1、四年級奧數：速算與巧算（一）計算是數學的基礎，小學生要學好數學，必須具有過硬的訃算本領.準確、 快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節省計 算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發展.我們在三年級已經講過一些四則運算的速算與巧算的方法，本講和下一講主 要介紹加法的基準數法和乘法的補同與同補速算法.例I四年級一班第一小組有10名同學，某次數學測驗的成績（分數）如下：86, 78, 77, 83, 91, 74, 92, 69, 84, 75.求這10名同學的總分.分析與解：通常的做法是將這10個數直接相加，但這些數雜亂無章，直接相加 既繁且易錯

2、觀察這些數不難發現，這些數雖然大小不等，但相差不大.我們可以 選擇一個適當的數作“基準”，比如以“80”作基準，這10個數與80的差如下：6,-2,-3, 3, 11, -6, 12, -11, 4, -5,其中號表示這個數比 80 小.于 是得到總和=80×10+ （6-2-3+3+11-= 800+9 = 809.實際計算時只需口算，將這些數與80的差逐一累加.為了清楚起見，將這一 過程表示如下：36 78 83 91 74 92 69 S4 75與冊的差數+6 -2 -3a+3 a+11-a+12 -LJ +4 -56A4AV5Ay4h通過口算，得到差數累加為9,再加上80x1

3、0,就可口算出結果為809.例1所用的方法叫做加法的基準數法這種方法適用于加數較多，而且所有 的加數相差不大的情況.作為“基準”的數（如例1的80）叫做基準數，各數與基 準數的差的和叫做扇計差.曲例1得到：總和數二基準數X加數的個數+累計差， 平均數二基準數+累計差÷加數的個數.在使用基準數法時，應選取與各數的差較小的數作為基準數，這樣才容易計 算累訃差同時考慮到基準數與加數個數的乘法能夠方便地訃算出來，所以基準 數應盡量選取整十、整百的數.例2某農場有10塊麥田，每塊的產量如下(單位：千克)：462, 480, 443, 420, 473, 429, 468, 439, 475,

4、461.求平均每塊麥田的 產量.解：選基準數為450,則累計差=12+30-7-30+23-21 + 18-11 +25+11= 50,平均每塊產量=450÷50÷10=455 (千克).答：平均每塊麥田的產量為455千克.求一位數的平方，在乘法口訣的九九表中已經被同學們熟知，如7×7=49(七 七四十九)對于兩位數的平方，大多數同學只是背熟了 1020的平方，而21 99的平方就不大熟悉了.有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數的平方呢？這里 向同學們介紹一種方法湊整補零法所謂湊整補零法，就是用所求數與最接 近的整十數的差，通過移多補少，將所求數轉化成一個整十數乘以

5、另一數，再加 上零頭的平方數下面通過例題來說明這一方法.例3求29?和吃2的值.解：292=29×29=(29÷1) X (29-1) +12= 30x28+1= 840+1= 841.822=82x82=(82-2) × (82+2) +22= 80×84+4=6720+4= 6724.由上例看出,因為29比30少1,所以給29“補T,這叫“補少”；因為82比 80多2,所以從82中“移走”2,這叫“移多”.因為是兩個相同數相乘，所以對其中 一個數“移多補少”后，還需要在另一個數上“找齊”.本例中，給一個29補1,就 要給另一個29減1；給一個82減了

6、 2,就要給另一個82加上2.最后，還要加上 “移多補少"的數的平方.由湊整補零法計算352,得35x35=40x30+52=1225.這與三年級學的個位數是5的數的平方的速算方法 結果相同.這種方法不僅適用于求兩位數的平方值，也適用于求三位數或更多位數的平 方值.例4求9932和20042的值.解：9932=993x993=(993+7) X (993-7) +72= I(Xx)×986+49=986000+49=986049.20042=2004×2004=(2004-4) × (2004+4) +42= 2000x2008+16=4016000+1

7、6=4016016.下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法請看下面的算式：66×46, 73×88, 19x44.這兒道算式具有一個共同特點，兩個因數都是兩位數，一個因數的十位數與 個位數相同，另一因數的十位數與個位數之和為10.這類算式有非常簡便的速算 方法.例 5 88×64= ?分析與解：由乘法分配律和結合律，得到88×64=(80÷8) × (60+4)=(80÷8) ×60+ (80÷8) ×4=80×60+8×6O+80×4 ÷8×

8、;4=80×60 ÷80×6+80×4+8 ×4= 8O× (60+6÷4) ÷8×4= 80x (60÷10) +8×4=8× (6+1) ×100+8×4.于是，我們得到下面的速算式：8X4rI88 X 64 = 56. 32 o1I1了8×(6÷1)由上式看出，積的末兩位數是兩個因數的個位數之積，本例為8x4：積中從 百位起前面的數是“個位與十位相同的因數''的十位數與“個位與十位之和為10的 因數”的十位數加1的

9、乘積，本例為8x(6+1).例 6 77x91 = ?解：山例3的解法得到TrX T Il=iX77 X 91 =70 07 Q7X<9 + 1)由上式看出，當兩個因數的個位數之積是一位數時，應在十位上補一個0, 本例為7x1=07.用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數的乘法訃算.練習11. 求下面10個數的總和：165, 152, 168, 171, 148, 156, 169, 161, 157, 149.2. 農業科研小組測定麥苗的生長悄況，量出12株麥苗的高度分別為(單位： 厘米)：26, 25, 25, 23, 27, 28, 26, 24, 29, 27, 27,

10、 25.求這批麥苗的平均高 度.3. 某車間有9個工人加工零件，他們加工零件的個數分別為：68, 91, 84, 75, 78, 81, 83, 72, 79.他們共加工了多少個零件？4計算：13÷16+10+ll + 17÷12+15÷12+16÷13+12.5計算下列各題：( 1 ) 372；(2) 532；(3)9卩；(4) 682：(5) 1O82：(6) 3972.6.計算下列各題：(1) 77x28：(2)66x55：(3) 33x19；(4)82x44：(5) 37x33；(6)46×99.練習1答案1.1596. 2.26 厘米

11、.3.711 個.4.147.5. (1) 1369；(2) 2809；(3) 8281；(4) 4624；(5) 11664；(6) 157609.6. (1) 2156；(2) 3630；(3) 627；(4) 3608；(5) 1221：(6) 4554.第2講速算與巧算(二)上一講我們介紹了一類兩位數乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補” 與“補同”速算法.兩個數之和等于10,則稱這兩個數互補在整數乘法運算中，常會遇到像 72x78, 26×86等被乘數與乘數的十位數字相同或互補，或被乘數與乘數的個位 數字相同或互補的情況.72x78的被乘數與乘數的十位數字相同、個位數字互

12、補, 這類式子我們稱為“頭相同、尾互補”型:26x86的被乘數與乘數的十位數字互補、 個位數字相同，這類式子我們稱為“頭互補、尾相同”型.計算這兩類題日，有非 常簡捷的速算方法，分別稱為“同補”速算法和“補同”速算法.例 1(1) 76x74=?(2) 31×39=?分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補”類型.(1)由乘法分配律和結合律，得到76×74=(7+6) × (70+4)=(70÷6) ×70+ (7÷6) ×4=70×70÷6×70+70×4+6×4= 70&#

13、215; (70+6+4) ÷6×4= 70× (70+10) +6×4=7× (7+1) ×100+6×4.于是，我們得到下面的速算式：6X4II=；176 X 74 = 56 24 oIV 7×<7+l)(2)與(1)類似可得到下面的速算式：1 X 91f=.131 X 39 = 12”9 "3 X(3 + 1)山例I看出，在“頭相同、尾互補”的兩個兩位數乘法中，積的末兩位數是兩 個因數的個位數之積(不夠兩位時前面補0,如1 ×9=09),積中從百位起前面 的數是被乘數(或乘數)的十位

14、數與十位數加1的乘積.“同補”速算法簡單地說 就是：積的末兩位是“尾X尾”，前面是“頭X (頭+1) ”.我們在三年級時學到的15×15, 25x25 95x95的速算,實際上就是“同補”速算法.例 2 (1) 78×38= ?(2) 43x63 = ?分析與解：本例兩題都是“頭互補、尾相同”類型.(I) Ill乘法分配律和結合律，得到78×38=(70÷8) X (30÷8)=(70+8) ×30÷ (70÷8) ×8=70×30+8×30+70×8 + 8×8=

15、 70×30+8× (30÷70) +8x8 =7×3×100+8×100+8×8 =(7×3 + 8) ×100+8×8.于是，我們得到下面的速算式:8X8Ic=;I78 X 38 = 29 64 o7X 3+8(2)與(1)類似可得到下面的速算式:3X3r-c=I43 × S3 = .27 09 o1I1下4 X 6÷3山例2看出，在“頭互補、尾相同”的兩個兩位數乘法中，積的末兩位數是兩個因 數的個位數之積（不夠兩位時前面補0,如3x3=09）,積中從白位起前面的數 是兩

16、個因數的十位數之積加上被乘數（或乘數）的個位數“補同"速算法簡單地 說就是：積的末兩位數是“尾X尾”，前面是“頭X頭+尾”例1和例2介紹了兩位數乘以兩位數的“同補”或“補同”形式的速算法.當被乘數和 乘數多于兩位時，情況會發生什么變化呢？我們先將互補的概念推廣一下當兩個數的和是10, 100, 1000, .時，這兩個數 互為補數，簡稱互補如43與57互補，99與1互補，555與445互補.在一個乘法算式中，當被乘數與乘數前面的兒位數相同，后面的兒位數互補 時，這個算式就是“同補”型，即“頭相同，尾互補”型例如70 77X70 23,因為 被乘數與乘數的前兩位數相同，都是70,后兩位數互補，77+23=100,所以是 “同補”型.乂如丄4×± 52, 23 1× 23L ,等都是“同補”型.當被乘數與乘數前面的兒位數互補，后面的兒位數相同時，這個乘法算式就是“補 同”型，即“頭互補，尾相同”型.例如，73 1X27 1，586 IjX 586業等都是“補同”型.在計算多位數的“同補”型乘法時，例1的方法仍然適用.例 3 （1） 7