1、計數原理基礎訓練A組一、選擇題1 .將3個不同的小球放入 4個盒子中，則不同放法種數有（）A. 81 B. 64 C. 12 D. 142 .從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出 3臺，其中至少有甲型與乙型電視機各1臺，則不同的取法共有（）A. 140 種 B.84 種 C.70 種 D.35 種3 . 5個人排成一排，其中甲、乙兩人至少有一人在兩端的排法種數有（）A.A3B.4A3C.A5A32慰D.A22A3A2A3A334 . a,b,c,d,e共5個人，從中選1名組長1名副組長，但a不能當副組長,不同的選法總數是（）A. 20 B. 16 C. 10 D. 65 .現有男、女學生共 8

2、人，從男生中選2人，從女生中選1人分別參加數學、物理、化學三科競賽，共有 90種不同案，那么男、女生人數分別是（）A.男生2人，女生6人B.男生3人，女生5人C.男生5人，女生3人D.男生6人，女生2人.8x 16 .在 一刀尸 的展開式中的常數項是（）2 3 xA.7B. 7C. 28D. 285.37. （1 2x） （2 x）的展開式中x的項的系數是（）A.120 B. 120C. 100 D. 100-2 n8. Jx 方 展開式中只有第六項二項式系數最大，則展開式中的常數項是（）xA. 180 B. 90 C. 45 D. 360二、填空題1 .從甲、乙，等6人中選出4名代表，那么（

3、1）甲一定當選，共有 種 選法.（2）甲一定不入選，共有 種選法.（3）甲、乙二人至少有一人當選，共有 種選法.2 . 4名男生，4名女生排成一排，女生不排兩端，則有 種不同排法.3 .由0,1,3,5,7,9這六個數字組成 個沒有重復數字的六位奇數 .4 .在(X 73)10的展開式中，X6的系數是 .5 .在(1 X2)20展開式中，如果第 4r項和第r 2項的二項式系數相等，貝U r , T4r .6 .在1,2,3,.,9的九個數字里，任取四個數字排成一個首末兩個數字是奇數的四位數，這樣的四位數有±7 .用1,4,5, x四個不同數字組成四位數，所有這些四位數中的數字的總和為

4、288，則x.8 .從1,3,5,7,9中任取三個數字，從 0,2,4,6,8中任取兩個數字，組成沒有重復數字的五位數，共有三、解答題1 .判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計算出結果(1)高三年級學生會有11人：每兩人互通一封信，共通了多少封信？每兩人互握了一次手，共握了多少次手？(2)高二年級數學課外小組 10人：從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的 選法？從中選2名參加省數學競賽，有多少種不同的選法？(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八個質數：從中任取兩個數求它們的商可以有多少種不同的商？從中任取兩個求它的積，可以得到多少個不同的積？2 . 7個排成一排，在下列

5、情況下，各有多少種不同排法? (1)甲排頭，(2)甲不排頭，也不排尾,(3)甲、乙、丙三人必須在一起, (4)甲、乙之間有且只有兩人，(5)甲、乙、丙三人兩兩不相鄰,(6)甲在乙的左邊(不一定相鄰)(7)甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序,(8)甲不排頭，乙不排當中。.一433 .解程（1）A2x 140Ax；11Cn 1128,一 21 一，一，7，一，“，4 .已知 x2 展開式中的二項式系數的和比 (3a 2b)7展開式的二項式系數的和大 x2 1nm求x2 展開式中的系數最大的項和系數量小的項.x5. (1)在(1+x)n的展開式中，若第3項與第6項系數相等，且n等于多少?n1(

6、2) xJX -= 的展開式奇數項的二項式系數之和為128,3 x則求展開式中二項式系數最大項。6 .已知(273x)50a0a1xa2x2La50x50，其中a0,a1,a2 L,a50是常數，計算2 2(a°a2adLa5o)(a1a3a5La49)Word資料綜合訓練B組一、選擇題1 .由數字1、2、3、4、5組成沒有重復數字的五位數，其中小于50000的偶數共有（）A. 60個 B. 48個C. 36個 D.24個2. 3不同的電影票全部分給 10個人，每人至多一，則有 不同分法白種數是（）A. 1260 B. 120C. 240 D. 7203. n N 且 n 55,則乘

7、積（55 n）（56 n）L （69 n）等于A. A59 nB. A65 nC. A55 nD. A14 n4.從字母a, b,c,d,e, f中選出4個數字排成一列，其中一定要選出a和b,并且必須相鄰（a在b的前面），共有排列法（）種.A.36 B. 72C. 90 D. 1445.從不同的5雙鞋中任取4只，其中恰好有1雙的取法種數為（）A.120B.240C.280D.606.把（J3i x）10把二項式定理展開，展開式的第 8項的系數是（）A.135B.135C.36073iD.360萬i1 2nB2"/m7. 2x 的展開式中，x2的系數是224,2x,1口則的系數是（）x

8、A.14 B. 28C.56D.1128.在（1 x3）（1 x）10的展開中，x5的系數是（）A.297B.252C.297D.207二、填空題1 . n個人參加某項資格考試，能否通過，有 種可能的結果？2 .以1,2,3L ,9這幾個數中任取4個數，使它們的和為奇數，則共有 種不同取法.3 .已知集合S1,0,1 ,P 1,2,3,4，從集合S,P中各取一個元素作為點的坐標，可作出不同的點共有個.4 . n,k N 且n k,若 CL：C；:C：1 1:2:3，則 n k . 51 5 . X 1展開式中的常數項有 X6 .在50件產品n中有4件是次品，從中任意抽了5件，至少有3件是次品的

9、抽法共有也（用數字作答）.7 .（X 1） （X1）2（X1）3（X1）4（X1）5的展開式中的X3的系數是8 . A 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ,則含有五個元素，且其中至少有兩個偶數的子集個數為 三、解答題1 .集合A中有7個元素，集合B中有10個元素，集合 A I B中有4個元素，集合C滿足 （1） C有3個元素；（2） C后A U B（3） CI B , C I A求這樣的集合C的集合個數.2 .計算：（1） G2,、_ 3_ 3._ 3(2 )C3C4LC10.(3)m n m 1Cn 1 Cnm mn m3,證明：Amm 1 mmAnAn 1 .C nCn,13 4 .求（

10、x 2）展開式中的常數項。x5 .從 3, 2, 1,0,1,2,3,4中任選三個不同元素作為二次函數y ax2 bx c的系數，問能組成多少條圖像為經過原點且頂點在第一象限或第三象限的拋物線？6 . 8椅子排成，有4個人就座，每人1個座位，恰有3個連續空位的坐法共有多少種提高訓練C組、選擇題3 右An46Cn ,則n的值為（）A.2.6 B.某班有7c. 8 D. 930名男生，30名女生，現要從中選出 5人組成一個宣傳小組,其中男、女學生均不少于 2人的選法為（A.-2 -2 -1C30 C20 C46B.C50 C30 C20C.C50 C30c20C30c20D.c3c2 c2c3C3

11、0C20C30C203.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本,不同的分法種數是（A._ 2 _ 2C6c4B.c；c：c2a3C. 6a34.設含有10個元素的集合的全部子集數為S,其中由3個元素組成的子集數為T ,則T的值為（S20A.-12816C128B.D若（2x2axa?x3%x則(a0 a2、2,、2a4）（a1 a3）的值為（A.1C. 0B.1D. 26.在（xny)的展開式中，若第七項系數最大，則n的值可能等于（A.13,14B. 14,15C. 12,13D. 11,12,137 .不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面 共有（A. 3

12、個C. 6個B. 4個D. 7個8 .由0,1,2,3,.,9十個數碼和一個虛數單位i可以組成虛數的個數為（A.100B. 10C. 9D. 90二、填空題1.將數字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的四個格里，每格填一個數字，則每個格的標號與所填的數字均不同的填法有 種？2 .在 AOB的邊OA上有5個點，邊OB上有6個點，加上。點共個點，以這12個點為 頂點的三角形有 個.23 .從0,1,2,3,4,5,6這七個數字中任取三個不同數字作為二次函數y ax bx c的系數 a,b,c則可組成不同的函數 中以y軸作為該函數的圖像的對稱軸的函數有 個., a x ,33, 一，94 .若一

13、 J一 的展開式中x3的系數為一，則常數a的值為x 2422225 .若 C3 C4 C5 L Cn 363，則自然數 n 6.CmCmi0Cm則c75 .7 . 0.9915的近似值(精確到 0.001)是多少？ 728 .已知(1 2x)a。 a a?xLa?x，那么 a1 a2 L a7等于多少？三、解答題1 . 6個人坐在一排10個座位上，問(1)空位不相鄰的坐法有多少種?(2) 4個空位只有3個相鄰的坐法有多少種?(3) 4個空位至多有2個相鄰的坐法有多少種 ？2 .有6個球淇中3個黑球，紅、白、藍球各1個，現從中取出4個球排成一列，共有多少種 不同的排法？3 .求(1 2x)5(1

14、 3x)4展開式中按x的降哥排列的前兩項4 .用二次項定理證明 C2n 2 8n 9能被64整除n N02n nn 15 .求證：Cn 2Cn L (n 1)Cn 2 n 26. (1)若(1 x)n的展開式中,x3的系數是x的系數的7倍，求n ；一732一.4(2)已知(ax 1)7(a 0)的展開式中，x3的系數是x2的系數與x4的系數的等差中項，求a；已知(2x xlgx)8的展開式中，二項式系數最大的項的值等于 1120，求x.參考答案計數原理基礎訓練A組一、選擇題1. B 每個小球都有4種可能的放法，即 4 4 4 642. C 分兩類：(1)甲型1臺，乙型2臺：C：C； (2)甲型

15、2臺，乙型1臺：C42c5c：c；c2c5705 23_ 5.2.33. C不考慮限制條件有與，若甲，乙兩人都站中間有A3 A3, AA3 A3為所求4. B 不考慮限制條件有 尾，若a偏偏要當副J組長有 A1, & A1 16為所求_2_135. B設男學生有x人，則女學生有8 x人，則C2c8xA33 90,即 x(x 1)(8 x) 30 2 3 5,x 314x o 11。8 r 1r1 o 8 Jr_r / 8/' 、/'8r r 3/ /、/'、8r r 36. - ATr 1C8 () ( 3)( 1)(二) C8x( 1)(二) C8x2 3 x

16、22令8 4r 0,r 6,T7 ( 1) 840 先排首末，從五個奇數中任取兩個來排列有A2 ,其余的A72,共有A2 A2 840(1)8 6C：73 2555_33_227. B (1 2x) (2 x) 2(1 2x)x(1 2x). 2c5( 2x) xCs( 2x)2333(4C； 16C；)x3 .120x38. A只有第六項二項式系數最大，則 n 10,5LTr 1 以訴10 r(馬)r 2rC；0x時 令 53r 0,r 2,T3 4C2 180 x22二、填空題 34. ._ 4_ 41. (1) 10 C510 ; (2)5 c55 ; (3) 14C6C4142. 86

17、40 先排女生有A ,再排男生有 A4,共有A4 A4 86403. 480 0既不能排首位，也不能排在末尾，即有A4 ,其余的有 A5,共有A4 A5 4804. 1890Tr 1 C1r0x10r( 3)，令 10 r 6,r 4,159Ci：x6 1890x6,-15 30 4r 1 r 115 /2、1515 305. . 4, C20xC20C20 ,4r 1 r 1 20, r 4, T16 C20( x )C20x7. 2 當x 0時，有A44 24個四位數，每個四位數的數字之和為1 4 5 x24(1 4 5 x) 288, x 2;當x 0時，288不能被10整除，即無解8.

18、 11040 不考慮0的特殊情況，有C3Ci2A-7_65_ 12000，若0在首位，則C3C4A4 960, _3_25_3_14C5 c5 A5 C5C4A412000 960 11040三、解答題1 .解：(1)是排列問題，共通了 A21 110封信；是組合問題，共握手C121 55次。(2)是排列問題，共有 A0 90種選法；是組合問題，共有C10 45種選法。(3)是排列問題，共有 A 56個商；是組合問題，共有 C228個積。2 .解：(1)甲固定不動，其余有 A乙排當中A5一次，即A 2A6 與 3720 720,即共有 A 720種；(2)甲有中間5個位置供選擇，有 A5,其余

19、有A6 720,即共有A5A6 3600種;-.3.、 一 . (3)先排甲、乙、丙三人，有 A3 ,再把該三人當成一個整體，再加上另四人，相當 5.5.3于5人的全排列，即 A5,則共有A5A； 720種；(4)從甲、乙之外的5人中選2個人排甲、乙之間，有 A2,甲、乙可以交換有 A2 , 把該四人當成一個整體，再加上另三人，相當于4人的全排列，一一.224則共有A5A2A4960種；.一 .4 一.(5)先排甲、乙、丙之外的四人，有A4 ,四人形成五個空位，甲、乙、丙三人排 一 33 4._這五個空位，有 A5,則共有A5 A4 1440種；(6)不考慮限制條件有 A；,甲在乙的左邊(不一

20、定相鄰)，占總數的一半，1即-A7 2520種；2 7(7)先在7個位置上排甲、乙、丙之外的四人，有A4,留下三個空位，甲、乙、丙4_ _三人按從高到矮，自左向右的順序自動入列，不能亂排的，即A7 840 .7. 6. 6(8)不考慮限制條件有 A7 ,而甲排頭有 A ,乙排當中有 A ,這樣重復了甲排頭，2x 1 4433.解：(1)A2x1 140Axx 3x N(2x 1)2x(2x 1)(2x 2) 140x(x 1)(x 2)x 3x N(2x 1)(2x 1) 35(x 2)x 3x N4x2 35x 69 04.解:(2)C：3 C2Cn 2 C2,n1 C：1 C2,C29 n

21、(n 1) n2 丁,nC22 C2n 722128, n821, .8 , x的通項Trx1 C8r (x2)8r( 1) x(1)C；x16 3r當r 4時，展開式中的系數最大，即 T5470x為展開式中的系數最大的項;當r 3,或5時,展開式中的系數最小，即T256x7,T656x為展開式中的系數最小的項。5.解:2(1)由已知得CnC51(2)由已知得CnCnCn . 128,2n 1128,n 8,而展開式中二項式系數最大項是T41C；(x.,x)4(31=)4 ' x70x44x2 。6.解：設 f(x) (2 6x)50,令 x 1,得加 a1a2 La50(2 J3)5

22、0(a0a2(a。 &1,a4a2得 a0 a1a2 L2La50 )(a1a3a5La50 )(a0 a1 a2 L(2 、.3)50La4一a50) (2-3)50(2 3)5° 1綜合訓練B組一、選擇題1. C 個位A；,萬位A1,其余屋，共計A1A1A3 3632. D 相當于3個兀素排10個位置，A10 7203. B 從55 n到69 n共計有15個正整數，即 A69 n 234. A 從c,d,e, f中選2個，有C4 ,把a,b看成一個整體，則 3個元素全排列，A._ 23共計C4 A336_1_25. A先從5雙鞋中任取1雙，有C5,再從8只鞋中任取2只，即

23、C8，但需要排除4種成雙的情況，即 C； 4,則共計C5(C； 4) 1206. D% C170(Qi)3( x)7 360T3ix7,系數為 360，3i7. ATr 1 C2n(2x)2n r()r 22n rC2nx2n 2，令 2n 2r 2,r n 12x3 .則 22Cnn1 224,C；n1 56,n 4 ,再令 8 2r 2,r 5工 C8x 2 4x31010310/5558. D (1 x )(1 x) (1 x) x (1 x) (C10 Cio)x. 207x .二、填空題1. 2n每個人都有通過或不通過 2種可能，共計有2 2 . 2(n個2) 2n13312. 60

24、四個整數和為奇數分兩類：一奇三偶或三奇一偶，即c5c； C53C4 603. 23C；c4a； 1 23,其中(1,1)重復了一次4. 3 n 1,k 21 5.11 一5. 51 (x -) 1的通項為Cr5(x )5r( 1)r,其中(x 一)5的通項為xxx''''Cr rx5 r,所以通項為(1)rC；C5 rx,令 5 r 2r 0-'5 r ',''得r2一,當r 1時，r 2 ,得常數為 30；當r 3時，r 1 ,得常數為 20；. . , .當 r 5 時，r 0,得常數為1；30 ( 20) ( 1)516.4

25、1863件次品，或4件次品,_3_2_4_1C4 C46 C4C4641867._5 _15 原式(X 1)1 (X 1)1 (x 1)6(xL(x- , (x 1)6中含有X4的項是 X一 2 424-.3C6X ( 1) 15x ,所以展開式中的 X3的系數是158.105 直接法：分三類，在 4個偶數中分別選2個，3個，4個偶數,其余選奇數,C95C5 C4C4105_2_3_3_2_4_1C4c5 C4C5 C4C5105；間接法:三、解答題1.解：AUB中有元素7 10 4 13_ 3_ 3_ 3C13 C6 C3286 20 1 265。22 .解：（1）原式（C100C100)A

26、idC101_ 3(2)原式C3C54c：c64C54_ 4_ 4_ 4C11C10C11330。另一法：原式 C4C3C53C10C53L C10C4 C6C130C140C130C141330Cm Cm（3）原式六號C nCm 1nCm nCm 1 nCm nCmnCmn、r -n!3.證明：左邊 (n m)!n!(n m 1)!(n 1)!(n 1) m!(nmAn 1右邊m 1) n! m n! (n m 1)!所以等式成立。64 .解：（x| 2）3 （學一，在（1 |x）6 中，|x3 的系數 C63（ 1）320XX就是展開式中的常數項。另一法：原式 MX m）6, T4 C63

27、（ 1）320卜5 .解：拋物線經過原點，得 C 0,b- a 01當頂點在第一象限時，a 0, 0,即，則有C3c4種；2a b 0當頂點在第三象限時，a 0, 0,即a 0,則有解種； 2a b 011. 2共計有C3C4 A424種。46.解：把4個人先排，有 A ,且形成了 5個縫隙位置，再把連續的 3個空位和1個空位24 2.當成兩個不同的元素去排 5個縫隙位置，有 A ,所以共計有 A4A5480種。提高訓練C組一、選擇題n! c n!6 ,n 3 4, n 7(n 3)! (n 4)! 4!23322. D 男生2人，女生3人，有C30C20;男生3人，女生2人，有C30C202

28、332共計 C30C20C30C20222223. A 甲得2本有C：,乙從余下的4本中取2本有C2,余下的C2,共計C(2C：4. B 含有10個元素的集合的全部子集數為S 210,由3個元素組成的子集數5. A為 TC30, TS2(a。 a? a4)Ci3015210128(a1a3)2(a0aa2% a4)(a0 aa2a3a4)(2.3)4 (2. 3)4 16. D 分三種情況：(1)若僅T7系數最大，則共有13項，n 12； (2)若T7與丁6系數相等且最大，則共有12項，n 11 ； (3)若T7與丁8系數相等且最大，則共有14項,n 13,所以n的值可能等于11,12,137

29、. D1 C2四個點分兩類：(1)三個與一個，有 C4； (2)平均分二個與二個，有 2, C2共計有c49 728. D 復數a bi,(a,b R)為虛數，則a有10種可能，b有9種可能，共計90種可能二、填空題9 分三類:第一格填2 ,則第二格有A3,第三、四格自動對號入座，不能自由排列;第一格填3,則第三格有.1A3,第一、四格自動對號入座，不能自由排列;第一格填4,則第撕格有A3,第二、三格自動對號入座，不能自由排列;2.165C323.4.5.6.7.8.共計有3 A3 9C63 C3165180,30 a 0, c6c6c5180;b 0,A2301328T1叱)9,(胃(1)8

30、(亭)8屹196aC33Cf C2 C2 LC3 C5LCn25!m!(5 m)!0.9560.9915 (1 0.009)52 設 f(x) (1(1)仔 a93rrC9x 至3r令 - 9 3,r 829一，a4CnC31363 1,C43 C4C5 L C2 364,364,n 136! m!(62x)n,三、解答題1.解：6個人排有A6種,7! ,mm)!10 m!(7 m)!2,C8mC820.009 10a1a2L23m 4228(0.009)2a0a1a2a71a06人排好后包括兩端共有0.0450.00081 0.956a7(12)71“間隔”可以插入空位.4 一 ，,一 ,(1)空位不相鄰相當于將 4個空位安插在上述 7個“間隔”中有C735種插法,64故空位不相鄰的坐法有Ae725200種。(