1、在實(shí)際生活中，由于問題中含有大量的主、客觀因素。許多要求與期望是模糊的，相互之間還會存在一些矛盾。所以無法單純依靠一個(gè)數(shù)學(xué)模型求解。而用完全主觀的定奪也常常表現(xiàn)為舉棋不定，而最終選擇不理想，甚至不滿意的決策方案。美國運(yùn)籌學(xué)家，T.L.Saaty等人在20世紀(jì)70年代提出了一種能有效處理這類問題的實(shí)用方法，稱之為層次分析法（AHP法）。T.L.Saaty等曾把它用于電力工業(yè)計(jì)劃，運(yùn)輸業(yè)研究，美國高等教育事業(yè)19852000展望，1985年世界石油價(jià)格預(yù)測等方面。主要特征：合理地把定性與定量的決策結(jié)合起來，合理地把定性與定量的決策結(jié)合起來，按照思維心理的規(guī)律把決策過程層次化、數(shù)量化按照思維心理的規(guī)

2、律把決策過程層次化、數(shù)量化第12章 層次分析法l運(yùn)用AHP法進(jìn)行決策時(shí)，主要分為4個(gè)步驟：(1) 分析系統(tǒng)中各個(gè)因素的關(guān)系，建立系統(tǒng)的遞建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)。階層次結(jié)構(gòu)。 (2) 對同一層次的各元素關(guān)于上一層次中某一準(zhǔn)則的重要性進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)造兩兩比較判斷構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣矩陣。(3) 針對某一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)（準(zhǔn)則），計(jì)算被比較元素計(jì)算被比較元素的相對權(quán)重的相對權(quán)重。(4) 計(jì)算計(jì)算各層元素對系統(tǒng)總目標(biāo)的合成權(quán)重合成權(quán)重，并進(jìn)行排序排序。12.1 層次分析法的基本步驟 1. 1. 建立系統(tǒng)的遞階層次模型建立系統(tǒng)的遞階層次模型l用AHP分析問題，首先要把問題條理化、層次化，構(gòu)造層次分析的結(jié)構(gòu)模型。

3、這些層次大體上可分為3類。(1) 最高層：在這一層次中只有一個(gè)元素，一般是分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此又稱目標(biāo)層、頂層。(2) 中間層：這一層次包括了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可由若干個(gè)層次組成，包括所需要考慮的準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則，因此又稱為準(zhǔn)則層。 (3) 最底層：表示為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策、方案等，因此又稱為措施層或方案層。l層次分析結(jié)構(gòu)中各項(xiàng)稱為此結(jié)構(gòu)模型中的元素。12.1 層次分析法的基本步驟 決策目標(biāo)準(zhǔn)則1方案1準(zhǔn)則m1準(zhǔn)則2子準(zhǔn)則1方案2子準(zhǔn)則2方案mr子準(zhǔn)則m212.1 層次分析法的基本步驟層次分析層次分析結(jié)構(gòu)模型結(jié)構(gòu)模型l注：層次之間的支配關(guān)系不一定是完全的，即

4、可以有元素（非底層元素）并不支配下一層次的所有元素而只支配其中部分元素。這種自上而下的支配關(guān)系所形成的層次結(jié)構(gòu)，我們稱之為遞階層次結(jié)構(gòu)。l遞階層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問題的復(fù)雜程度及分析的詳盡程度有關(guān)，一般可不受限制。 l為了避免由于支配的元素過多而給兩兩比較判斷帶來困難，每層次中各元素所支配的元素一般地不要超過9 9個(gè)，若多于9個(gè)時(shí)，可將該層次再劃分為若干子層。12.1 層次分析法的基本步驟 例例1 1 選擇科研課題:某研究單位現(xiàn)有3個(gè)科研課題，限于人力物力，只能承擔(dān)其中一個(gè)課題，如何選擇？l考慮下列因素：l成果的貢獻(xiàn)大小，對人才培養(yǎng)的作用，課題可行性。l在成果貢獻(xiàn)方面考察：應(yīng)用價(jià)值及科學(xué)意義（

5、理論價(jià)值，對某科技領(lǐng)域的推動(dòng)作用）。l在課題可行性方面考慮：難易程度（難易程度與自身的科技力量的一致性），研究周期（預(yù)計(jì)需要花費(fèi)的時(shí)間），財(cái)政支持（所需經(jīng)費(fèi)、設(shè)備及經(jīng)費(fèi)來源，有關(guān)單位支持情況等）。12.1 層次分析法的基本步驟 12.1 層次分析法的基本步驟 合理選擇科研課題A成果貢獻(xiàn)B1人才培養(yǎng)B2課題可行性B3課題D1課題D2課題D3應(yīng)用價(jià)值 C1科學(xué)意義 C2難易程度 C3研究周期 C4財(cái)政支持 C5方案層目標(biāo)層準(zhǔn)則層2.2.構(gòu)造判斷矩陣構(gòu)造判斷矩陣l上、下層之間關(guān)系被確定之后，需確定與上層某元素z（目標(biāo)A或某個(gè)準(zhǔn)則z）所支配的下層元素（x1，x2，xn)在z中的排序權(quán)重。這些權(quán)重p1，

6、p2，pn常常用百分?jǐn)?shù)表示，即滿足l方法：每次取2個(gè)元素，如xi，xj，以aij表示 xi 和 xj 對z的影響之比。這里得到的A A=(aij)nn稱為兩兩比較的判斷矩陣，簡稱判斷矩陣。12.1 層次分析法的基本步驟 niiipp11, 10lSaaty建議用19及其倒數(shù)共17個(gè)數(shù)作為標(biāo)度來確定aij的值，稱為9標(biāo)度法。其值由兩兩比較的心理習(xí)慣決定。 12.1 層次分析法的基本步驟 含義含義同重要同重要稍重要稍重要重要重要強(qiáng)重要強(qiáng)重要極重要極重要aij13579 2 4 6 8 l判斷矩陣具有如下性質(zhì)：(1) aij0(2) aij=1/aji(3) aii=1 l例如在例1中，準(zhǔn)則層B對目

7、標(biāo)層作因素兩兩比較，并可建立下面判斷矩陣： B1：B2為3 B1：B3為1 即認(rèn)為人才培養(yǎng)比另一項(xiàng)稍重要，另兩項(xiàng)相同重要。由此可得如下判斷矩陣：12.1 層次分析法的基本步驟 B1 B2 B3 B1 1 3 1 A= B2 1/3 1 1/3 B3 1 3 13.3.單層權(quán)重計(jì)算單層權(quán)重計(jì)算l采用特征根法，即采用判斷矩陣最大特征根對應(yīng)的采用特征根法，即采用判斷矩陣最大特征根對應(yīng)的歸一化特征向量為權(quán)重向量。歸一化特征向量為權(quán)重向量。(1) 求單一準(zhǔn)則下元素兩兩比較的判斷矩陣A(2) 求A的最大特征值max 及其對應(yīng)的特征向量u u(3) 將u歸一化，即12.1 層次分析法的基本步驟 niuuwn

8、iiii, 2 , 1,112.1 層次分析法的基本步驟 (4) 對判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)1) 計(jì)算判斷矩陣A的最大特征值max 2) 求一致性指標(biāo)3) 查表求相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I.4) 計(jì)算一致性比率C.R.= C.I./R.I.5) 判斷：當(dāng)C.R.0.1時(shí)，認(rèn)為A有滿意一致解，否則考慮修正判斷矩陣A1.maxnnIC矩陣階數(shù)矩陣階數(shù)345678R.I.0.580.901.121.241.321.41矩陣階數(shù)矩陣階數(shù)910111213R.I.1.451.491.511.541.56例如 ， 對例1的判斷矩陣 1 3 1 A= 1/3 1 1/3 1 3 1 (1) 計(jì)算出max=

9、3，(2) 歸一化向量u u=(3/7，1/7，3/7)T ，(3) C.I.=(max-3)/(3-1)=0，(4) C.R.=0 是一致陣。12.1 層次分析法的基本步驟 如果 1 2 5 A= 1/2 1 7 1/5 1/7 1 (1) 計(jì)算出 max=3.1189，(2) u u=(0.5415，0.3816，0.0761)T(3) C.I.=（3.1189-3）/（3-1）=0.05945 (4) 查表得R.I.=0.52(5) C.R.=0.05945/0.52=0.11430.1，應(yīng)修正判斷矩陣。12.1 層次分析法的基本步驟 4.計(jì)算各層元素對目標(biāo)層的總排序權(quán)重計(jì)算各層元素對目

10、標(biāo)層的總排序權(quán)重l層次分析法的最終目的是求得底層，即方案層各元素關(guān)于目標(biāo)層的排序權(quán)重。l層次總排序過程：計(jì)算同一層次所有因素對于最高層（總目標(biāo)）相對重要性的排序權(quán)值。l從最高層到底層逐層進(jìn)行：l設(shè)已算出第k-1層上nk-1個(gè)元素相對于總目標(biāo)的排序?yàn)?w(k-1)=(w1(k-1)，w2(k-1)，w n (k-1)T12.1 層次分析法的基本步驟 k-1l第k層nk個(gè)元素對于第k-1層上第j個(gè)元素為準(zhǔn)則的單排序向量l u uj(k)=(u1j(k)，u2j(k)，un j(k)T l其中不受第j個(gè)元素支配的元素權(quán)重取零，于是可得到nknk-1階矩陣 u11(k) u12(k) u1n (k)

11、U(k)= u21(k) u22(k) u2n (k) un 1(k) un 2(k) un n (k)12.1 層次分析法的基本步驟 k kkkk-1k-1k-1l第k層上各元素對總目標(biāo)的總排序w(k)為 w(k)=U(k)w(k-1) w(k)=U(k)U(k-1) U(3)w(2)w(2)為第二層上元素對目標(biāo)的排序（即是單層排序）l整體一致性檢驗(yàn)l由高層向下逐層進(jìn)行檢驗(yàn)C.I.的計(jì)算公式為：R .I.的計(jì)算公式為：一致性比率為：12.1 層次分析法的基本步驟 k11)()1()(.knjkjkjkICwIC11)()1()(.knjkjkjkIRwIR)()()(.kkkIRICRC1.

12、某工廠有一筆企業(yè)留成利潤，要決 定如何使用。 供選擇方案： 作獎(jiǎng)金，集體福利設(shè)施，引入設(shè)備技術(shù) 建立如下層次分析模型：12.2 應(yīng)用舉例目標(biāo)層：準(zhǔn)則層C：方案層P：合理使用留成利潤 A改善職工生活條件C3提高技術(shù)水平C2調(diào)動(dòng)職工積極性C1引進(jìn)設(shè)備技術(shù)P3福利P2獎(jiǎng)金P112.2 應(yīng)用舉例A-C判斷矩陣: A C1 C2 C3 w(2) C1 1 1/5 1/3 0.105 C2 5 1 3 0.637 C3 3 1/3 1 0.258 max=3.038 ，歸一化特征向量w(2) C.I.=0.019 ， C.R.=0.032760.1 滿意的一致性12.2 應(yīng)用舉例C1-P: C1 P1 P

13、2 U1(3) P1 1 1/3 0.25 P2 3 1 0.75 max=2 C.I.=0 12.2 應(yīng)用舉例C2-P: C2 P2 P3 U2(3) P2 1 1/5 0.167 P3 5 1 0.833max=2 C.I.=012.2 應(yīng)用舉例C3-P: C3 P1 P3 U3(3) P1 1 2 0.667 P2 1/2 1 0.333 max=2 C.I.=0 12.2 應(yīng)用舉例 0.25 0 0.667 U(3)= 0.75 0.167 0.333 0 0.833 0w(3)=U(3)w(2)=(0.198，0.271，0.531)T得到P3優(yōu)于P2又優(yōu)于P1，從分配上可以用53.1%來引進(jìn)新設(shè)備、新技術(shù)；用19.8%來發(fā)獎(jiǎng)金；用27.1%來改善福利。12.2 應(yīng)用舉例2.2.層次分析法對于下面幾種情況的優(yōu)化問題特別適用：問題中除可計(jì)量的量外，還存在不可計(jì)量的量時(shí)，可用AHP通過對不可計(jì)量的量與可計(jì)量的量的相對比較，而獲得相對的量測；當(dāng)優(yōu)化問題的結(jié)構(gòu)難以事