1、用好法向量，巧解高考題為了和國際數學接軌，全日制普通高級中學教科書中增加了向量的內容，隨著課程改革的進行，向 量的應用將會更加廣泛，這在2004年高考數學試題中得到了充分的體現。向量在研究空間幾何問題中為學生提供了新的視角，但在教學中，我們的應用還不夠， 特別是法向量的應用，教科書中只給了一個概念：如果非零向量 ，那么 叫做平面 的法向量，實質上，法向量的靈活應用，將使得原本很繁瑣的推理，變得思路清晰且規范。本文將介紹法向量在空間幾何證明、計算中的應用。（一）直線 的方向向量和平面 的法向量分別為 ，則直線 和平面 所成的角 等于向量 所成的銳角（若所成的角為鈍角，則為其補角）的余角，即 。(

2、2003全國（理）18題) 如圖，直三棱柱中，底面是等腰直角 三角形, ，側棱，分別是與的中點，點在平面上的射影是的重心，（）求與平面所成角的大小（結果 用反三角函數值表示）；（）求點到平面的距離。（）解：以為坐標原點，建立如 圖所示的坐標系，設，則， ， ， ， ， ， , ， ， ，由 得， ， ， ， ，設平面的法向量為 ，則 ， ，由， 得，令 得， ，平面 的一個法向量為 ， 與的夾角的余弦值是 ， 與平面所成角為 。當直線與平面平行時，直線與平面所成的角為，此時直線的方向向 量與平面的法向量垂直，我們可利用這一特征來證明直線與平面平行。（二）如果不在平面內一條直線與平面的一個法向量

3、垂直，那么這條直線和這個平面平行。（2004年高考湖南（理）19題）如圖，在底面是菱形的四棱錐中， , ，點在上，且 ，（I）證明： ；（II）求以為棱， 與為面的二面角的大小；（）在棱上是否存在一點，使？證明你的結論。（）解：以為坐標原點，直線分別為軸、軸，過點垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐 標系（如圖），由題設條件，相關各點的坐標分別為， ， ， ，設平面的法向量為，則由題意可知， ，由 得， 令得， ，平面的一個法向量為 設點是棱上的點，則，由 得， ， 當是棱的中點時， 。同樣，當直線與平面垂直時，直線與平面所成的角為，此時直線的方向向 量與平面的法向量平行，我們可利用這一特征來證

4、明直線與平面垂直。（三）設二面角的兩個半平面和的法向量分別為，設二面角的大小為，則二面角的平面角 與兩法向量所成的角相等或互補，當二面角的銳角時， ；當二面角為鈍角時， 。我們再來看2004年高考湖南（理）19題：（）解：由題意可知， , , 為平面的一個法向量，設平面的法向量為 ，則由題意可知， ,由 得， 令 得， ，平面的一個法向量為，向量與夾角的余弦值是 ， ，由題意可知，以為棱，與為面的二面角是銳角，所求二面角的大小為 。我們知道當兩個平面的法向量互相垂直時，兩個平面所成的二面角為直角，此時兩個平面垂直，我 們可用這一特征來證明兩個平面垂直。（四）設兩個平面和的法向量分別為，若，則這

5、兩個平面垂 直。（1996年全國（文）23題）在正三棱柱中， ， 分別是上的點，且 ，求證：平面平面 。證明：以為坐標原點，建立如 圖所示的坐標系，則 ， ， ， ， ， ，設平面的法向量為 ，則由題意可知，由 得， 令得， ，平面的一個法向量為 ，由題意可知，平面的一個法向量為 平面平面 （五）設平面的法向量為，是平面外一點， 是平面內一點，則點到平面的距離等于在法向量上的投影的絕對值， 即 。我們再來看2003年全國（理）18題：（）解：設 ，則 ， ， ， ， ， ，設平面 的法向量為 ，則 ， ，由 ， 得，令 得， ，平面的一個法向量為 ，而 ，點 到平面的距離 。我們知道直線與平面

6、、兩個平面的距離都歸結為點到平面的距離，故此法同樣可以解決直線與平 面、兩個平行平面的距離。（六）設向量與兩異面直線都垂直（我們也把向 量稱為兩異面直線的法向量），分別為異面直線上的點，則兩異面直 線的距離等于法向量上的投影的絕對值， 即。（1999年全國（理）21題）如圖，已知正四棱柱中，點在棱上，截面 ，且面與底面所成的角為 ，求異面直線與之間的距離。解：以為坐標原點，建立如 圖所示的坐標系 ，連結交于 ，連結 ，則就是面 與底面所成的角的平面角，= ， 又截面 ，為的中點， 為的中點， ，則 ， ， ， ， ，設向量 與兩異面直線都垂直，由 ，得， ， ，異面直線與之間的距離 前面介紹了利用法向量解決空間幾何的證明與計算問題，實現了幾