1、習題課一、導數和微分的概念及應用一、導數和微分的概念及應用二、導數和微分的求法二、導數和微分的求法 導數與微分 第二章 一、一、 導數和微分的概念及應用導數和微分的概念及應用 導數導數 :xxfxxfxfx)()(lim)(0當時,為右導數當時,為左導數0 x)(xf0 x)(xf 微分微分 :xxfxfd)()(d 關系關系 : 可導可微( 思考 P125 題1 ) 應用應用 :(1) 利用導數定義解決的問題 (3)微分在近似計算與誤差估計中的應用(2)用導數定義求極限1) 推出三個最基本的導數公式及求導法則xxxCxcos)(sin;)(ln;0)(1其他求導公式都可由它們及求導法則推出;

2、2) 求分段函數在分界點處的導數 , 及某些特殊函數在特殊點處的導數;3) 由導數定義證明一些命題.例例1.1.設)(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解: : 原式=xxfxxxfx )()(lim02002)( xx2)( xx)(0 xf 例例3.3.設)(xf在2x處連續,且, 32)(lim2xxfx求. )2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3思考思考 : 書P125 題2 ; 3)(xf設0)(,xxf在討論解解:)(lim0 xfx又xfxfx)0()

3、(lim0例例5.所以 )(xf0 x在處連續. 即)(xf0 x在處可導 .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x處的連續性及可導性. xxxx120sinlim0)0( f例例4.4.設1eelim)() 1() 1(2xnxnnbaxxxf,試確定常數a , b. )(xf 解解: :)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1時x;)(axf時，1x.2)(xxf) 1 ()1 ()1 (fff) 1 () 1 (ff得處可導，在利用1)(xxf即ba1) 1(21ba2a使 f (x) 處處可導,并求, 1,2ba2)

4、 1 ( f1,21,2)(xxxxf)(xf 是否為連續函數 ?判別判別:,1時x,)(axf時，1xxxf2)(ba1) 1(21ba2a存在) 1 (f二、二、 導數和微分的求法導數和微分的求法1. 正確使用導數及微分公式和法則 2. 熟練掌握求導方法和技巧(1) 求分段函數的導數注意討論界點界點處左右導數是否存在和相等(2) 隱函數求導法對數微分法(3) 參數方程求導法極坐標方程求導(4) 復合函數求導法(可利用微分形式不變性)轉化轉化(5) 高階導數的求法逐次求導歸納; 間接求導法;利用萊布尼茨公式.導出導出例例6.6.設, )(arctansinee1sinxxxfy其中)(xf可

5、微 ,.y求解解:yd)d(esinesin xx)d(sineesinxx)d(arctan)(arctan11xxf )d(sinesinesinxxx)d(ecoseesinxxx)d(11)(arctan1112xxxfxxxxd )sine(cosesinxfxxd)(arctan1112xyyddxxcosee例例7.7.，有定義時設)(0 xgx 且)(xg 存在, 問怎樣選擇cba,可使下述函數在0 x處有二階導數)(xf解解: 由題設)0(f 存在, 因此1) 利用)(xf在0 x連續, 即, )0()0()0(fff得)0(gc 2) 利用, )0()0(ff0)0()(l

6、im)0(0 xgxgfx)0( g0)0()(lim)0(20 xgcbxxafxb而)0( gb得0,2xcbxax0, )(xxg)0( gb3) 利用, )0()0( ff0)0()(lim)0(0 xgxgfx)0( g0)2(lim)0(0 xbbxafxa2而得)0(21 ga)0(gc )(xf0,2xcbxax0, )(xxg作業作業 P125 5 ; 6(1) ; 9 (2) ; 12 (2) ; 編輯ppt例例2.2.若0) 1 (f且) 1 (f 存在 , 求.tan) 1(e)cos(sinlim20 xxxfxx解解: 1)cos(sinlim20 xxx原式 =220)cos(sinlimx