n = 5.10 2k 3k kX = C510 5kX ，k ，5 k 1 k kTk+=C5 (x2)( X3)

11、 = C5展開式中的常數項為T3=c5 = 10.8. 10253【解析】：Tk+1 = Csx5 k , (2)k = C5x5 3k. 2k,由 53k = 2, ： k=1, ： x2 的系數為 10.令x=1得系數和為35 = 243.9.；【解析】：由T7= C92& 理6=M，3< 2 7 43,1 c 1 C10.【解析】依題意，前三項系數的絕對值是1, d（2）, d（2）2,且 2/；=1+d(1)2,即 n29n + 8 = 0, ： n= 8(n= 1 舍去)，:展開式的第k+ 1項為d(qx)8-k(，)k24x1 8-k k k C816 3k=(2)

12、Ck x x 4=( 1)x（1）證明：若第k+1項為常數項,一.163kr當且僅當 =0,即3k= 16,.kcz, .這不可能，：展開式中沒有常數項.16-3k（2）若第k+1項為有理項，當且僅當 一4-k為整數,V0< k<8, kC Z, ： k= 0,4,8 ,即展開式中的有理項共有三項，它們是:T1 = x4, T5=x丁 12T9=256x .11.【解析】設 f (x) =(2x1)5= &+aiX+a2X2+ a5X5,則 f(1) = a.o+ ai+ 82+ , + a5=l,f ( 1) = a0 a + a2- a3+ a4- a5= ( 一 3)

13、 = - 243.(1) v a5= 25= 32, 80+81+02+33 +a4 = f(1) 32 = 31.(2)| ao| + | a1| + | a2| + + | a5|=ao+ 81 - & + a3- a4+ a5= -f(- 1) = 243.(3) f(1) -f(-1) = 2(81 + 83+85),24481+ 83 + 85= -2-= 122.22(4)( 80+82+84) (81+83+85)=(80+81 + 82+83+84+ 85)( 80 81 + 82 83+ 84- 85)=f (1) Xf(- 1)=-243.【拓展提高參考答案】L解：二項式系數最大的項是第11項，設系數絕對他最大的哽是第 葉1項，于是«U匕J VL * U.化簡得3(矗+1)>2(20-幻11(21-*) &