1、題型一：求軌跡方程題型一：求軌跡方程:利用中間變量法（轉移法）是求軌跡問題的重要方法之一。利用中間變量法（轉移法）是求軌跡問題的重要方法之一。相關點法相關點法（代人法）：有些問題中，其動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點（稱之為相關點）（代人法）：有些問題中，其動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點（稱之為相關點）而運動的；如果相關點所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時可以用動點坐標表示相關點坐標，而運動的；如果相關點所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時可以用動點坐標表示相關點坐標，根據相關點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程。根據相關點所滿足的方程即可求得動

2、點的軌跡方程。 例 1雙曲線有動點，是曲線的兩個焦點，求的重心2219xyP12,F F12PFF的軌跡方程。M解析：設點坐標各為，在已知雙曲線方程中，,P M11( ,),( , )P x yM x y3,1ab9 110c 已知雙曲線兩焦點為，12(10,0),( 10,0)FF存在，12PFF10y 由三角形重心坐標公式有，即 。11(10)103003xxyy 1133xxyy，。10y 0y 已知點在雙曲線上，將上面結果代入已知曲線方程，有P22(3 )(3 )1(0)9xyy即所求重心的軌跡方程為：。M2291(0)xyy點評：定義法求軌跡方程的一般方法、步驟；“轉移法”求軌跡方程

3、的方法。例 2 （2001 上海，3）設 P 為雙曲線y21 上一動點，O 為坐標原點，M 為線段42xOP 的中點，則點 M 的軌跡方程是 。解析：（1）答案：x24y21設 P（x0，y0） M（x，y） 2xx0，2yy02,200yyxx4y21x24y21442x 點評：利用中間變量法（轉移法）是求軌跡問題的重要方法之一。練習練習：1、在雙曲線的兩條漸近線上分別取點和，使)0, 0( 12222babyaxAB（其中為坐標原點，為雙曲線的半焦距） ，求中點的軌跡。2|cOBOAOCAB2、若動點 P 在 y=2x2+1 上移動,則點 P 與點 Q(0,-1)連線中點的軌跡方程是_ （

4、y= -2x2-3）3、已知ABC 中，B（1，0） 、C（5，0） ，點 A 在 x 軸上方移動，且tanB+tanC=3，則 ABC 的重心 G 的軌跡方程為_.3、解：設 A（x0，y0） ，tanB+tanC=3，=3，點 A 的軌跡方程為100 xy500 xyy0=（x026x0+5） （x01 且 x05）.43若 G（x，y）為ABC 的重心，則由重心坐標公式：x=，y=，x0=3x6，且 y0=3y.3510 x30y代入 A 點軌跡方程得 G 的軌跡方程為y1=（x3）2（x且 x）.4937311答案：y1=（x3）2（x且 x）49373114、斜角為的直線交橢圓于兩點

5、，則線段中點的軌跡方41422 yxBA,AB程是 二、充分利用韋達定理及二、充分利用韋達定理及“設而不求設而不求”的策略的策略我們經常設出弦的端點坐標而不求它，而是結合韋達定理求解，這種方法在有關斜率、我們經常設出弦的端點坐標而不求它，而是結合韋達定理求解，這種方法在有關斜率、中點等問題中常常用到。中點等問題中常常用到。典型例題 例 1 已知中心在原點 O，焦點在軸上的橢圓與直線相交于 P、Q 兩yyx1點，且，求此橢圓方程。OP OQ|PQ 102 解：設橢圓方程為，直線與橢圓相交于 Paxbyab2210()yx1、兩點。()xy11，Q xy()22， 由方程組消去后得yxaxby11

6、22y ()ab xbxbxxbabx xbab 2121221021， 由，得 （1）kkOPOQ 1y yx x1212 又 P、Q 在直線上，yx1 yxyxy yxxx xxx1122121212121213111，( )( )()()() 把（1）代入，得，2101212x xxx() 即21210()babbab 化簡后，得 （4）ab 2 由，得|PQ 102()()xxyy12212252 ()()()()xxxxx xbabbab1221221225445424154， 把（2）代入，得，解得或48302bbb 12b 32 代入（4）后，解得或a 32a 12 由，得。ab

7、 0ab3212， 所求橢圓方程為322122xy 評注：此題充分利用了韋達定理及“設而不求”的策略，簡化了計算。例 2：已知常數 a0，向量，經過定點 A（0，a）以為(0, ),(1,0)ma nmn方向向量的直線與經過定點 B（0，a）以為方向向量的直線相交于點 P，其中2nmR（）求點 P 的軌跡 C 的方程；（）若過 E（0，1）的直線 l 交曲線 C 于 M、N 兩點，求的取,22aENEM 值范圍解：（）設 P 點的坐標為（x，y） ，則),(),(ayxBPayxAP又(1,0),(0, ),( , ),2(1,2)nmamna nma故由題知向量與向量AP,().mnyaax

8、平行故又向量與向量BP,2.nmyaax平行故兩方程聯立消去參數，得點 P（x，y）的軌跡方程是 .2,2)(222222xaayxaayay即（），故點 P 的軌跡方程為22a, 12222 xy此時點 E（0，1）為雙曲線的焦點若直線 l 的斜率不存在，其方程為 x=0，l 與雙曲線交于、，)22, 0(M)22, 0( N 此時 .21211) 122)(122(ENEM若直線 l 的斜率存在，設其方程為化簡得代入, 1 kxy12222 xy . 014) 1(222kxxk直線 l 與雙曲線交于兩點，. 1. 010) 1(8)4(222kkkk解得且設兩交點為， ),(),(221

9、1yxNyxM則.) 1(21,12221221kxxkkxx此時),(),() 1,() 1,(22112211kxxkxxyxyxENEM).121 (21) 1(21) 1(22221221221kkkxxkxxkxx當;21)121(21, 01,1122kENEMkk故時當.21)121 (21, 01,1122kENEMkkk故時或綜上所述，的取值范圍是 ENEM ).,2121,(提煉方法:1.交軌法也是求軌跡方程的一種重要方法,具體過程是:(1).建立動直線(或曲線)的方程;(2).消去動直線(或曲線)方程中的參數,得到交點(即動點)坐標 x,y 的方程即為所求.2.“設而不求

10、”是解題(2)的一個亮點.在解直線與圓錐曲線交點、弦長、斜率等問題時，利用韋達定理、中點公式作整體代換處理，是簡潔高效化難為易的好方法。3.以向量的形式給出題設,或用向量的方法求解解析幾何問題,是一個新的命題方向,應多留心關注. 變式練習：變式練習：1、若雙曲線方程為，AB 為不平行于對稱軸且不過原點的弦，Mxayb22221為 AB 中點，設 AB、OM 的斜率分別為，則kkABOM、kkbaABOM22三、整體法（設而不求法）：當探求的軌跡較復雜時，可擴大考察視角，將問題中的條件、結論的各種三、整體法（設而不求法）：當探求的軌跡較復雜時，可擴大考察視角，將問題中的條件、結論的各種關系看成一

11、個整體，從整體出發運用整體思想，注重整體結構的挖掘和分析。關系看成一個整體，從整體出發運用整體思想，注重整體結構的挖掘和分析。注意：所有的求軌跡的問題都要根據題意，求其中注意：所有的求軌跡的問題都要根據題意，求其中的取值范圍。的取值范圍。yx, 例 1、AB 是圓 O 的直徑，且AB2a，M 為圓上一動點，作 MNAB，垂足為 N，在 OM 上取點 P，使OPMN，求點 P 的軌跡.解：以圓心 O 為原點，AB 所在直線為 x 軸建立直角坐標系（如下圖） ，則O 的方程為 x2y2a2，設點 P 坐標為（x，y） ，并設圓與 y 軸交于 C、D 兩點，作 PQAB 于Q，則有.|OMOP|MN

12、PQOPMN，OP2OMPQ.x2+y2ay，即 x2（y）2（）2.2a2a軌跡是分別以 CO、OD 為直徑的兩個圓.例 2、 設直線 xy=4a 與拋物線 y2=4ax 交于兩點 A，B (a 為定值)，C 為拋物線上任意一點，求 ABC 的重心的軌跡方程分析：，是定點，影響 ABC 的重心運動的因素是拋物線上的動點，故選點的坐標作參數解：設 ABC 的重心為 G(x,y) ,點 C 的坐標為 C(x0,y0),A(x1,y1), B(x2,y2) 由方程組：消去 y 并整理得：axyayx442x212ax+16a2=0 x1+x2=12a, y1+y2=(x14a)+(x24a)=(x1+x2)8a=4a頭 頭頭 頭頭 頭 頭頭頭 頭頭 頭頭 頭頭http:/ 頭頭頭 頭頭 頭頭 頭頭 頭 頭頭頭 頭由于 G(x,y)為 ABC 的重心, ,343312302100210ayyyyyaxxxxx, 又點 C(x0,y0)在拋物線上，ayyaxx4312300將點 C 的坐標代入拋物線的方程得：(3y4a)2=4a(3x12a), 即(y)2 = (x4a) 34a34a又點 C 與 A，B 不重合，x (6)a5 O x yA B P Q M N C