1、編輯ppt第五節第五節 高階導數高階導數編輯ppt本節要點本節要點 本節引入高階導數的概念及相應的計算方法本節引入高階導數的概念及相應的計算方法.編輯ppt 我們知道我們知道, 速度速度 是位置函數是位置函數 對時間對時間 的導數的導數, 即即vstd.dsvt而加速度又是速度函數關于時間而加速度又是速度函數關于時間 的導數的導數, 即即td.dvat由此可見由此可見: 加速度加速度 是位置函數是位置函數 關于關于 求導后再一次求求導后再一次求tsa導導, 由此引出所謂的由此引出所謂的“二階導數二階導數”的概念的概念.編輯ppt在在 存在導數存在導數, 則稱則稱記為記為 或或0(),fx000

2、2222ddd),.d(xxxxxxyfxyxx 若若 在在 處都可導處都可導, 則由極限則由極限,( )xI fx x0()( )lim,xfxxfxxIx 的可導性的可導性. fxxI fx0,xI 若函數若函數 在區間在區間 中處處可導中處處可導, 考慮導函數考慮導函數( )yf xI( )fx0 x的導數為的導數為 在在 的的二階二階( )f x0 x對于對于若若在在 處處0 x導數導數, 編輯ppt2222ddd( ),( ),d.yfxyfxxx由定義由定義, 知知( )( ) .fxfx同樣可以定義三階、四階導數同樣可以定義三階、四階導數, 及更高階的導數及更高階的導數.(4)(

3、 )( ),( ),( ).nfxfxfx確定了一個以確定了一個以 為定義域的函數為定義域的函數, 稱其為稱其為 的二階導的二階導( )f xI函數函數, 簡稱為簡稱為二階導數二階導數. 記為記為記為記為 編輯ppt 按照定義按照定義, 我們有我們有 1,2nnfxfxn為了記號上的方便為了記號上的方便, 我們約定我們約定 0.fxf x編輯ppt例例2.31 求函數求函數2exy 解解 22 e ,xyx222 12e ,xyx 23128e .xyxx的三階導數的三階導數.編輯ppt例例2.32 求函數求函數1arctanyx解解 222111,111yxxx 的二階導數的二階導數.222

4、.1xyx編輯ppt例例2.33 設設 與與 是常數是常數, 證明函數證明函數a12,c c12cossinycaxcax滿足關系滿足關系20.ya y證證 因因 12sincos,yc aaxc aax 2212cossin,yc aaxc aax 所以所以20.ya y編輯ppt例例2.34 求函數求函數解解 exy e ,e ,e .nxxxyyyn的的 階導數階導數.編輯ppt例例2.35 求求sinyx解解 cossin,2yxx cossin2,22yxx n的的 階導數階導數. sin.2nyxn編輯ppt例例2.36 求求ln 1yx的的 階導數階導數.n解解 1,1yx一般一

5、般, 若若 則則ln,yabx 111 !.nnnnnbyabx 111 !,.1nnnnyx21,1yx 31 2,1yx編輯ppt例例2.37 設設221,yxa求求 .ny解解 因因111,2yaxaxa所以所以 1112nnnyaxaxa111!1!12nnnnnnaxaxa編輯ppt111!11.2nnnnaxaxa編輯ppt例例2.38 計算由擺線的參數方程計算由擺線的參數方程sin1 cosxa ttyat解解 1 cossincot,1 cos2sinddatyattxata tt所確定的函數在所確定的函數在 處的二階導數處的二階導數.xa編輯ppt22cot2sdddddddddddddidnytyyttxxxtxxa ttt2