1、精選優質文檔-傾情為你奉上解三角形 需掌握的知識點1、兩角和與差的正弦、余弦、正切2、正弦定理、余弦定理3、解三角形應用要點一、三角形中的邊與角之間的關系約定：的三個內角、所對應的三邊分別為、.1邊的關系：(1) 兩邊之和大于第三邊：，；兩邊之差小于第三邊：，；(2) 勾股定理：中，.2角的關系：中，,=（1）互補關系：（2）互余關系：3直角三角形中的邊與角之間的關系中，（如圖），有：，.要點二、正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等即：（為的外接圓半徑）2. 余弦定理：三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即： 要點

2、詮釋：（1）正弦定理適合于任何三角形；每個等式可視為一個方程：知三求一.（2）利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題： 已知兩個角及任意邊，求其他兩邊和另一角； 已知兩邊和其中邊的對角，求其他兩個角及另一邊.（3）利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個角；已知三角形的三條邊，求其三個角.(4) 利用余弦定理判斷三角形形狀：勾股定理是余弦定理的特殊情況，.在中，所以為銳角；若，同理可得角、為銳角.當，都成立時，為銳角三角形在中，若，所以為鈍角，則是鈍角三角形同理：若，則是鈍角三角形且為鈍角； 若，則是鈍角三角形且為鈍角要點三、解斜三角形的類型1

3、.已知兩角一邊，用正弦定理，有解時，只有一解.2.已知兩邊及其一邊的對角，用正弦定理，有解的情況可分為以下情況，在中，已知和角時，解的情況如下： (1)若A為銳角時：如圖：(2)若A為直角或鈍角時：3.已知三邊，用余弦定理有解時，只有一解.4.已知兩邊及夾角，用余弦定理，必有一解.要點詮釋：1在利用正弦定理理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有時可能出現一解、兩解或無解情況，應結合圖形并根據“三角形中大邊對大角”來判斷解的情況，作出正確取舍.2在判斷三角形的形狀時，一般將已知條件中的邊角關系利用正弦定理或余弦定理轉化為角角關系或邊邊關系，再用三角變換或

4、代數式的恒等變換（如因式分解、配方等）求解，注意等式兩邊的公因式不要約掉，要移項提取公因式，否則會漏掉一種形狀的可能要點四、三角形面積公式 1（表示邊上的高）；2；3；4；5. 要點五、實際問題中的常用角1. 仰角和俯角與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角，如圖所示：2.方位角：一般指正北方向線順時針到目標方向線的水平角. 方位角的取值范圍為0360.如圖，點的方位角是。3. 坡角和坡度坡面與地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度或者，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。小結反思為了在三角

5、函數題上盡量拿高分，必須熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個公式的意義、應用特點、常規使用方法等；熟悉三角變換常用的方法（切化弦法、降冪法、角的變換法）；掌握三角變換公式在三角形中的應用特點，并能結合三角形的公式解決一些實際問題，熟練掌握正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像和性質，并能畫出函數圖像；理解圖像平移變換、伸縮變換的意義，并會用這兩種變換研究函數圖像的變化，只要好好掌握這些內容，三角函數題就一定可以拿高分。注意幾種常見的角的變換：(1)=(+)-=(-)+；(2)2=(+)+(-)；(3)2=(+)-(-)；(4)2+=+(+).一、知識點回顧1、 選擇題1.在ABC中，若,BC=3，

6、 ,則AC= （ ）（A）1（B）2（C）3（D）42.在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c。若，則角B的值為（ ）A B C或 D或3ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1-sinA）,則A=（A）（B）（C）（D）4.ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數列，且c=2a，則cosB=（）ABCD5. 為測量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的樓頂上測得塔頂A的仰角為30，測得塔基B的俯角為45，那么塔AB的高度是（ ）A B C D30 m6. ABC中，為銳角，則ABC是（ ）、等腰三角形 B、直角三角形C

7、、等腰或直角三角形 D、等腰直角三角形7ABC的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，如果2b=a+c，B=30，ABC的面積為，那么b等于（ ）A B C D二、填空題 8在ABC中，若，則C=_9. 在銳角ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c。若，則的值是_10. 在相距2千米的A、B兩點處測量目標點C，若CAB=75，CBA=60，則A、C兩點之間的距離為_千米。11.在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，若S表示ABC的面積，若acosB+bcosA=csinC，則B=三、解答題12.設ABC的內角A，B，C的內角對邊分別為a，b，c，滿(a+b+c)(a-b+c)=

8、ac（）求B（）若sinAsinC=，求C13. 在ABC中，角A、B、C所過的邊分別為a、b、c且。（1）求的值；（2）若，求bc的最大值.14設ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且，b=2。（1）當時，求角A的度數；（2）求ABC面積的最大值。15在銳角ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足.（1）求角B的大??；（2）設，求的取值范圍.二、典型例題例1. 在ABC中，AB2，AC3，則BC()A. B. C D. 【變式1】如圖，在ABC中，D是邊AC上的點，且AB=AD，BC=2BD，則sinC的值為（ ）A B C D【變式2】在ABC中，內角A，B，C

9、的對邊分別是a，b，c。若，則A=（ ）【變式3】已知ABC的三邊長分別為AB=7，BC=5，CA=6，則的值為_例2. 在中，試確定滿足下列條件的三角形的形狀。（1）； （2）；（3），且.【變式1】已知ABC中,bsinB=csinC,且,試判斷三角形的形狀【變式2】在中，已知，試判斷的形狀例3. 在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求的值；（2）若，b=2，求ABC的面積S.例4. 在ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且.（I）證明：；（II）若，求.【變式1】ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c向量與平行（）求A；（）若a=，b=2，求

10、ABC的面積【變式2】在ABC中，a, b, c分別為內角A, B, C的對邊，且 （）求A的大??；（）求的最大值.例5. 如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點. 現位于A點北偏東45，B點北偏西60的D點有一艘輪船發出求救信號，位于B點南偏西60且與B點相距海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里小時，該救援船到達D點需要多少時間？課后復習鞏固1. 在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c， 角A，B，C成等差數列。（1）求cosB（2）邊A，B，C成等比數列，求sinAsinC的值。2. 已知向量，（1）求函數的單調區間；（2）當時，對任意，不等式恒成立，

11、求m的取值范圍。3.已知ABC的內角A，B，C的對邊分別為a,b,c，若，且ABC的面積為1+，則b的最小值（ ）4.等腰ABC中，BD為邊AC上的中線，且BD=3，則ABC面積的最大值為（ ）【參考答案與解析】1. 【答案】A【解析】由余弦定理得13=9+AC2+3AC,得AC=1，選A.2.【答案】D【解析】，結合已知等式得，故選D。3.【答案】C【解析】由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=2b2-2b2cosA=2b2（1-cosA），因為a2=2b2（1-sinA），所以cosA=sinA，因為cosA不等于0，所以tanA=1,因為A是三角形內角，所以A=。4.【答案】B

12、【解析】ABC中，a、b、c成等比數列，且c=2a，則b=a，=，故選B5.【答案】A【解析】如圖所示，由已知得四邊形CBMD為正方形，而CB=20 m，BM=20 m又在RtAMD中，DM=20 m，ADM=30，6. 【答案】D 【解析】由，解出，得B=45，A=135-C，又由，解出，由正弦定理得，即展開整理得，.7.【答案】B 【解析】2b=a+c，平方得a2+c2=4b22ac，又且B=30，得ac=6，a2+c2=4b212，由余弦定理得又b0，解得。8. 【答案】 【解析】由正弦定理得，解得，由ab得AB，所以，則9. 【答案】4 【解析】利用正、余弦定理將角化為邊來運算，由余弦

13、定理得，。而.10. 【答案】 【解析】ACB=1807560=45，由正弦定理得，.11.【答案】45【解析】由正弦定理可知a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC，acosB+bcosA=csinC，sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，即sin（A+B）=sin2C，A+B=csin（A+B）=sinC=sin2C，0CsinC0sinC=1C=90S=b2+a2=c2，=b2=a=bABC為等腰直角三角形B=45故答案為4512.【解析】（I）(a+b+c)(a-b+c)=(a+c)2-b2=ac，a2+c2-b2=-ac，cosB=，又B為三角形的內角，則

14、B=120；（II）由（I）得：A+C=60，sinAsinC=，cos(A+C)=，cos(AC)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosCsinAsinC+2sinAsinC=cos(A+C)+2sinAsinC=+2=，AC=30或AC=30，則C=15或C=4513. 【解析】（1） （2）由余弦定理：,又，故,當且僅當時，故bc的最大值是.14【解析】（1）因為，所以.因為，b=2，由正弦定理可得.因為ab，所以A是銳角，所以A=30.（2）因為ABC的面積，所以當ac最大時，ABC的面積最大.因為，所以.因為a2+c22ac，所以，所以ac10（當且僅當時等號成立），所

15、以ABC面積的最大值為3.15. 【解析】（1）由因為，所以.（2）由（1）可推得，又ABC是銳角三角形，所以，故.因為，所以.因為，所以，故.【典型例題】類型一、利用正弦、余弦定理解三角形例1. 在ABC中，AB2，AC3，則BC()A. B. C D. 【思路點撥】畫出示意圖，注意向量數量積的夾角是.【答案】A【解析】， ,，由余弦定理有，從而BC.【總結升華】本題主要考查余弦定理以及三角形中有關的向量和三角函數的應用.舉一反三：【變式1】如圖，在ABC中，D是邊AC上的點，且AB=AD，BC=2BD，則sinC的值為（ ）A B C D【答案】D【解析】設BD=1，則，BC=2.在ABC

16、中，解得，在ABC中，由正弦定理，得，故選D.【變式2】在ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c。若，則A=（ ）A30 B60 C120 D150【答案】A【解析】，在ABC中，A=30.【變式3】已知ABC的三邊長分別為AB=7，BC=5，CA=6，則的值為_【答案】【解析】由余弦定理可求得，.例2. 在中，試確定滿足下列條件的三角形的形狀。（1）； （2）；（3），且.【思路點撥】（1）考慮用正弦定理將邊化為角；（2）正弦、余弦定理都可以選用；（3）由可以先化簡，再考慮用余弦定理.【解析】（1）由得，整理得：即，同理可得，所以為等邊三角形.（2）方法一：化邊為角由正弦定理得：即，

17、即 或，即或故為等腰三角形或直角三角形。方法二：化角為邊由余弦定理得整理得：，即或故為等腰三角形或直角三角形。（3） 即, 又 ，即即 故是正三角形.【總結升華】依據正、余弦定理定理的結構特點，若在式子中出現的為與邊相關的一次式，則一般多用正弦定理，如果利用余弦定理，將角的關系轉化為邊的關系，則需要有較高的恒等變形能力（比如第2小題）；若在式子中出現的為與邊相關的二次式，則一般多用余弦定理.舉一反三：【變式1】已知ABC中,bsinB=csinC,且,試判斷三角形的形狀【答案】為等腰直角三角形【解析】bsinB=csinC,由正弦定理得 sinB=sinC， sinB=sinC B=C由 得

18、三角形為等腰直角三角形【變式2】在中，已知，試判斷的形狀【答案】為直角三角形【解析】 由及余弦定理得整理得：即， ， 即或，為直角三角形類型二、解三角形及其綜合應用例3. 在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求的值；（2）若，b=2，求ABC的面積S.【思路點撥】（1）利用正弦定理把題設等式中的邊轉化成角的正弦，整理后求得sinC與sinA的關系式，則的值可得；（2）先通過余弦定理可求得a和c的關系式，同時利用（1）中的結論和正弦定理求得a和c的另一個關系式，最后聯立求得a和c，利用三角形面積公式即可得面積S.【解析】（1）由正弦定理，設，則，所以.即，化簡可得sin

19、（A+B）=2sin（B+C）.又A+B+C=，所以sinC=2sinA.因此.（2）由得c=2a.由余弦定理b2=a2+c22ac cosB及，b=2，得，解得a=1，從而c=2.又因為，且0B，所以.因此.【總結升華】處理三角形中的三角函數求值時，要注意角的范圍與三角函數符號之間的聯系與影響.本題主要考查了解三角形和三角函數中恒等變換的應用，考查學生的基本分析能力及計算能力.舉一反三：【變式1】在中，所對的邊長分別為，設滿足條件和，求和的值【解析】由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180AB=120B.由已知條件，應用正弦定理解得從而【變式2】中， ，則的周長為（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 .例4. （2016 四川高考）在ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且.（I）證明：；（II）若，求.【思路點撥】（）根據正弦定理對原式進行化簡，再使用兩角和差公式即可；（）根據已知，利用余弦定理先求cosA、，再根據，求tanB即可?！窘馕觥浚↖）證明：由正弦定理可知原式可以化解為和為三角形內角 , 兩邊同時乘以，可得由和角公式可知，原式得證。（II）由題,根據余弦定理可知， 為三角形內角， 則，即 由（I）可知， 【總結升華】有關三角形