1、電容、部分電容與工作電容兼答實驗1的思考題2陳德智（1）電容兩個導體之間存在電容。電容的因果關系是這樣的：如果導體帶電，則在空間產生電場；電場的分布使得兩導體出現一定的電位差，其值U與導體帶電量q成正比。電容C即定義為導體帶電量q與電壓U的比值。因此，電容是對電場的一種集中參數化的描述。只要電場的分布是確定的，兩導體之間的電容也是確定的。任意兩個導體，無論形態差異多大，都有電容存在。此外，需要說明一點，如果空間只有兩個導體，則隱含著兩導體帶電量必然為和，以滿足電荷守恒定律。當討論多個導體時，各導體的電荷總量也必須滿足。當系統中出現第三個導體時，用部分電容描述導體兩兩之間的關聯關系。為敘述方便，

2、把原來的兩個導體編號為1、2，把第三個導體編號為0。此時，導體1、2之間出現部分電容C12，對電路來說還有工作電容Cp。討論三個電容值C、C12和Cp的數值關系是一個饒有趣味的話題。（2）工作電容圖1 工作電容首先考察工作電容Cp的含義。無疑，如果只有一對導體（編號1、2），將其接入電路中，那么工作電容Cp就等于電容C，即導體帶電量q與電壓U的比值：。設若保持兩導體的帶電量q不變，而在場中另外放置一個不帶電的導體（編號為0），則第三個導體0的出現必然改變空間電場的分布，從而導致電壓U發生變化，設新的電壓值為。對于連結兩個導體1、2的電路來說，它并不知道場中具體發生了什么變化，它只關心導體上的電

3、荷與導體之間電壓的比值，對它而言，工作電容為。換言之，工作電容就是，在介質中可能存在其它不帶電導體的情況下，兩個帶電導體的電荷q與電壓U的比值；當不存在其它導體的時候，工作電容Cp就是普通的電容C。如圖1，工作電容；設0號導體不帶電，則導體1、2帶電量分別為、。根據部分電容公式，有：又，由電容C10和C20的串聯關系得：故：從而：?，F在分析Cp與C的大小關系。前面說到，Cp的改變在于0號導體（電荷為0）的引入改變了空間電場的分布，從而改變了導體1、2之間的電壓。當0號導體位于無限遠處時，它對電場的影響忽略不計，因此也就不改變導體1、2之間的工作電容，Cp=C。當0號導體逐漸移近時，保持導體1、

4、2帶電量q不變，我們考察1、2號導體之間的電壓U12的變化。(a) 沒有0號導體時(b) 有0號導體時圖2 0號導體的引入改變了1、2之間的空間電場為計算U12，可以取連結導體1、2表面的任意一條路徑對電場E積分，如圖2(a)中的l1和l2。為便于分析，設l1的端點a和b分別為導體1、2表面電場強度E最大的點，我們知道，該點的電場強度，、為導體表面的自由電荷面密度。顯然，、也分別為導體1和導體2表面電荷面密度的最大值。當0號導體逐漸移近時，如圖2(b)，由于0號導體上感應電荷的影響，導體1上的電荷分布發生改變，a點的部分電荷向靠近0號導體的位置（例如圖中的c點附近）轉移，這樣變??；類似的，也變

5、小，從而沿路徑l1上的電場強度E都變小，導致積分量變小，因此，工作電容變大。0號導體對工作電容的影響還可以這樣理解：兩導體之間的電容取決于導體的表面積和它們之間的距離。當引入第三個導體時，部分介質被短路，因而縮短了導體1、2之間的“電距離”，從而使等效電容增大。從力和能量的角度看，導體系統的總能量可表示為；當0號導體向導體1、2組成的系統靠近時，它受到系統的吸引力，因此電場做正功，從而電場能量減少，也得出Cp增大的結論。綜上，可以得出結論：引入其他導體時，工作電容。使用大于等于號“”，是因為存在這樣的情形：引入的導體表面剛好填充原來的等位面，則不改變原來的電場分布。讀者可以自己尋找這樣的例子。

6、圖3 部分電容的計算（2）部分電容C12根據部分電容的公式，如果將導體1跟導體0短接，即令，則需要注意這個公式和工作電容計算公式的區別。計算工作電容Cp時，0號導體不帶電；而計算部分電容C12時，0號導體帶電，它與1號導體帶電總量為q。0號導體的帶電量可以看做是與1號導體短接后分走的部分電荷。設導體2帶電量仍為，則1號導體剩余的帶電量為。三個導體帶電總量仍為0，如圖3所示?？梢钥隙?，當0號導體逐漸靠近導體1、2時，它分得的電荷逐步增多，導體1帶電量逐步減少，電壓也隨之下降。因此，要想保持不變，唯一的辦法是增大電壓，因此0號導體的靠近使部分電容C12減小。0號導體分走的電荷量，在特定條件下可以是

7、全部電荷q，從而使C12減小到0（參見下文的算例1）；但是，即使0號導體位于無限遠處，仍可能有，即（參見下文算例2、算例3）。（3）算例驗證（以下推導全部用Mathematica完成）圖4 平行板電容器算例1：在1、2兩個導體組成的平行電容器中，插入一個導體板（編號為0），分析工作電容和部分電容。參數如圖4所示，設極板面積為S；忽略邊緣效應。解：沒有導體0時，電容。插入導體0后，如果保持導體1、2帶電量不變，而導體0不帶電，則極板表面的電荷面密度也不改變，從而極板間電場E保持不變，1、2之間的電壓降變為，因此，工作電容可見，導體0的插入，相當于等效地減小了極板間距d。為計算部分電容C12，我們

8、將1號導體與0號導體短接，此時電壓；導體1、0之間無電場，從而導體1帶電量，這個結果不因導體2無論帶電量多少、電位多少而改變，因此部分電容。它說明，導板1、2之間的電相互作用被導體0完全隔斷了！這就是靜電屏蔽的效果。當1號導體與0號導體短接時，導體1上的電荷q全部跑到導體0上；導體0、2之間的電壓。由部分電容公式，得到。同理得到。從電路的角度看，圖4中的工作電容可以看做是與的串聯，計算得到與前面結果相等。這是一個的例子，我們看到了。算例2：如圖5，計算距地面高度為h的兩平行長直輸電線之間的部分電容與工作電容，設導線半徑為a，導線間距為d，。（教材128頁，例3.21）。圖5 距地面高度為h的兩

9、平行長直輸電線解：不考慮地面影響時，根據例3.19的結論，單位長度輸電線之間的電容為?？紤]地面影響時，對電勢系數矩陣求逆，得到單位長度輸電線之間的部分電容為，工作電容為。當參數取h= 10m，d= 2m，a= 1cm時，計得，。，與我們前面的定性分析相符（書上給出的計算結果誤差稍大）。當h變小時，的關系會更加明顯。例如，取h=0.1m，其它參數不變，得到，。當h非常大，例如大到10100m，其它參數不變，得到，（）。可見，地面作為一個無限大的導體平面，其影響是非常顯著的。算例3：把上例中的長直圓柱導體改為半徑為a的兩個導體球，其它參數不變。解：兩個導體球之間的電場分布不能用單一鏡像法計算，但是

10、，如果兩球距離遠大于其半徑，則可將電荷近似看做是位于球心處來計算空間電場的分布。容易得到：（1）沒有地面時的電容當地面不存在時，設導體帶電量為，則導體電位分別為所以兩球之間電壓為兩球之間的電容為工作電容與C相同。圖6帶電導體球對地面的鏡像（2）存在地面時的電容存在地面時，使用鏡像法求解電場分布，仍然將電荷近似位于球心處。導體球電位分別為所以兩球之間電壓為故工作電容為為計算部分電容，我們令兩導體球帶同樣的電荷q，此時，。由于對稱性，有故，根據部分電容公式，有故由，得到圖7給出了隨著h增大時，工作電容Cp和部分電容C12的變化情況。(a) Cp隨h增大時的變化(b) C12隨h增大時的變化情況圖7隨h增大時，工作電容Cp和部分電容C12的變化（注意：為便于作圖，縱坐標用進行了歸化）可以看到，0號導體的引入，使得工作電容增大。隨著h的增大，0號導體逐漸遠離，影響減弱，減小。當時，在意料之中。隨著h的增大0號導體逐漸遠離，部分電容迅速增大，但是，當時，并不收斂到C，而是。這說明，盡管0號導體遠離導體1和2，如果將它與導體1相連，它還是可以分走導體1上的相當一部分電荷。本題中當大地位于無限遠時，還有一種方法計算。我們應該記得點電荷在接地導體球1上引起的感應電荷