1、第九章 空間解析幾何一、本章學習要求與內容提要（一）學習要求1理解空間直角坐標系的概念,掌握兩點間的距離公式. 2理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、方向余弦概念. 3理解向量的加法、數乘、數量積與向量積的概念. 4理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標表示，熟練掌握用向量的坐標表示進行向量的加法、數乘、數量積與向量積的運算. 5理解平面的點法式方程和空間直線的點向式方程（標準方程）、參數方程，了解平面和空間直線的一般式方程. 6理解曲面及其方程的關系，知道球面、柱面和旋轉曲面的概念，掌握球面、以坐標軸為旋轉軸、準線在坐標面上的旋轉曲面及以坐標軸為軸的圓柱面和圓錐面的方程及

2、其圖形. 7了解空間曲線及其方程，會求空間曲線在坐標面內的投影. 8了解橢球面、橢圓拋物面等二次曲面的標準方程及其圖形. 重點 向量的概念，向量的加法、數乘、數量積與向量積的概念，用向量的坐標表示進行向量的加法、數乘、數量積與向量積的運算，平面的點法式方程，空間直線的標準式方程和參數方程，球面、以坐標軸為軸的圓柱面和圓錐面方程及其圖形，空間曲線在坐標面內的投影. 難點 向量的概念，向量的數量積與向量積的概念與計算，利用向量的數量積與向量積去建立平面方程與空間直線方程的方法，利用曲面的方程畫出空間圖形. （二）內容提要 1. 空間直角坐標系 在空間,使三條數軸相互垂直且相交于一點，這三條數軸分別

3、稱為軸、軸和軸，一般是把放置在水平面上，軸垂直于水平面.軸的正向按下述法則規定如下：伸出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向軸的正向，然后讓四指沿握拳方向旋轉900指向軸的正向，這時大拇指所指的方向就是軸的正向(該法則稱為右手法則).這樣就組成了右手空間直角坐標系.在此空間直角坐標系中，軸稱為橫軸，軸稱為縱軸，軸稱為豎軸，稱為坐標原點;每兩軸所確定的平面稱為坐標平面，簡稱坐標面.軸與軸所確定的坐標面稱為坐標面，類似地有坐標面，坐標面。這些坐標面把空間分為八個部分，每一部分稱為一個卦限.在空間直角坐標系中建立了空間的一點與一組有序數之間的一一對應關系。有序數組稱為點的坐標；分別稱為坐標，坐標

4、，坐標.2. 向量的基本概念向量的定義既有大小，又有方向的量，稱為向量或矢量向量的模向量的大小稱為向量的模，用或表示向量的模單位向量模為1的向量稱為單位向量零向量模為的向量稱為零向量，零向量的方向是任意的.向量的相等 大小相等且方向相同的向量稱為相等的向量.自由向量 在空間任意地平行移動后不變的向量,稱為自由向量.向徑終點為的向量稱為點的向徑,記為.3. 向量的線性運算 向量的加法 三角形法則若將向量的終點與向量的起點放在一起，則以的起點為起點，以的終點為終點的向量稱為向量與的和向量，記為.這種求向量和的方法稱為向量加法的三角形法則. 平行四邊形法則將兩個向量和的起點放在一起，并以和為鄰邊作平

5、行四邊形，則從起點到對角頂點的向量稱為.這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則.向量的加法滿足下列運算律.交換律：=；結合律：（）+=+（+）.2 向量與數的乘法運算實數與向量的乘積是一個向量，稱為向量與數的乘積，記作，并且規定： ； 當時，與的方向相同；當時，與的方向相反； 當時，是零向量. 設都是實數，向量與數的乘法滿足下列運算律： 結合律：； 分配律： , (+)=+. 向量的加法運算和向量與數的乘法運算統稱為向量的線性運算. 求與同向的單位向量的方法 設向量是一個非零向量，則與同向的單位向量 . 負向量 當時，記(-1)=-，則-與的方向相反，模相等，-稱為向量的負向量. 向量

6、的減法 兩向量的減法（即向量的差）規定為 -= +(-1) . 向量的減法也可按三角形法則進行，只要把與的起點放在一起，-即是以的終點為起點，以的終點為終點的向量. 4. 向量的坐標表示 基本單位向量 ,分別為與軸,軸,軸同向的單位向量. 向徑的坐標表示 點的向徑的坐標表達式為=或簡記為 =.的坐標表示設以為起點,以為終點的向的坐標表達式為 =. 向量的模 =.5. 坐標表示下的向量的線性運算設，則有（1）；（2）；（3）.6. 向量的數量積定義 設向量之間的夾角為，則稱為向量的數量積，記作·，即 ·=.向量的數量積又稱“點積”或“內積”.向量的數量積還滿足下列運算律:交換

7、律：·= ·；分配律：(+)·= ·+·；結合律：(·)=()· .2 數量積的坐標表示設，,則·=.向量與的夾角余弦設，,則 = . 向量的方向余弦設 向 量 與 軸 , 軸 , 軸 的 正 向 夾 角 分 別 為 ,稱其為向量的三個方向角，并稱 ,為的方向余弦，向量的方向余弦的坐標表示為，且.7向量的向量積定義 兩個向量與的向量積是一個向量，記作×，它的模和方向分別規定如下：×= ； ×的方向為既垂直于又垂直于，并且按順序,×符合右手法則.向量的向量積滿足如下運算律.反交

8、換律：×=-×；分配律：(+)×=×+×；結合律：(×)=()×=×().向量積的坐標表示設，則 ×=.可將×表示成一個三階行列式的形式，計算時，只需將其按第一行展開即可.即×=.8.三個重要結論;0;=.其中，“”表示“充分必要條件” .平面方程平面的點法式方程如果一非零向量垂直于平面，則稱此向量為該平面的法向量.過點，以=為法向量的點法式平面方程為至少有一個不為零）.平面的一般式方程以=為法向量的一般式平面方程為 至少有一個不為零）.兩個平面的位置關系設兩個平面的方程分別為 其法向

9、量分別為=，=，有如下結論： ；. （4）平面的夾角，即為兩個平面法向量夾角，其公式為 =.（5）點到平面的距離公式為 .10. 直線方程如果一個非零向量平行于直線,則稱為直線的方向向量. 直線的標準式方程 設直線過點且以為方向向量,則直線的標準式方程(也稱為點向式方程)為 . 直線的參數方程 設直線過點且以為方向向量,則直線的參數方程為 其中為參數. 直線的一般式方程 若直線作為平面和平面的交線，則該直線的一般式方程為其中與不成比例. 兩條直線的位置關系設直線的標準方程分別為 其方向向量分別為則有 ；.11直線與平面的位置關系直線與它在平面上的投影線間的夾角，稱為直線與平面的夾角.設直線的方

10、程分別為 則直線的方向向量為，平面的法向量為，向量與向量間的夾角為，于是,所以 = . 由此可知：. ; ; .12. 曲面方程如果曲面上每一點的坐標都滿足方程，而不在曲面上的每一點坐標都不滿足方程，則稱方程為曲面方程，稱曲面為的圖形.13. 柱面直線沿定曲線平行移動所形成的曲面稱為柱面.定曲線稱為柱面的準線，動直線稱為柱面的母線.如果柱面的準線在坐標面上的方程為,那么以為準線，母線平行于軸的柱面方程就是；同樣地，方程表示母線平行于軸的柱面方程；方程表示母線平行于軸的柱面方程.一般地，在空間直角坐標系中，含有兩個變量的方程就是柱面方程，且在其方程中缺哪個變量，此柱面的母線就平行于哪一個坐標軸.

11、例如，方程分別表示母線平行于軸的橢圓柱面、雙曲柱面和拋物柱面.14. 旋轉曲面定義 一平面曲線繞與其在同一平面上的直線旋轉一周所形成的曲面稱為旋轉曲面，曲線稱為旋轉曲面的母線，直線稱為旋轉曲面的軸.母線在坐標面上，繞某個坐標軸旋轉所形成的旋轉曲面設在坐標面上有一條已知曲線，它在坐標面上的方程是，母線繞軸旋轉一周所形成的旋轉曲面的方程為.由此可見，只要在坐標面上曲線的方程中把換成，就可得到曲線繞軸旋轉的旋轉曲面方程.同理，曲線繞軸旋轉的旋轉曲面方程為.對于其他坐標面上的曲線，用上述方法可得到繞此坐標平面上任何一條坐標軸旋轉所生成的旋轉曲面.15. 二次曲面在空間直角坐標系中,如果是二次方程,則它

12、的圖形稱為二次曲面.下面給出幾種常見的曲面方程： 球面方程以為球心，為球半徑的球面方程為 . 圓柱面方程設一個圓柱面的母線平行于軸，準線是在坐標面上的以原點為圓心，為半徑的圓，即準線在坐標面上的方程為，其圓柱面方程為. 錐面方程頂點在原點，對稱軸為軸的圓錐面方程為. 橢圓拋物面方程橢圓拋物面方程為 ,當時，原方程化為，它由拋物線繞軸旋轉而成，稱為旋轉拋物面. 橢球面方程橢球面方程為 ,其中稱為橢球面的半軸. 16.空間曲線在坐標面上的投影 設空間曲線的方程為過曲線上的每一點作坐標面的垂線,這些垂線形成了一個母線平行于軸的柱面,稱為曲線關于坐標面的投影柱面.這個柱面與坐標面的交線稱為曲線在坐標面

13、的投影曲線，簡稱為投影.在方程組中消去變量，得 ，方程就是曲線關于坐標面的投影柱面方程.它與坐標面的交線就是曲線在坐標面的投影曲線方程. 二、主要解題方法1向量的運算例1 設向量=4-4+7的終點的坐標為(2,1,7).求 (1)始點的坐標；(2)向量的模；(3)向量的方向余弦；(4)與向量方向一致的單位向量.解 （1）設始點的坐標為 ，則有 ， ,，得 =2 , =3 , =0 ;(2) =9;(3) cos= , cos , cos ;(4) o=(44+7).例2 已知向量與向量=及軸垂直，且，求出向量.解 因為，（垂直于軸），故與向量平行.由兩向量平行的充要條件，可寫成，即=.由題設，

14、得=2 ， ，,從而得 =，或 =.2 建立平面方程與直線方程的方法例3 求平行于軸，且過點與的平面方程.解一 利用向量運算的方法。關鍵是求出平面的法向量.因為平面平行于軸，所以.又因為平面過點與，所以必有.于是，取=, 而=2，7，-4 ，所以 =，因此，由平面的點法式方程，得，即 .解二 利用平面的一般式方程。設所求的平面方程為 ,由于平面平行于軸，所以 ，原方程變為，又所求平面過點(1, -5, 1)與(3 , 2, -3)，將的坐標代入上述方程，得 解之得 , ,代入所設方程，故所求平面方程為 .例4 求通過點(3 , 0 , 0)和點(0 , 0 , 1)且與平面成角的平面的方程.解

15、 設所求平面方程為 ，平面過點(3, 0, 0)，有 , 即 ， 平面過點(0, 0, 1), 有 , 即 ， 又,平面與面成角，有 =， 即 ，解 得 =,故所求平面為 ，即 .例5 求過點且垂直于直線的平面方程.解 已知直線的方向向量為=,由于平面與該直線垂直，故可取平面的法向量為該方向向量，即=，由點法式得平面方程 ，即 .例6 求通過點且與直線垂直相交的直線方程.解 利用向量運算的方法。在已知點的條件下，關鍵是求出直線的方向向量.為此先求出過點且垂直于已知直線的平面方程，再求出已知直線與此平面的交點，利用交點與已知點找出所求直線的方向向量，即可得到所求的直線方程.其步驟如下：(i)過點

16、垂直于已知直線的平面方程為 ，即 .(ii)求上述平面與直線的交點，為此令 =， , , ，將上述參數方程代入平面中，有 ，得 = , 所以 , , =，即 , 所以 ,(iii)寫出所求直線方程。由于直線過點，故所求直線方程為 ， 即.例7 求過點且與兩平面：和：平行的直線方程.解 設所求直線的方向向量為， 因為所求直線與,平行，所以,取=,故所求直線的方程為 .小結 求平面方程和直線方程，在已知一給定點的條件下，關鍵是求出平面的法線向量和直線的方向向量.這要以兩向量的點積和叉積的運算為基礎.另外，求平面方程和直線方程的方法往往不是一種，讀者可靈活運用已給的條件，選擇一種比較簡單的方法，求出平面方程或直線方程.3 求旋轉曲面方程及空間曲線在坐標面上的投影的方法例8 求由橢圓繞軸旋轉所形成的旋轉曲面的方程.解 在方程中把換成，得所求方程為 ，這是一個旋轉橢球面.例9 求空間曲線在面上的投影曲線方程.解 將所給曲線方程組中消去，就得到包含曲線的投影柱面方程.由于此方程組中的第二個方程不包含有，所以包含曲線的投影柱面方程就是 .因此，投影柱面與面的交線為故曲線在面的投影曲線方程為例10 求曲線在坐標面上的投影曲線方程.解 消去得, 這是圓柱面的方程，所以在面上的投影曲線的方程為 ，它是中心在原點，半徑為的圓周.三 、學法建議1 本章