1、三、已知平行截面面積函數(shù)的三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積立體體積第二節(jié)一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積二、二、 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 ybxa)(2xfy )(1xfy O一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xxfAd)(dxxfAbad)(邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfy xxdxxxxd例例1. 計(jì)算兩條拋物線22,xyxy在第一象限所圍圖形的面積 . 解解: 由xy 22xy 得交點(diǎn)

2、) 1, 1 ( , )0,0(xxxAd)(d22332x01331x3110AxyOxy 22xy xxxd) 1 , 1 (1Oxy224 xyxy例例2. 計(jì)算拋物線xy22與直線的面積 . 解解: 由xy224 xy得交點(diǎn))4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡(jiǎn)便計(jì)算, 選取 y 作積分變量,則有42Ayyydab例例3. 求橢圓12222byax解解: 利用對(duì)稱性 , xyAdd所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得024Atbsintt

3、ad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式xxxdxyO2. 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形,0)(, ,)(C設(shè)求由曲線)(r及,射線圍成的曲邊扇形的面積 .)(r d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為d)(212A xO對(duì)應(yīng) 從 0 變例例5. 計(jì)算阿基米德螺線解解:)0( aardd)(212a20A22a331022334a到 2 所圍圖形面積 . a2xOxa2Ottadcos82042例例6. 計(jì)算心形線所圍圖形的面積 . 解解:)0()cos1 (aardd)cos1 (2122a02

4、A02ad2cos44(利用對(duì)稱性)2t令223a二、平面曲線的弧長(zhǎng)二、平面曲線的弧長(zhǎng)定義定義: 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線 ,0M1iMiMnM當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng) 0 時(shí), 折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長(zhǎng) , 即并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.(證明略)ni 10lims則稱OAByxsdabyxO(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長(zhǎng)元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長(zhǎng)xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:)()()(

5、ttytx弧長(zhǎng)元素(弧微分) :因此所求弧長(zhǎng)tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長(zhǎng)d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得sd弧長(zhǎng)元素(弧微分) :(自己驗(yàn)證)例例11. 計(jì)算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20( t的弧長(zhǎng) .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyOa2d222aa例例12.

6、 求阿基米德螺線相應(yīng)于 02一段的弧長(zhǎng) . 解解:)0( aard)()(d22rrsd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aara2Oar 三三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd)(xA上連續(xù),Oxy)(yx特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段2)(xf軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí), 有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當(dāng)考慮連續(xù)曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的

7、立體體積時(shí),有2)(yyddcVycdxyabxyabO)(xfy xayxb例例13. 計(jì)算由橢圓12222byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby則xxaabad)(220222(利用對(duì)稱性)3222312xxaab0a234abOaV02xy d2x方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos則xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當(dāng)b = a 時(shí), 就得半徑為a 的球體的體積.343aayxbOxa2xyO例例14. 計(jì)算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0

8、( a的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 . 0 t 2解解: 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為xyVaxd202利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 022)cos1 (2tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyad202xyOa2a繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限 !

9、2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx 注注分部積分對(duì)稱關(guān)于2202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226例例16. 一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,并與底面交成 角,222Ryx解解: 如圖所示取坐標(biāo)系, 則圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan32

10、3R利用對(duì)稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .ORxyxORx),(yxyR思考思考: 可否選擇 y 作積分變量 ?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積 ?)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線的弧長(zhǎng)曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程21d)()(tttttAd)(212A3. 已知平行截面面積函數(shù) A(x) 的立體體積baxxAVd)(旋轉(zhuǎn)體的體積2)(yxA繞 x 軸 :2)(xyA繞 y 軸 :)(xyy 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長(zhǎng) s