1、精選優質文檔-傾情為你奉上高等數學(同濟第七版)上冊-知識點總結第1章 函數與極限一. 函數的概念1.兩個無窮小的比較設且（1）l = 0，稱f (x)是比g(x)高階的無窮小，記以f (x) = 0，稱g(x)是比f(x)低階的無窮小。（2）l 0，稱f (x)與g(x)是同階無窮小。（3）l = 1，稱f (x)與g(x)是等價無窮小，記以f (x) g(x)2.常見的等價無窮小當x 0時sin x x，tan x x， x， x，1 cos x ， 1 x ， x ， 二求極限的方法1 兩個準則準則 1. 單調有界數列極限一定存在準則 2.（夾逼定理）設g(x) f (x) h(x) 若

2、，則2 兩個重要公式公式1公式23 用無窮小重要性質和等價無窮小代換4 用泰勒公式當時，有以下公式，可當做等價無窮小更深層次5 洛必達法則定理1 設函數、滿足下列條件：（1），；（2）與在的某一去心鄰域內可導，且；（3）存在（或為無窮大），則 這個定理說明：當存在時，也存在且等于；當為無窮大時，也是無窮大這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的極限值的方法稱為洛必達（ospital）法則.型未定式定理2 設函數、滿足下列條件：（1），；（2）與在的某一去心鄰域內可導，且；（3）存在（或為無窮大），則 注：上述關于時未定式型的洛必達法則，對于時未定式型同樣適用使用洛必達法則時必

3、須注意以下幾點：（1）洛必達法則只能適用于“”和“”型的未定式，其它的未定式須先化簡變形成“”或“”型才能運用該法則；（2）只要條件具備，可以連續應用洛必達法則；（3）洛必達法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時并不能斷定原極限不存在6利用導數定義求極限基本公式(如果存在）7.利用定積分定義求極限 基本格式（如果存在）3 函數的間斷點的分類函數的間斷點分為兩類：（1） 第一類間斷點設 是函數y = f (x)的間斷點。如果f (x)在間斷點處的左、右極限都存在，則稱是f (x)的第一類間斷點。左右極限存在且相同但不等于該點的函數值為可去間斷點。左右極限不存在為跳躍間斷點。第一類間斷點

4、包括可去間斷點和跳躍間斷點。（2） 第二類間斷點第一類間斷點以外的其他間斷點統稱為第二類間斷點。常見的第二類間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷點。4 閉區間上連續函數的性質 在閉區間a,b上連續的函數f (x)，有以下幾個基本性質。這些性質以后都要用到。定理1（有界定理）如果函數f (x)在閉區間a,b上連續，則f (x)必在a,b上有界。定理2（最大值和最小值定理）如果函數f (x)在閉區間a,b上連續，則在這個區間上一定存在最大值M 和最小值m 。定理3（介值定理）如果函數f (x)在閉區間a,b上連續，且其最大值和最小值分別為M 和m ，則對于介于m和M 之間的任何實數c，在a,b上至少存在一

5、個 ，使得f ( ) = c推論：如果函數f (x)在閉區間a,b上連續，且f (a)與f (b)異號，則在(a,b)內至少存在一個點 ，使得f ( ) = 0這個推論也稱為零點定理第二章 導數與微分一基本概念1可微和可導等價，都可以推出連續，但是連續不能推出可微和可導。二求導公式三常見求導1.復合函數運算法則2.由參數方程確定函數的運算法則設x =(t)，y =確定函數y = y(x)，其中存在，且 0，則3.反函數求導法則設y = f (x)的反函數x = g(y)，兩者皆可導，且f (x) 0則4.隱函數運算法則設y = y(x)是由方程F(x, y) = 0所確定，求y的方法如下：把F

6、(x, y) = 0兩邊的各項對x求導，把y 看作中間變量，用復合函數求導公式計算，然后再解出y 的表達式（允許出現y 變量）5.對數求導法則 （指數類型 如）先兩邊取對數，然后再用隱函數求導方法得出導數y。對數求導法主要用于：冪指函數求導數多個函數連乘除或開方求導數（注意定義域。 關于冪指函數y = f (x)g (x) 常用的一種方法,y = 這樣就可以直接用復合函數運算法則進行。6. 求n階導數（n 2，正整數）先求出 y, y, ,總結出規律性，然后寫出y(n)，最后用歸納法證明。有一些常用的初等函數的n 階導數公式（1）（2）（3） ,（4） , (5),第3章 微分中值定理與導數應

7、用一 .羅爾定理設函數 f (x)滿足（1）在閉區間a,b上連續；（2）在開區間(a,b)內可導；（3） f (a) = f (b)則存在 (a,b)，使得f ( ) = 0二 拉格朗日中值定理設函數 f (x)滿足（1）在閉區間a,b上連續；（2）在開區間(a,b)內可導；則存在 (a,b)，使得推論1若f (x)在(a,b)內可導，且f (x) 0，則f (x)在(a,b)內為常數。推論2若f (x) ,g(x) 在(a,b) 內皆可導，且f (x) g(x)，則在(a,b)內f (x) = g(x)+ c，其中c為一個常數。三 .柯西中值定理設函數f (x)和g(x)滿足：（1）在閉區間

8、a,b上皆連續；（2）在開區間(a,b)內皆可導；且g(x) 0則存在 (a,b)使得（注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形g(x) = x 時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）四.泰勒公式（ 估值 求極限（麥克勞林）定理 1（皮亞諾余項的n 階泰勒公式）設f (x)在0 x 處有n 階導數，則有公式，稱為皮亞諾余項定理2（拉格朗日余項的n 階泰勒公式）設f (x)在包含0 x 的區間(a,b)內有n +1階導數，在a,b上有n階連續導數，則對xa,b，有公式 ，,稱為拉格朗日余項上面展開式稱為以0(x) 為中心的n 階泰勒公式。當=0 時，也稱為n階麥克勞林公式。常用公式(

9、前8個)五導數的應用一基本知識設函數f (x)在處可導，且為f (x)的一個極值點，則。我們稱x 滿足的 稱為的駐點，可導函數的極值點一定是駐點，反之不然。極值點只能是駐點或不可導點，所以只要從這兩種點中進一步去判斷。極值點判斷方法1. 第一充分條件 在的鄰域內可導，且，則若當時,，當時，則為極大值點；若當時，當時，則為極小值點；若在的兩側不變號，則不是極值點.2.第二充分條件在處二階可導，且，則若，則為極大值點；若，則為極小值點.3.泰勒公式判別法（用的比較少，可以自行百度）二.凹凸性與拐點1凹凸的定義設f (x)在區間I 上連續，若對任意不同的兩點1 2 x , x ，恒有則稱f (x)在

10、I 上是凸（凹）的。在幾何上，曲線y = f (x)上任意兩點的割線在曲線下（上）面，則y = f (x)是凸（凹）的。如果曲線y = f (x)有切線的話，每一點的切線都在曲線之上（下）則y = f (x)是凸（凹）的。2拐點的定義曲線上凹與凸的分界點，稱為曲線的拐點。3凹凸性的判別和拐點的求法設函數f (x)在(a,b)內具有二階導數，如果在(a,b)內的每一點x，恒有 > 0，則曲線y = f (x)在(a,b)內是凹的；如果在(a,b)內的每一點x，恒有< 0，則曲線y = f (x)在(a,b)內是凸的。求曲線y = f (x)的拐點的方法步驟是：第一步：求出二階導數；第

11、二步：求出使二階導數等于零或二階導數不存在的點 ；第三步：對于以上的連續點，檢驗各點兩邊二階導數的符號，如果符號不同，該點就是拐點的橫坐標；第四步：求出拐點的縱坐標。三漸近線的求法四曲率第四章 不定積分一基本積分表：二換元積分法和分部積分法換元積分法（1）第一類換元法（湊微分）：（2）第二類換元法（變量代換）：分部積分法 使用分部積分法時被積函數中誰看作誰看作有一定規律。記住口訣，反對冪指三為，靠前就為，例如，應該是為，因為反三角函數排在指數函數之前，同理可以推出其他。三有理函數積分 有理函數： ，其中是多項式。 簡單有理函數：1 1、“拆”；2、變量代換（三角代換、倒代換、根式代換等）.第五

12、章 定積分一概念與性質1、 定義：2、 性質：（10條）( 3 )3.基本定理變上限積分：設，則推廣：NL公式：若為的一個原函數，則4.定積分的換元積分法和分部積分法二定積分的特殊性質第6章 定積分的應用一 平面圖形的面積1.直角坐標： 2.極坐標：二 體積1.旋轉體體積：a)曲邊梯形軸，繞軸旋轉而成的旋轉體的體積： b)曲邊梯形軸，繞軸旋轉而成的旋轉體的體積： （柱殼法）三.弧長1.直角坐標：2.參數方程：極坐標：第七章 微分方程一 概念1.微分方程：表示未知函數、未知函數的導數及自變量之間關系的方程.階：微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數.2.解：使微分方程成為恒等式的函數.通解：方程的解中含有任意的常數，且常數的個數與微分方程的階數相同.特解：確定了通解中的任意常數后得到的解.(1).變量可分離的方程，兩邊積分(2).齊次型方程，設，則；或，設，則(3).一階線性微分方程用常數變易法或用公式： (4).可降階的高階微分方程1、，兩邊積分次；2、（不顯含有），令，則；